QUESITO 1 QUESITO 2. quando x tende a 0 +.

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1 PNI 0 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO Una fotografa naturalista individua un uccello raro appollaiato su un albero. L angolo di elevazione è di e il telemetro dell apparecchio fotografico indica che tra l uccello e l obiettivo vi è una distanza di 0 metri. Ella avanza lentamente, sino ad arrivare in un punto per cui l angolo di elevazione è di 0. A che distanza si trova ora l uccello dall obiettivo della fotografa? Sia A la posizione iniziale della fotografa ed U l uccello appollaiato sull albero HU; la distanza AU è 0 m. Sia B la posizione finale della fotografa: dobbiamo determinare la distanza BU. Risulta: UH = 0 sin( ).9 m ; quindi: BU = UH sin(0 ).9 m = 7.8 m sin(0 ) QUESITO Si calcoli il limite della funzione tan quando tende a 0 +. Il limite si presenta nella forma indeterminata [+ ]. tan = cos sin cos = sin sin Adesso il limite si presenta nella forma indeterminata [ 0 0 ]. Le funzioni al numeratore e al denominatore sono continue e derivabili; analizziamo la derivata del denominatore: Liceo Scientifico PNI 0 / 7

2 D( sin) = sin + cos = 0 se tg =, che non si annulla mai in un intorno destro di =0 (si confrontino i grafici di y = tg e y = ). Possiamo quindi applicare la regola di de L Hȏpital: lim 0 + = lim 0 + D(sin cos) D( sin) = lim 0 + cos cos + sin sin + cos = lim 0 + sin sin + cos = sin 0 = sin + cos + = 0 = lim (sin cos ) = lim 0 + sin ( 0 + tan ) QUESITO Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio r, quello di minima area laterale ha il vertice che dista r dalla superficie sferica. Poniamo VD= (con >0). Dalla similitudine fra i triangoli AHV e VCE risulta: VE:CE=VH:AH. VC=r+; VE VC EC ( r) r r ; VH=r+; quindi: CE VH r( r) AH VE r Risulta poi: VA:VH=VC:VE, da cui VH VC ( r)( r) VA VE r La superficie laterale è: r r S AH. VA r Questa espressione è minima se lo è: Liceo Scientifico PNI 0 / 7

3 r r y ; la derivata è data da: r y' 0 per r, cioè, data la limitazione della, r ; quindi la funzione è crescente per tali e decrescente per 0 r e pertanto in r ha il minimo, come richiesto. QUESITO Si scriva l equazione della tangente al diagramma della funzione: f() = log sin nel punto P di ascissa =. Se =, y=0, quindi P=(; 0). Calcoliamo il coefficiente angolare della tangente, riscrivendo prima la funzione come logaritmo naturale: f() = log sin = f () = ln ln sin = ln ln sin cos ln sin (ln ) sin ln sin Quindi la tangente ha equazione: y 0 = ln(sin) ( ), y = ( ) ln(sin), f () = ln(sin) ln sin = ln(sin) QUESITO 5 Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione attorno all asse della porzione di piano limitata dalla curva dall asse e dalle rette =, =. y = + Osserviamo che la funzione da a è positiva, quindi il volume del solido richiesto è dato da: Liceo Scientifico PNI 0 / 7

4 b V = π f ()d a = π + d = π + d = π ( + + ) d = = π [ ln + ] = π ( ln + ln) = π ( ln + ln) = π ( ln) u QUESITO 6 Si dimostri che l area di una sfera di raggio r, l area della superficie totale del cilindro circoscritto, e l area della superficie totale del cono equilatero circoscritto, sono proporzionali ai numeri, 6, 9. Il raggio del cilindro circoscritto è uguale ad r, quindi la sua superficie totale è: S T (cilindro) = πr + πrh = πr + πr(r) = 6πr Il raggio di base del cono circoscritto è: BF = EF tg(60 ) = r. L apotema del cono è: BD = BF = r = r ; quindi la superficie totale del cono è: cos(60 ) S T (cono) = π BF + π BF a = π (r ) + π ( r ) ( r ) = πr + 6 pi r = 9πr Quindi: S(sfera): S(cilindro) = πr : 6πr = : 6 S(sfera): S(cono) = πr : 9πr = : 9 Pertanto: S(sfera): S(cilindro): S(cono) = : 6: 9 Liceo Scientifico PNI 0 / 7

5 QUESITO 7 Con l aiuto di una calcolatrice si applichi il procedimento iterativo di Newton all equazione e = 0, con punto iniziale 0 =. Cosa si ottiene dopo due iterazioni? Osserviamo che, posto f() = e, risulta f(0)=-<0 ed f()=e->0; quindi l equazione, per il teorema degli zeri ammette almeno una radice tra 0 ed (notiamo che la funzione è continua e derivabile quanto si vuole nell intervallo [0; ]). Risulta poi: f () = e > 0 per ogni, quindi la funzione è strettamente crescente, perciò la radice è unica. Inoltre: f () = e > 0 per ogni. Essendo il segno della derivata seconda costante, possiamo applicare il metodo delle tangenti (metodo di Newton). Essendo poi f(a) f () < 0 in [a, b] = [0; ] dobbiamo assumere come punto iniziale di iterazione 0 = b =. n+ = n f( n) f ( n ) = 0 f( 0 ) = f() 0.76 ; f ( 0 ) f () = f( ) f(0.76) = f ( ) f (0.76) Quindi dopo due iterazioni si ottiene per la radice il valore = Osserviamo che la soluzione esatta dell equazione è = ln() = QUESITO 8 Utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati, si calcoli un valore approssimato dell area della regione piana, delimitata dalla curva di equazione y = sin e dall asse delle nell intervallo 0 π. Osserviamo che la funzione è non negativa nell intervallo dato, annullandosi agli estremi. Utilizziamo il metodo dei trapezi con n=5 suddivisioni. Risulta: Liceo Scientifico PNI 0 5/ 7

6 b f()d a b a n [f( 0) + f( n ) + f( ) + f( ) + + f( n )] Posto f() = sin, consideriamo l intervallo [0; π] e con n=5 abbiamo h = π 0 5 = π 5. 0 = 0, = π 5, = 5 π, = 5 π, = 5 π, 5 = π Quindi si ha la seguente approssimazione: π sin d 0 π 5 [f(0) + f(π) + f ( π 5 ) + f ( 5 π) + f ( 5 π) + f ( π)] Quindi Area.0 u π Notiamo che il valore esatto di sin d 0 è:.96.. QUESITO 9 La squadra A ha probabilità /5 di vincere ogniqualvolta gioca. Quante partite deve giocare perché la probabilità che ne vinca almeno una sia maggiore del 90%? Dobbiamo cercare n in modo che, giocando n partite, la probabilità di vincere almeno una partita sia maggiore di 0.9. Probabilità di non vincere una partita: /5. Probabilità di non vincere mai in n partite: ( 5 )n. Probabilità di vincere almeno una volta: ( 5 )n ; dobbiamo cercare n in modo che ( n 5 ) > 0.90, ( n 5 ) < 0.0, ln ( n 5 ) < ln(0.0), n ln ( 5 ) < ln(0.0), notando che ln ( ln(0.0) ) < 0, avremo: n >.5. 5 ln( 5 ) Quindi la squadra A deve giocare almeno 5 volte affinché la probabilità di vincere almeno una partita sia maggiore del 90%. Liceo Scientifico PNI 0 6/ 7

7 QUESITO 0 Si inscriva in una sfera di raggio R il cilindro di volume massimo. Si scelga poi a caso un punto all interno della sfera: si determini la probabilità che tale punto risulti interno al cilindro di volume massimo. Indichiamo con R il raggio della sfera, con r il raggio del cilindro e con h l altezza del cilindro. Il volume del cilindro è dato da: V(cilindro) = πr h. Ma risulta: r = R h quindi: V(cilindro) = π (R h ) h = f(h), con 0 h R Tale volume è massimo se lo è y = (R h ) h; calcoliamo la derivata prima: y = R h + h ( 8 h) = 8 h + R 0 se h 8 R, R 8 h R 8 Quindi, con le limitazioni su h, la funzione è crescente se 0 < h < R 8 e decrescente se R 8 < h < R: la funzione ha quindi un massimo (assoluto) per h = R 8 = R 6. Per tale valore di h si ha: r = R h = R 8 R = R, r = R Il cilindro di volume massimo inscritto in una sfera di raggio R è quello di altezza e raggio di base R. Calcoliamo i volumi dei due solidi: R 6 V(sfera) = πr ; V(cilindro) = πr h = π ( R ) ( R 6 ) = πr 6 9 La probabilità richiesta è: p = V(cilindro) V(sfera) = πr = % 6 πr Con la collaborazione di Angela Santamaria Liceo Scientifico PNI 0 7/ 7