HG K J = + PROBLEMA 1

Transcript

1 PROBLEMA 1 Un filo metallico di lunghezza? viene utilizzato per delimitare il perimetro di un aiuola rettangolare. a) Quale è l aiuola di area massima che è possibile delimitare? L area del rettangolo è F I HG K J = + l l x x x 2 x. Questa rappresenta, per < x < l, un arco di 2 parabola con la concavità rivolta verso il basso, pertanto il suo valore massimo si ha nel vertice.

2 Con Derive, per rappresentare graficamente la figura, abbiamo posto l = 1. Si ha il massimo quindi se il rettangolo è un quadrato. Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un aiuola quadrata e un altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affinché: b) la somma delle due aree sia minima? c) la somma delle due aree sia massima? Abbiamo

3 Ancora una volta abbiamo un arco di parabola che volge la concavità verso l alto, che ha perciò un minimo, ma non ha massimo, tranne che il filo non si tagli.

4 Quindi supposto di non tagliare il filo il massimo si ottiene creando un aiuola circolare, ossia dati un quadrato e un cerchio di uguale perimetro il cerchio ha area maggiore del quadrato. Una aiuola, una volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno? Le dimensioni siano lunghe a, b, c, il volume è perciò abc. Aumentando ciascuna dimensione del 10%, diverranno: 1.1 a, 1.1 b e 1.1 c, il volume perciò sarà abc. Perciò il volume è aumentato del 33.1%.

5 Problema 2 Si considerino le funzioni f e g determinate da f(x) = log(x) e g(x) = ax 2, essendo a un parametro reale e il logaritmo in base e. 1. Si discuta, al variare di a, l equazione log x = ax 2 e si dica, in particolare, per quale valore di a i grafici di f e g sono tra loro tangenti. Studiamo graficamente le due curve, assegnando ad a valori a piacere compresi tra -3 e 3. Ovviamente se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso e poiché log(x) è asintotica per x che tende a zero da destra, le due curve si intersecheranno sempre in un punto. Se a = 0, la parabola degenera nell asse x e ancora una volta le due curve si incontrano in un solo punto. Se a > 0 invece, limitatamente ai valori assegnati alla a le due curve non hanno punti di incontro. Assegniamo ad a valori positivi minori di 1, da 0.1 a 0.9 con passo 0.1.

6 Vediamo che per a = 0.1 c è un incontro, mentre per valori superiori (limitatamente ai valori da noi assegnati), non ci sono incontri. Consideriamo un altra rappresentazione grafica. Adesso vediamo meglio che abbiamo quindi anche due intersezioni fra le curve. Consideriamo allora quando vi è una sola intersezione, che in questo caso vorrà dire tangenza fra le curve. Le due curve devono avere una tangente comune. Derive non riesce a risolvere il sistema, lo aiutiamo noi.

7 Verifichiamo che per il valore trovato si ha tangenza. 2. Si calcoli, posto a = 1, l area della parte di piano delimitata dai grafici delle funzioni f e g e dalle rette x = 1 e x = 2. Rappresentiamo graficamente l area.

8 Calcoliamola. 3. Si studi la funzione h(x) = log(x) ax 2 scegliendo per a un valore numerico maggiore di 1 e se ne disegni il grafico. 2e

9

10 Ecco il grafico. QUESTIONARIO 1. Si narra che l inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64 a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall inventore. Calcoliamo quanti sono tutti i chicchi Sono quanti indicati in #5. Poiché 2 10 = 1024, vediamo quanto pesano 1024 chicchi. Quindi chicchi pesano

11 Il risultato #9 è in grammi, quello in #11 in tonnellate. 2. I poliedri regolari noti anche come solidi platonici sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l ottaedro, il dodecaedro e l icosaedro. Sai dimostrarlo? Per formare un vertice dobbiamo avere la concorrenza di almeno 3 facce. Naturalmente le facce devono formare un angolo inferiore a un piatto. Possiamo allora avere 3 triangoli equilateri, che formano perciò un tetraedro regolare. Oppure 3 quadrati che formano un cubo, con 6 facce. O ancora 3 pentagoni regolari, ottenendo il dodecaedro regolare. Non possiamo considerare altri poligoni perché 3 esagoni regolari tassellano il piano, formando appunto un angolo piatto.

12 Possiamo però considerare 4 triangoli equilateri che formano l ottaedro. Non 4 quadrati che tassellano il piano. Infine 5 triangoli equilateri che formano l icosaedro (20 facce). E basta perché 6 triangoli equilateri tassellano il piano. 3. Un foglio di carta deve contenere: un area di stampa di 50 cm 2, margini superiore e inferiore di 4 cm e margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni del foglio di carta di area minima che si può utilizzare? Vediamo alcuni esempi grafici

13 Diciamo x e y le dimensioni dell'area di stampa, quindi il foglio avrà dimensioni x + 8 e y + 4. Dobbiamo quindi trovare il minimo di (x + 8) (y + 4) sotto la condizione xy = 50. Dobbiamo trovare perciò il minimo di #7, sotto la condizione x > 0, il cui grafico è il seguente naturalmente si considera solo il ramo positivo.

14 Ovviamente sostituendo 10 alla x in #13 si ottiene un valore positivo, pertanto per x = 10 si ha il minimo. Calcoliamo l'altra dimensione. 4. La capacità di un serbatoio è pari a quella del cubo inscritto in una sfera di un metro di diametro. Quanti sono, approssimativamente, i litri di liquido che può contenere il serbatoio? Il diametro AB della sfera è uguale alla diagonale del cubo. Poiché tale diagonale si trova usando più volte il teorema di Pitagora, mediane il lato del cubo lungo l, abbiamo: Quindi il volume del cubo è, in m 3,

15 Poiché 1 m 3 di acqua equivale a 1000 litri, la capacità del cubo è 5. Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a + b) n è uguale a 2 n per ogni n N. Sappiamo che ( ) n a+ b = ab k= 0 k n n k n k ( ). Pertanto ponendo a = b = 1, avremo: n n n n n k n k n 1+ 1 = 11 2 k= 0 k = k= 0 k 6. L equazione risolvente un dato problema è: k cos2x 5k + 2 = 0, dove k è un parametro reale e x ha le seguenti limitazioni: 15 < x < 45. Si discuta per quali valori di k le radici dell equazione siano soluzioni del problema.

16 7. La funzione f (x) = x 3 2x 2 soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange nell intervallo [0,1]? Se si, trova il punto x che compare nella formula f() b f( a) = f ' b a Le ipotesi del teorema di Lagrange sono semplicemente che la funzione risulti continua in [0, 1] e derivabile in ]0, 1[, che sono verificate da tutti i polinomi. In queste ipotesi deve esistere almeno un punto in ]0, 1[ per cui vale quanto indicato. ( ξ ) Risolvendo l'equazione #2, senza le condizioni 0 < x < 1, si trova anche x = 1, non accettabile. 8. La funzione f (x) = tan(x) assume valori di segno opposto negli estremi dell intervallo π 3π I =, 4 4, eppure non esiste alcun x I tale che f (x) = 0. È così? Perché? Perché si possa applicare il teorema di esistenza degli zeri, che è una condizione sufficiente ma non necessaria, la funzione deve essere continua nell'intervallo, mentre tan(x) non è definita per x = π/2, interno all'intervallo dato. Sottolineiamo il fatto che in questo caso non vi è uno zero, ma in generale possono esserci funzioni a cui non si può applicare il teorema di esistenza degli zeri, che hanno zero. Per esempio la stessa tan(x) ha uno zero nell'intervallo [- 2, 2], nonostante abbia ben due punti di discontinuità.

17 9. Della funzione f(x) si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che: f (x) = f (x) e f(0) = 1. Puoi determinare f (x)? Sappiamo che f(x) = e x è una funzione che verifica quanto richiesto, il problema è che deve dimostrarsi che questa funzione è l'unica, fatto stabilito dal teorema di esistenza ed unicità del problema di Cauchy, che non fa parte dei curricoli del Liceo Scientifico tradizionale La funzione f (x) = a sen(x) + b cos(x) ha un estremo relativo per x = π, ed è 3 2 f π = 1. Si trovino a e b e si dica quale è il periodo di f(x). 3 Nelle istruzioni da #4 a #6 abbiamo voluto fare vedere il tipo di sistema che si ottiene. Per quanto riguarda il periodo basta fare qualche semplice calcolo. Il periodo è pertanto 2π.