Calcolare un limite significa determinare quale sia il suo valore quando al posto dell incognita si sostituisce il valore cui essa tende.

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Stefania Ferretti
4 anni fa
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1 Infiniti, infinitesimi e forme indeterminate Calcolare un ite significa determinare quale sia il suo valore quando al posto dell incognita si sostituisce il valore cui essa tende. Cioè calcolare 5 4 significa sostituire al posto della il valore 4, cioè si ottiene È ovvio che calcolare il ite come illustrato nell esempio precedente non rappresenta alcun difficoltà/interesse, poiché il ite si riferisce ad un punto in cui la funzione non ha problemi. Osservazione (regole di calcolo) i) ii) ± iii) un valore finito diviso un infinito è uno zero un valore finito diviso un infinitesimo è infinito iv) un valore finito diviso un infinitesimo è infinito Da cui si deduce: v) vi) Per le operazioni tra valori finiti, infiniti e infinitesimi si deve tener presente che vale sempre a regola dei segni. Inoltre ;.

2 Il calcolo di iti si rivela utile quando vengono presi in considerazione punti in cui la funzione presenta dei problemi, ad esempio punti che non appartengono al campo di esistenza in cui la funzione non è definita. Illustriamo quando detto con un esempio: Sia data la funzione ( ) f essa è definita per tutti gli diversi, cioè C.E. Quindi il campo di esistenza ci dice che calcolare un ite è un operazione che non riserva alcun problema per ogni valore diverso da, il valore che non appartiene al dominio della funzione. Il calcolo di iti permette di analizzare il comportamento della funzione proprio in corrispondenza di tale valore critico. Vediamo cosa accade quando calcoliamo tal ite, poiché il ite si riferisce ad un punto particolare, vediamo quale sia il comportamento in corrispondenza di uno studio per valori minori e per valori maggiori di questo unto critico. Calcoliamo quindi Al terzultimo passaggio abbiamo a denominatore che possiamo interpretare come segue: ) da una quantità minore di sottraggo, cioè da una certa quantità ne sottraggo una maggiore Allora il risultato poiché si fa ) [numero minore]-[numero maggiore] È un valore negativo, poiché le due quantità sono infinitamente vicine tra loro e la loro differenza è un infinitesimo di segno negativo per le considerazioni precedenti ) e ).

3 Al terzultimo passaggio abbiamo a denominatore che possiamo interpretare come segue: ) da una quantità maggiore di sottraggo, cioè da una certa quantità ne sottraggo una minore; Allora il risultato poiché si fa ) [numero maggiore]-[numero minore] È un valore positivo, poiché le due quantità sono infinitamente vicine tra loro e la loro differenza è un infinitesimo di segno positivo per le considerazioni precedenti ) e ). In questo caso è stato semplice determinare il risultato del ite, può capitare però che vi siano situazioni in cui non si possibile determinare il valore con le considerazioni precedenti. Forme indeterminate Una forma indeterminata è una forma in cui si confrontano oggetti il cui risultato non può essere determinato senza uno studio più approfondito. Le forme indeterminate sono situazioni del tipo: ) ) ) 4) Infatti si ha: ) non è detto che i due infiniti siano equivalenti e che si annullino, potrebbe essere che uno dei due sia un infinito tale da annullare l effetto dell altro, senza risentirne, e quindi è proprio quello che conta ai fini del calcolo del ite;

4 ) come detto in precedenza, potrebbe essere che uno dei due infiniti sia tale da non risentire dell effetto dell altro infinito, quindi è proprio quello che conta ai fini del calcolo del ite; ) come già osservato, potrebbe essere che uno dei due infinitesimi sia più piccolo dell altro infinitesimo, quindi è proprio quello che conta ai fini del calcolo del ite a seconda che si trovi a numeratore o a denominatore; 4) non è detto che il prodotto di un infinitesimo per un infinito sia, infatti l infinitesimo potrebbe esser tale da annullare l infinito oppure no. Vediamo ora come risolvere alcune forme indeterminate. Esempio ) 5 ( 5)( ) ( )( ) ( 5) ( ) 7 7 Quindi possiamo dedurre che nel caso in cui tenda ad un valore finito una forma indeterminata del tipo per un polinomio possiamo scomporre in fattori, semplificare e riprovare a calcolare il ite. ) cos sin cos cos ( cos ) ( cos )( cos ) ( cos ) 6 Quindi possiamo dedurre che nel caso di funzioni goniometriche in cui tenda ad un valore finito una forma indeterminata del tipo è possibile utilizzare le formule goniometriche per scomporre in fattori, semplificare e riprovare a calcolare il ite. ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Quindi possiamo dedurre che nel caso in cui tenda ad un valore finito una forma indeterminata del tipo per un polinomio che contenga una radice possiamo razionalizzare il numeratore o il

5 denominatore, oppure entrambi se necessario in passaggi successivi e riprovare a calcolare il ite, applicando eventualmente scomposizioni dove possibile. Nel caso di una funzione fratta per che tende ad un valore infinito è possibile fare al seguente considerazione: p Sia ( ) ( ) f dove p ( ) rappresenta il numeratore e ( ) q( ) Indichiamo con grad [ p( ) ] il grado del polinomio p ( ) ± se grad p( ) > grad q q il denominatore.. Allora [ ] [ ( ) ] p q ± ( ) ( ) [ ] [ ( )] l R se grad p( ) grad q cioè un valore finto, inoltre l che è uguale al rapporto tra il coefficiente dell incognita di grado maggiore a numeratore e il coefficiente dell incognita di grado maggiore a denominatore. se grad [ p( ) ] < grad[ q( ) ] L osservazione qui riportata è un aiuto a capire quale sia il risultato del ite per il caso in questione, vediamo come esprimere rigorosamente quanto appena riportato ) Quando si ha un ite per che tende ad infinito di una funzione polinomiale fratta si può raccogliere l incognita di grado maggiore a numeratore e a denominatore, successivamente si vede che tutti i termini dentro parentesi tendono a zero tranne uno rispettivamente quello relativo al

6 termine di grado maggiore sia a numeratore sia a denominatore. Semplificando la potenza dell incognita raccolta fuori parentesi a numeratore e a denominatore è possibile calcolare il valore del ite. Utilizzando l osservazione precedente si poteva calcolare infatti: 4 4 [ p( ) ] grad[ q( ) ] grad rapporto tra il coefficiente dell incognita di grado maggiore a numeratore e il coefficiente dell incognita di grado maggiore a denominatore. 5) 6) Vale sempre il fatto che se si porta fuori da radice, si deve portare fuori una quantità positiva, quindi poiché se quando si porta fuori, come nell esempio precedente, rappresenta una quantità negativa, quindi si deve portare fuori in valore assoluto e quando lo si toglie, proprio perché, accade che. 7)

7 8) ( ) ( )

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