Riprendiamo il significato di valore assoluto, esso è una funzione che rende positiva la quantità che costituisce il suo argomento.

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1 Valore assoluto Riprendiamo il significato di valore assoluto, esso è una funzione che rende positiva la quantità che costituisce il suo argomento. Definizione si definisce valore assoluto la funzione f ( ) f ( ) se f ( ) 0 f ( ) se f ( ) 0 Dove f ( ) rappresenta l argomento del valore assoluto. i) ii) iii) in tal caso si studia il segno dell argomento ponendolo 0 per determinare dove esso rappresenta una quantità positiva (quindi dove poter togliere il valore assoluto senza cambiare il segno all argomento) e dove rappresenta una quantità negativa (quindi dove poter togliere il valore assoluto cambiando segno all argomento). 0 allora Pertanto, quando l argomento del valore assoluto è un polinomio, o più in generale una funzione, si deve studiare il segno di tale polinomio per individuare gli intervalli dove l argomento è positivo e gli intervalli dove è negativo, ricordando che il valore assoluto rende positiva ogni quantità (e la definizione di valore assoluto) si conclude leggendo lo scheda con i segni come segue

2 negli intervalli contrassegnati con posso togliere il simbolo di valore assoluto e mantenere invariato l argomento negli intervalli contrassegnati con il posso togliere il simbolo di valore assoluto e cambiare il segno a tutti i termini dell argomento. iv) 0 N 0 D > 0 > Applico la regola dei segni Pertanto i) se ii) se iii) se >

3 Osservazione Le condizioni i) e iii) si possono scrivere in un unico modo come segue se > Equazioni con valore assoluto Vediamo ora come si risolve un equazione contenente il valore assoluto. L idea per ottenere la soluzione è quella di eliminare il valore assoluto dall equazione. Per far ciò si deve precedere nel modo seguente i) si studia il segno degli argomenti dei moduli presenti nel testo dell equazione ii) si individuano gli intervalli in cui è possibile togliere il valore assoluto cambiando il segno o meno degli argomenti iii) si risolvono le equazioni così ottenute verificando che le soluzioni trovate appartengano agli intervalli che si stanno considerando. Prima di tutto devo studiare il segno dell argomento del valore assoluto per individuare dove poter togliere il valore assoluto e cambiare di segno e dove poter togliere il valore assoluto senza cambiare di segno Allora posso considerare l equazione per gli intervalli i cui ho individuato il segno dell argomento del valore assoluto, pertanto abbiamo due possibilità per la ) Risolvendo la seconda equazione si ottiene e

4 ) Essa è una soluzione non accettabile (poiché la soluzione non appartiene all intervallo per cui sto studiando l equazione) Essa è una soluzione accettabile poiché appartiene all intervallo. In questo caso so due moduli, devo studiare separatamente il segno di entrambi, per individuare gli intervalli dove sono positivi e negavi. a) 0 b) 0 Ora devo tracciare il grafico dei segni che è uguale al metodo della regola dei segni, senza eseguire i calcoli alla fine per ottenere i e i -. Questo grafico mi dice che i) per entrambi gli argomenti dei moduli sono negativi, per cui tolgo il modulo e cambio di segno ad entrambi. ii) per l argomento del primo modulo è negativo, l argomento del secondo modulo è positivo per cui tolgo il modulo al primo e cambio di segno, mentre al secondo tolgo il modulo e non cambio di segno. iii) per > entrambi gli argomenti dei moduli sono positivi, per cui tolgo il modulo e non cambio di segno ad entrambi.

5 Pertanto ) ) ) accettabile non accettabile > accettabile Disequazioni con valore assoluto Vediamo ora come si risolve una disequazione contenente il valore assoluto. Come già osservato in precedenza per le equazioni modulari, l idea per ottenere la soluzione è quella di eliminare il valore assoluto dalla disequazione e risolvere una disequazione tradizionale. Per far ciò si deve precedere nel modo seguente i) si studia il segno degli argomenti dei moduli presenti nel testo dell equazione ii) si individuano gli intervalli in cui è possibile togliere il valore assoluto cambiando il segno o meno degli argomenti iii) si risolvono i sistemi di disequazioni così ottenuti (le disequazioni che compongono il sistema sono tali che la prima si riferisce all intervallo di valori che si sta considerando per la, la seconda è la disequazione assegnata nella quale sono stati tolti i valori assoluti in conseguenza dell intervallo che si sta analizzando) iv) le soluzioni della disequazione iniziale si ottengono unendo tra loro le soluzioni dei sistemi di disequazioni in cui è stata scomposto l esercizio assegnato. Ricordiamo che per unire le soluzioni parziali si procede come segue ) si traccia una linea orizzontale

6 ) su di essa si tracciano tutti i valori che compaiono nelle soluzioni dei sistemi ottenuti ) si riportano le soluzioni dei sistemi di disequazioni(utilizzando le serpentine) sulla linea orizzontale ) l insieme tratteggiato rappresenta le soluzioni finali della disequazione con valore assoluto assegnata. Osservazione Nel caso in cui un valore in corrispondenza del quale gli intervalli si uniscano fosse compreso per un intervallo ed escluso per l altro intervallo, nelle soluzioni finale esso è compreso, vale a dire che gli intervalli si saldano senza interruzioni. (cioè tra valore escluso e valore compreso, vince il valore compreso )., [ ] Passo si studia il segno del valore assoluto 0 Pertanto Poiché abbiamo ottenuto due intervalli dallo studio del segno dell argomento del valore assoluto abbiamo che la disequazione iniziale è equivalente all unione di due sistemi, nel primo dei quali si studia l intervallo, quello per cui posso togliere il valore assoluto e devo cambiare il segno ai termini dell argomento nel secondo si studiano i valori per cui assoluto senza cambiare il segno ai termini dell argomento. in cui posso togliere il valore

7 Passo si scompone la disequazione modulare nell unione di due sistemi di disequazioni senza moduli equivale a Risolviamo separatamente i due sistemi. Primo sistema. > > econdo sistema.

8 Passo si uniscono ora le soluzioni dei due sistemi i tratta ora di determinare le soluzioni finali, cioè devo unire ed, quindi Passo si studiano i segni dei valori assoluti ) 0 ) 0 Per i valori assoluti abbiamo quindi il seguente schema Quindi per i valori assoluti contenuti nella disequazione possiamo considerare i tre intervalli determinati dallo studio del segno dei rispettivi argomenti e determinare il comportamento dei moduli, cioè >

9 Passo si scompone la disequazione modulare nell unione di tre sistemi di disequazioni senza moduli Risolvere la disequazione Equivale a risolvere l unione dei seguenti tre sistemi > > Le cui soluzioni sono rispettivamente > Passo si uniscono ora le soluzioni dei tre sistemi >