MATEMATICA I LIMITI E LO STUDIO DELLE FUNZIONI GSCATULLO

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1 MATEMATICA I LIMITI E LO STUDIO DELLE FUNZIONI GSCATULLO

2 I Limiti e lo Studio delle Funzioni Definizione e calcolo dei iti. Definizione di Limite Possiamo dare una definizione intuitiva, grazie al lavoro del matematico Augustin-Louis Cauchy, dei iti come di una tendenza: l avvicinarsi ad un determinato numero senza mai toccarlo. Esempio I iti vengono utilizzati nello studio delle funzioni. Il ite di una funzione f(x) ci permette di capire quali valori assume la funzione f(x), ovvero la y, in prossimità di un determinato valore n cui tende la x. Il ite si legge: ite per x tendente ad n di f(x) è uguale ad l. Il ite chiede di individuare a quale valore si avvicina l ordinata, quando l ascissa tende a. Quando la x tende a, la funzione f(x), ovvero + tende a. Questa particolare operazione, che per le funzioni più semplice può apparire superflua, torna utilissima per studiare il comportamento delle funzioni in prossimità dei valori delle ascisse per cui non sono definite. Ad esempio nello studiare ci rendiamo conto che f(x) assume il valore impossibile : [ 8 ], ma che la 0 funzione più si avvicina al valore x= più assumerà un comportamento particolare tendendo all infinito. 3x x x

3 Calcolare un ite? Come si calcola un ite? Per calcolare un ite è sufficiente seguire un procedimento molto semplice: x + x x x + [] + x 3 x [] + = Consideriamo un caso semplicissimo. Per calcolare il ite sarà sufficiente ipotizzare di sostituire alla x della funzione f(x) il valore cui la x tende. Eseguiamo ora il calcolo della funzione ottenuta e risolviamo il ite. Ricordiamoci che risolvendo il ite ci stiamo implicitamente ponendo la domanda: a quale numero tenderà la funzione se la x tende a n?. Questo può aiutarci ad organizzare e strutturare i calcoli. Limiti per x È possibile calcolare il ite di una funzione supponendo che la x tenda ad infinito. Quando questo accade bisogna, per risolvere correttamente il ite, porsi una domanda: dove si trova, nella funzione, l incognita? Se l incognita si trova solo al numeratore (o la funzione non è fratta, cioè ha denominatore = ), la funzione tenderà ad infinito. Infatti qualsiasi numero si trovasse al denominatore non riuscirebbe a dividere l infinito! Se l incognita si trova solo al denominatore, la funzione tenderà a zero. Infatti qualsiasi numero, si trovasse al numeratore, per quanto grande sarebbe diviso in infinite parti piccolissime, tendendo così a zero! Il caso particolare in cui l incognita si trova sia al numeratore che al denominatore lo analizzeremo più avanti. x x 4 Consideriamo un caso in cui la x tende all infinito e l incognita si trova solo al numeratore. 3

4 [ ] x 4 [ ] x 4 = Per calcolare il ite sarà sufficiente ipotizzare di sostituire alla x della funzione f(x) il valore cui la x tende, cioè infinito. Un numero infinito può essere diviso da qualsiasi numero ma, per quanto grande, la funzione tenderà sempre ad. Proviamo anche un altro caso. x x Consideriamo un caso in cui la x tende all infinito e l incognita si trova solo al numeratore. x [ ] x [ ] = 0 Ipotizziamo di sostituire all incognita della funzione il valore cui la x tende, cioè. Un numero qualsiasi, per quanto grande, se diviso per infinito porterà la funzione a 0. Limiti per x 0 È anche possibile supporre di calcolare il ite di una funzione per x tendente a zero. Anche in questo caso per risolverlo dovremmo anzitutto domandarci dove si trova l incognita: Se l incognita si trova solo al numeratore (o la funzione non è fratta, cioè ha denominatore = ), la funzione tenderà ad zero. Infatti qualsiasi numero si trovasse al denominatore dividendo lo zero otterrebbe sempre quello come risultato. Se l incognita si trova solo al denominatore, la funzione tenderà a infinito. Infatti qualsiasi numero, si trovasse al numeratore, per quanto piccolo, sarebbe diviso in parti da zero, cioè in infinite parti. Il caso particolare in cui l incognita si trova sia al numeratore che al denominatore lo analizzeremo più avanti. x x 0 4 Consideriamo un caso in cui la x tende a zero e l incognita si trova solo al numeratore. [0] x 0 4 [0] x 0 4 = 0 Ipotizziamo che l incognita della funzione, al numeratore, tenda a zero, tutta la funzione tenderà allora a 0. Analizziamo un secondo caso. x 0 x Consideriamo un caso in cui la x tende a zero e l incognita si trova solo al denominatore. x 0 [0] Ipotizziamo che l incognita della funzione, al denominatore, tenda a zero, dividendo 4

5 x 0 [0] = in infinite parti il numeratore: la funzione tenderà ad infinito. Casi particolari Esistono alcuni casi particolari che può capitarti di incontrare nello studio delle funzioni, sono presenti nel momento in cui l incognita si trova sia al nominatore che al denominatore, infatti la funzione dovrebbe tendere, secondo quanto quello che abbiamo detto, sia ad infinito che a zero contemporaneamente, e questo non è possibile! Un caso particolare ha come possibili soluzioni: ; 0 o un numero finito. Può però anche non esistere. Caso indeterminato Uno dei casi indeterminati più semplice è quello in cui la funzione presenta l incognita sia al numeratore che al denominatore e la x tenda ad infinito. In questi casi il ite si risolve considerando la posizione (numeratore/denominatore) dell incognita di grado maggiore. Se la x di grado maggiore si trova al numeratore la funzione tenderà ad infinito, se si trova al denominatore a zero. Le altre incognite non dovranno essere considerate. Questo perché l incognita elevata ad una potenza maggiore delle altre tenderà all infinito più velocemente. x + x + x 8x + Consideriamo un caso in cui l incognita si trovi sia al numeratore che al denominatore. x + x + x 8x + [ ] + x + = x 8x + L incognita di grado maggiore si trova al numeratore, per tanto dovrò risolvere il ite ipotizzando che essa tenda all infinito. Essendo al numeratore porterà l intera funzione all infinito. Qualora la funzione presenti incognite dello stesso grado massimo sia al numeratore che al denominatore, si considererà come ite cui la funzione tende il numero ottenuto dal coefficiente dell incognita al numeratore, fratto quello dell incognita al denominatore. x + x x 8x + 3 Consideriamo un caso in cui l incognita si trovi sia al numeratore che al denominatore. x + x x 8x + 3 x + x x 8x + 3 Le due incognite di grado massimo si trovano una al numeratore, l altra al denominatore. Consideriamo allora i coefficienti delle due incognite. 3 x + x x 8x + 3 = 8 = 4 Da essi otteniamo un numero finito cui tende la funzione. Per verificare questi casi esiste anche un altro procedimento, più lungo, ma che mostra con chiarezza i diversi passaggi sottesi dal nostro ragionamento:

6 x 7x x x 3 x + 4 Consideriamo un caso in cui l incognita si trovi sia al numeratore che al denominatore. x x ( 7x x ) x 3 ( x x x 3) Raccogliamo l incognita di grado massimo. 3 x ( 7 x ) x x 3 ( x + 4 x 3) Semplifichiamo. 4 x x ( 7 [ ] ) x 3 ( [ ] + 4 [ ] 3) Ipotizziamo che l incognita tenda ad infinito. x ( 0) x x 3 ( 0 + 0) Poiché se l incognita che tende all infinito si trova al denominatore porta l intera frazione a zero possiamo eseguire questi calcoli. 6 x x x 3 Semplifichiamo. x x 7 x [ ] = 0 Risolviamo il ite. Caso indeterminato 0 0 Nel caso in cui l incognita si trovi sia al numeratore che al denominatore e la x tenda a 0, per risolvere il ite sarà necessario scomporre il numeratore o il denominatore in elementi semplificabili. Per nessuna ragione è possibile applicare la regola del grado massimo imparata per il caso! 4x 3x x 0 x Consideriamo un caso in cui l incognita si trovi sia al numeratore che al denominatore. x(4x 3) x 0 x Raccogliamo l incognita del numeratore. 3 x(4x 3) x 0 x Semplifichiamo 4x 3 x 0 6

7 4 4 [0] 3 = 3 x 0 Risolviamo il ite. Verifichiamo un altro caso. x 4 x x Consideriamo un caso in cui l incognita si trovi sia al numeratore che al denominatore. (x + )(x ) x x Ci si accorge subito che è possibile scomporre il numeratore come prodotto notevole. 3 (x + )(x ) x x È allora possibile semplificare. x + x 4 [] + = 4 x Risolviamo il ite Caso indeterminato 0 con 0 Uno dei iti più importanti, detto per questo ite notevole, è un particolare caso indeterminato 0/0: x 0 x = Il risultato di questo ite, e di tutti i iti che presentano il seno di x e l incognita dello stesso grado in posizioni opposte (numeratore-denominatore), è sempre che la funzione tende ad. Questo è dimostrabile: Riportiamo alla mente alcuni elementi della teoria goniometrica. sin0 = 0 cos0 = tg0 = sin0 cos0 = 0 = 0 3 < x < tgx < x < tgx Ricordiamo inoltre le seguenti equivalenze. Considerata la disequazione di base, evidente anche dal grafico, dividiamo tutti i termini per uno stesso valore. 7

8 4 Se x 0 tende a < x < cosx < x < cosx < x < cosx Eseguiamo alcune semplificazioni Ipotizziamo che x tenda a zero e svolgiamo i calcoli. 6 cosx tende a, poiché cos0 = e = < x < Ottenuti i risultati per il teorema del confronto possiamo affermare che x quando x 0 allora =. 7 x = = Così anche il suo reciproco. x 0 x 0 x Potrebbe essere necessario talvolta eseguire alcune operazioni perché la funzione sia riducibile al ite notevole, ad esempio: sin 4 x Consideriamo un caso in cui sia presente x 0 x 3 il seno di x ma le incognite abbiano gradi diversi. 3 sin 4 x x 0 x 3 sin 4 x x 0 x 3 x4 x 4 sin 4 x x 0 x 3 x4 x 4 sin 4 x x 0 x 4 x4 x 3 Per riportare il caso al ite notevole moltiplichiamo la funzione per. Ma moltiplicare per significa anche moltiplicare per un numero che abbia numeratore e denominatore uguali, quindi anche x4 x 4. Portiamo la funzione ad assumere la forma del ite notevole, essendo una moltiplicazione è possibile modificare l ordine dei fattori. 4 x 0 x Semplifichiamo e risolviamo il ite. x = 0 x 0 8

9 Lo Studio delle Funzioni e i Limiti Propedeutica Prima di poter applicare lo studio dei iti alle funzioni, per trovare gli asintoti, è necessario ribadire come si individuano il dominio, il segno e le intersezioni con gli assi dei diversi tipi di funzioni che possiamo affrontare. Di seguito verranno proposte alcune funzioni generiche per poter ripassare lo studio dei vari casi. Funzione razionale fratta f(x) = x x + 3 Data una funzione razionale fratta. x x 3 Dominio: x ( ; 3) ( 3; ) 3 x x + 3 > 0 Studio N. x > 0 x > Studio D. x + 3 > 0 x > 3 Rappresento su un grafico Determiniamo il dominio. Determiniamo il segno. 4 Intersezione con l asse delle ascisse. y = 0 { x = 0 { y = 0 y = 0 x = 0 x = x+3 Determiniamo le intersezioni con gli assi. Intersezione con l asse delle ordinate x = 0 y = = 3 Rappresentiamo sul piano cartesiano, einando le aree dove la funzione sicuramente non può esistere per il dominio o per il segno. 9

10 Funzione irrazionale f(x) = x 7x + 0 Data una funzione irrazionale. x 7x x ; = 7 ± 3 x = x = Determiniamo il dominio. Il radicando deve essere maggiore o uguale a zero. Consideriamo l equazione della parabola. Dominio ( ; ] [; ) 3 Sempre positivo. Il segno nelle radici è sempre positivo. 4 Rappresento sul piano cartesiano. Funzione logaritmica f(x) = ln (x + ) Data una funzione logaritmica. x + > 0 Dominio ( ; ) x > 3 f(x) > 0 x + > x > 0 x > 0 Determiniamo il dominio. L argomento deve essere maggiore di zero. Consideriamo l equazione della parabola. Determiniamo il segno. Poiché la base è maggiore di, il logaritmo sarà positivo quando l argomento è >. 0

11 4 Rappresento sul piano cartesiano. Gli asintoti È molto interessante nello studio delle funzioni verificare il comportamento delle stesse in prossimità dei confini del loro dominio. Questa verifica è possibile attraverso i iti che ci permettono di individuare gli asintoti: delle rette cui il grafico della funzione si avvicina sempre più senza mai toccarli. Di seguito i casi possibili casi ed i relativi iti: Le linee azzurre sono i possibili modi in cui la funzione si avvicina all asintoto, quale di esse sia corretta lo si può dedurre dal segno e dal dominio. Come si evince dal secondo grafico è possibile porsi la domanda del comportamento della funzione quando si avvicina ad un certo valore sia che la funzione si avvicini da sinistra x k che da destra x k +. I due segni ci permettono di porci le due domande in maniera distinta. È anche possibile unire le due domande sovrapponendo i segni x k ma sarà importante nello scrivere il risultato rispettare lo stesso ordine! Quindi, ad esempio, significa Esempi x k f(x) = ± x k ± f(x) = + e f(x) = + x k

12 f(x) = x x + 3 Riprendiamo la funzione già svolta nel capitolo precedente. Dominio: x ( ; 3) ( 3; ) Segno: Ricapitoliamo le informazioni che possediamo sulla funzione. Intersezione con gli assi: A (; 0) B (0; 3 ) 3 Rappresentiamo la funzione sul piano cartesiano x x 3 ± x + 3 [ 3] x 3 ± [ 3] + 3 = [ 3] x 3 ± [ 3] + 3 = x ± x x + 3 Cerchiamo di individuare gli eventuali asintoti. Iniziamo con lo scrivere il ite per x 3 ovvero il punto escluso dal dominio. Se le x tendono a -3, il denominatore tenderà a zero, portando la funzione all infinito. Rispettando dominio e segno, anche guardando il grafico, è chiaro che quando la funzione si avvicina a 3 da destra potrà scendere solo a, perché non può assumere valori positivi; e quando si avvicina a 3 da sinistra potrà scendere solo a. Completiamo dunque il risultato con queste indicazioni. Verifichiamo ora il comportamento della funzione per x ±, per constatare l eventuale presenza di asintoti orizzontali.

13 8 x ± 9 Asintoto orizzontale y = Asintoto verticale x = 3 x x + 3 = Poiché si verifica il caso particolare, e le incognite sono dello stesso grado, ne consideriamo i coefficienti. Scriviamo le equazioni degli asintoti che abbiamo trovato. 0 Rappresentiamo sul piano cartesiano e disegniamo un grafico qualitativo. Un altra funzione d esempio. f(x) = 7x x 7x + 0 Data una funzione. x 7x x ; = 7 ± 3 x = x = Dominio: ( ; ) (; ) (; ) 3 Studio N. 7x > 0 Studiamo il dominio. Risolviamo come fosse l equazione di una parabola. Studiamo il segno. Studio D. x 7x + 0 > 0 x ; = 7 ± 3 x = x = Studio con il grafico. x > 7 4 Intersezione con l asse delle ascisse y = 0 { 7x = 0 { y = 0 x = x 7x+0 7 Intersezione con l asse delle ordinate Trovo le intersezioni con gli assi. 3

14 x = 0 { 0 = Rappresento quanto abbiamo trovato sul piano cartesiano: potrebbe esserci utile per orientarci negli asintoti x x ± x 7x + 0 = 7x x ± x 7x + 0 = 7x x ± x 7x + 0 = 7x x ± x 7x + 0 = ± x ± 7x x 7x + 0 = 0 Cerco il ite per x ±. Dal grafico verifico il segno dell infinito: quando provengo da destra è negativo, perché la funzione non esiste positiva in quel punto, da sinistra positivo perché non esiste negativa. Cerco il ite per x ±. Verifico il segno dell infinito. Cerco eventuali asintoti orizzontali. Con x siamo nella situazione, consideriamo l incognita con il grado maggiore, sta al denominatore, quindi porta la funzione a zero. Ciò è valido sia verso + che verso. 9 Asintoti verticali: x = x = Scriviamo l equazione degli asintoti. Asintoto orizzontale: y = 0 0 Rappresentiamo sul piano cartesiano e cerchiamo di descrivere un grafico qualitativo della funzione. Realizzato da Paolo Franchi, VBC (A.S. 0/06), l /0/06. AMDG 4