DEFINIZIONE DI LIMITE

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Gabriella Monti
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1 DEFINIZIONE DI LIMITE LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A UN VALORE FINITO Sia y = f(x) una funzione definita in un intorno completo I del punto x 0, escluso al più il punto x 0 (x 0 è un punto di accumulazione) Si dice che, per x tendente a x 0, la funzione y = f(x) ha per limite l e si scrive Analisi matematica 3 Limiti pagina 1

2 se, comunque si scelga un numero positivo (arbitrariamente piccolo) si può determinare in corrispondenza a esso un intorno completo di x 0, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno (escluso al più x = x 0 ), succede che f(x) l < x x 0 < Analisi matematica 3 Limiti pagina 2

3 IN PRATICA Per verificare che si scrive la relazione f(x) l < o quella a essa equivalente l < f(x) < l + si risolve questa disequazione rispetto all incognita x; se l insieme delle soluzioni della disequazione contiene un intorno di x 0 significa che Analisi matematica 3 Limiti pagina 3

4 Questa descrizione del procedimento è generale; potrebbe essere necessario fare ulteriori precisazioni come ad esempio: x x 0 Analisi matematica 3 Limiti pagina 4

5 Analisi matematica 3 Limiti pagina 5

6 Esercizio 1 Dimostrare che Esercizio 2 Dimostrare che Analisi matematica 3 Limiti pagina 6

7 DEFINIZIONE LIMITE DESTRO Sia y = f(x) una funzione definita in un intorno destro del punto. Si dice che la funzione y = f(x) per x tendente a c dalla destra, cioè per eccesso, ha per limite destro il numero l e si scrive se, comunque si scelga un numero positivo (arbitrariamente piccolo) si può determinare in corrispondenza a esso un intorno destro di c, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno succede che f(x) l < x < Analisi matematica 3 Limiti pagina 7

8 ESISTE UNA DEFINIZIONE ANALOGA PER IL LIMITE SINISTRO Esempio1 La funzione di limite destro per x che tende a 0. è definita per x 0 e quindi ha senso parlare solo Analisi matematica 3 Limiti pagina 8

9 Limite finito di f(x) per x che tende a + Consideriamo la funzione Per capire quello che succede proviamo a dare alla x valori sempre più grandi x f(x) 1,414 1,02 1, ,0002 1, , , Osservando la tabella si intuisce che, quanto più sono grandi i valori positivi di x tanto più il valore di f(x) si avvicina a 1. Si dice che per x tendente a più infinito, f(x) ha per limite 1 o anche che f(x) tende a y = 1 per x tendente a più infinito Analisi matematica 3 Limiti pagina 9

10 Questo significa che la «distanza» tra la funzione f(x) e la retta y = 1 diviene sempre più piccola man mano che la x diventa sempre più grande (x tende a più infinito, x + ) e il valore di f(x) 1 può essere reso piccolo a piacere, ossia minore di qualsiasi numero positivo arbitrariamente piccolo. Ma ora ciò non avviene in un intorno di un valore finito di x; in questo caso il valore di f(x) 1 può essere reso piccolo quanto si vuole a condizione di considerare valori di x abbastanza grandi. Si può anche dire: a condizione di considerare valori di x appartenenti a un opportuno intorno di +. Vedi il grafico della funzione Analisi matematica 3 Limiti pagina 10

11 Analisi matematica 3 Limiti pagina 11

12 Dall ingrandimento, si nota che la funzione (grafico rosso), all aumentare del valore di x, tende ad avvicinarsi sempre di più alla retta y=1 (grafico blu) senza mai raggiungerla o, come si dice utilizzando il linguaggio dei limiti, la raggiunge all infinito. Analisi matematica 3 Limiti pagina 12

13 DEFINIZIONE LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A + Si dice che per x tendente a + la funzione f(x), definita in un intorno I di +, ha per limite, e si scrive se, comunque sia fissato un numero positivo, arbitrariamente piccolo, si può determinare in corrispondenza di esso un intorno di + contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno, si abbia f(x) l < La disequazione f(x) l < equivale a l f(x) l l Analisi matematica 3 Limiti pagina 13

14 Perciò si ha l se, in corrispondenza di qualsiasi 0, è possibile determinare un intorno di + tale che, per tutti gli x di tale intorno, il valore di f(x) appartenga all intervallo l l Analisi matematica 3 Limiti pagina 14

15 La retta y = l si chiama asintoto orizzontale L asintoto è una retta alla quale una funzione f(x) si avvicina indefinitamente senza mai raggiungerla. Asintoto è una parola che deriva dal greco: a privativo che significa no e sympìptein, che non tocca, in pratica si tratta di una retta alla quale la funzione si avvicina senza mai toccarla, per questo si dice anche che l'asintoto è la tangente all'infinito della funzione. Analisi matematica 3 Limiti pagina 15

16 DEFINIZIONE LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A Si dice che per x tendente a la funzione f(x), definita in un intorno I di, ha per limite, e si scrive l se, comunque sia fissato un numero positivo, arbitrariamente piccolo, si può determinare in corrispondenza di esso un intorno di contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno, si abbia f(x) l < Analisi matematica 3 Limiti pagina 16

17 Esempio: la funzione (funzione esponenziale con base 2) ha un andamento tale da avere Analisi matematica 3 Limiti pagina 17

18 DEFINIZIONE LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A Consideriamo la funzione:, osserviamone il grafico Analisi matematica 3 Limiti pagina 18

19 a. Man mano che la x diventa sempre più grande la funzione si avvicina sempre di più al valore 1 senza mai raggiungerlo, si scrive che b. Man mano che la x diventa sempre più piccola ( e negativa) la funzione si avvicina sempre di più al valore 1 senza mai raggiungerlo, si scrive che Poiché il limite della funzione per x che tende a e quello per x che tende a sono uguali, si scrive semplicemente Analisi matematica 3 Limiti pagina 19

20 DEFINIZIONE LIMITE INFINITO PER x CHE TENDE A C Sia y = f(x) una funzione definita in un intorno completo I del punto c, escluso al più il punto c. Si dice che, per x tendente a c, la funzione y = f(x) ha per limite e si scrive se, comunque si scelga un numero positivo P grande quanto si vuole si può determinare un intorno completo di c, contenuto in I, tale che, per ogni x di tale intorno (escluso al più x = c), succede che f(x) > P x c < P Analisi matematica 3 Limiti pagina 20

21 Questa definizione di limite è quella già vista studiando cosa succede ad una funzione per i valori di x che annullano un denominatore (esempio nella figura) Analisi matematica 3 Limiti pagina 21

22 La retta x = c si chiama asintoto verticale L asintoto è una retta alla quale una funzione f(x) si avvicina indefinitamente senza mai raggiungerla. Asintoto è una parola che deriva dal greco: a privativo che significa no e sympìptein, che non tocca, in pratica si tratta di una retta alla quale la funzione si avvicina senza mai toccarla, per questo si dice anche che l'asintoto è la tangente all'infinito della funzione. Nel caso della funzione rappresentata nel grafico verticale è la retta di equazione x = 3 l asintoto Analisi matematica 3 Limiti pagina 22

23 asintoto obliquo Analisi matematica 3 Limiti pagina 23

24 TEOREMI SUI LIMITI Dal calcolo è possibile ricavare alcune proprietà generali sui limiti; queste proprietà hanno senso se il limite è un valore FINITO l In matematica il modo utilizzato per dire che una funzione per x x o tende a l è questo: DEVE ESISTERE UN INTORNO DI X O TALE CHE PRESI DUE PUNTI DISTINTI DI QUESTO INTORNO, X 1 E X 2, DIVERSI DA X O, SUCCEDE CHE f(x 1 ) f(x 2 ) < Questo si chiama CRITERIO DI CONVERGENZA di CAUCHY Analisi matematica 3 Limiti pagina 24

25 TEOREMI SUI LIMITI 1. UNICITA ; 2. CONFRONTO; 3. PERMANENZA DEL SEGNO OPERAZIONI SUI LIMITI 1. SOMMA 2. DIFFERENZA 3. MOLTIPLICAZIONE 4. DIVISIONE 5. RECIPROCO 6. POTENZA Analisi matematica 3 Limiti pagina 25

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