VALORE ASSOLUTO. 1 INTRODUZIONE E DEFINIZIONE pag 2. 2 PROPRIETA' pag 3. 3 IL VALORE ASSOLUTO COME ARGOMENTO pag 4

Transcript

1 VALORE ASSOLUTO INDICE DEI CONTENUTI 1 INTRODUZIONE E DEFINIZIONE pag 2 2 PROPRIETA' pag 3 3 IL VALORE ASSOLUTO COME ARGOMENTO pag 4 4 EQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI pag 4 5 DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO pag 6 6 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON PIU' VALORI ASSOLUTI pag 7 7 DERIVABILITA' DEL VALORE ASSOLUTO pag 8 1

2 1 INTRODUZIONE E DEFINIZIONE Il valore assoluto è una funzione rappresentata da due stanghette verticali. Essa si comporta in questo modo: se la funzione al suo interno assume valori positivi o nulli, la restituisce invariata; se, al contrario, essa assume valori negativi, la restituisce cambiata di segno, rendendola non negativa. Di conseguenza si ha, per tutte le x di definizione della f: E' come se la funzione ribaltasse i valori negativi della f rendendoli di fatto positivi. Ci si può rendere conto di questo concetto osservando un esempio grafico: Come si vede, le parti negative della funzione vengono ribaltate in alto rispetto all'asse delle ascisse e si ottiene una funzione che non assume mai valori minori di 0. Dalla definizione e dal grafico risulta evidente perché si abbiano identità del tipo: Trattandosi già di funzioni non negative, il valore assoluto le restituisce invariate (nei loro grafici non ci sono valori da ribaltare ). 2

3 2 PROPRIETA' Due proprietà fondamentali sono state già discusse nella definizione: P1 La funzione valore assoluto è non negativa e vale 0 se e solo se la funzione al suo interno vale 0. P2 Il valore assoluto di una funzione non negativa coincide con la funzione stessa. Altre proprietà sono le seguenti: P3 Il valore assoluto di una funzione è uguale a quello della stessa funzione cambiata di segno. P4 Il valore assoluto non è mai minore della funzione al suo interno. P5 Il valore assoluto di un prodotto/rapporto è uguale al prodotto/rapporto dei valori assoluti. P6 Se il valore assoluto di una funzione f è minore (o uguale) di una funzione g, la funzione f assume i valori interni all'intervallo (-g, g), mentre se il valore assoluto di una funzione f è maggiore (o uguale) di una funzione g, la funzione f assume i valori esterni al suddetto intervallo. P7 Valgono le seguenti disuguaglianze (chiamate, rispettivamente, disuguaglianza triangolare e Lipschitzianità in valore assoluto): 3

4 3 IL VALORE ASSOLUTO COME ARGOMENTO Attenzione a non confondere le due scritture f(x) e f( x ). Nel primo caso il valore assoluto viene applicato all'intera funzione, nel secondo solo alla variabile x. Diciamo dunque che, in generale, si ha: Nel paragrafo 1 si è visto che cosa accade al grafico di una funzione quando il valore assoluto viene applicato all'esterno. Vediamo adesso che cosa succede quando esso viene applicato all'interno, cioè alla sola variabile indipendente. In questo caso, la funzione può ancora assumere valori negativi, contrariamente al caso del paragrafo 1. Graficamente, la parte sinistra della funzione viene sostituita dalla parte destra ribaltata rispetto all'asse y. E' chiaro che, in caso di funzioni del tipo f( x ), ossia con valore assoluto sia all'esterno che all'interno, graficamente si avranno entrambi i ribaltamenti illustrati. 4 EQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Un'equazione con valore assoluto si presenta, di norma, nella forma: Naturalmente, se la funzione g fosse negativa, non si avrebbe alcuna soluzione. In caso contrario, usando la definizione di valore assoluto, si dovrebbero risolvere due equazioni più semplici: 4

5 Esempi: Resta da considerare x=-1/2. Sostituendo si ottiene 0=7/2 che è assurdo. L'equazione ha due soluzioni. Resta da considerare x=-2. Sostituendo si ottiene 0=5, che è assurdo. L'equazione ha una sola soluzione. Resta da considerare x=0. Sostituendo si ottiene 0=-3, che è assurdo. L'equazione non ha soluzioni. Resta da considerare x=0. Sostituendo si ottiene 0=0, che è un'identità. L'equazione ha solo la soluzione x=0. Restano da considerare x=1 e x=4. Sostituendo si ottengono delle contraddizioni. L'equazione ha tre soluzioni. Il polinomio al primo membro è sempre positivo (a>0, delta<0), quindi il valore assoluto è inutile. L'equazione ha due soluzioni. 5

6 5 DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO Le disequazioni con un singolo valore assoluto possono presentarsi in una delle seguenti forme: Le disequazioni di questo tipo possono essere risolte, come le equazioni, usando la definizione di valore assoluto oppure sfruttando la proprietà P6 descritta nel paragrafo 2. Vediamo subito di chiarire le modalità di risoluzione attraverso qualche esempio. Esempi: Per x=0 la disequazione non è verificata. Per x=3 la disequazione non è verificata. La disequazione non è verificata nemmeno per x=п. Dal momento che per x=1/2 la disequazione è verificata, le soluzioni si sono fuse in un unico intervallo. La disequazione non è verificata né per x=1 né per x=2. 6

7 Per x=-2 e x=2 la disequazione non è verificata. 6 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON PIU' VALORI ASSOLUTI Può capitare di incontrare più di un valore assoluto nella stessa equazione/disequazione. In questo caso sarà necessario individuare i punti in cui ogni f al loro interno si annulla e considerare separatamente tutti gli intervalli così definiti. Di seguito alcuni esempi chiariranno questo concetto. Esempi: Sostituendo i valori di separazione, si trova che l'equazione è verificata anche per x=0 e x=1. La disequazione non è verificata per x=1, ma lo è per x=2 e x=3, che sono state incorporate al risultato finale Il modo di procedere sopra illustrato è estendibile anche al caso di valori assoluti uno dentro l'altro. Inoltre, esso è valido per un qualunque numero di valori assoluti presenti nella stessa espressione, tenendo presente che per n valori assoluti si dovranno considerare, al più, n+1 intervalli. 7

8 7 DERIVABILITA' DEL VALORE ASSOLUTO Guardando i grafici dei paragrafi precedenti e osservando come il valore assoluto opera nella funzione a cui è applicato, risulta chiaro che, in ogni punto della f sugli assi di ribaltamento, la derivabilità risulta compromessa, dal momento che il limite destro e sinistro del rapporto incrementale assumono, nella quasi totalità dei casi in cui entrambi esistono, segni diversi. Valga per tutte la funzione seguente: La funzione y=x è continua in tutto R e altrettanto può dirsi per y= x. Ma, mentre la prima funzione è derivabile in tutto il suo dominio con derivata costante pari a 1, la seconda è derivabile in tutto R eccetto l'origine, la cui derivata sinistra assume il valore -1 e la cui derivata destra vale +1. Nello studio della derivabilità di funzioni con valori assoluti, dunque, risulta conveniente scomporre il dominio della f in maniera tale da eliminarli e, in seguito, studiare le derivate destre e sinistre dei punti angolosi separatamente. Ma gli esempi valgono molto più delle parole. Esempi: Studiamo la derivabilità della funzione: La prima cosa da fare è calcolare l'insieme di continuità, dal momento che essa è condizione necessaria per la derivabilità. Nel nostro caso abbiamo: cioè, la f è definita e continua in tutto R eccetto nel punto che annulla il denominatore, x=1; di conseguenza, essa non vi risulterà nemmeno derivabile. Adesso scomponiamo il dominio e la legge in modo da eliminare i valori assoluti: 8

9 Per x diverso da 0 e da 1 (i punti di separazione della legge) la derivata prima risulta: La funzione f' non presenta alcun problema: ciascun pezzo della legge risulta continuo nel proprio insieme di definizione. Il punto x=1 era stato escluso dal dominio, dunque resta da studiare la derivabilità nel punto x=0. Sostituendolo, la derivata risulta: Le derivate destra e sinistra non coincidono: se ne conclude che la f non è derivabile nel punto x=0. Il campo di derivabilità finale risulta: Studiamo la derivabilità della funzione: Il nostro campo di continuità è tutto l'insieme reale. Scomponiamo la f e calcoliamo la derivata prima: Come prima, non abbiamo problemi in alcuno dei due pezzi della legge. Calcoliamo adesso la derivata nell'unico punto su cui non abbiamo informazioni, ossia x=-3: La derivata destra coincide con la derivata sinistra: se ne conclude che, nonostante la presenza di valori assoluti, la funzione risulta derivabile anche nel punto in cui essi si annullano. Il campo di derivabilità è, dunque, l'intero R. 9