Esercizi sulle disequazioni a cura del Dott. Simone Vazzoler

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1 Esercizi sulle disequazioni a cura del Dott. Simone Vazzoler 1 ottobre Valore assoluto Esercizio 1.1. < 1 x + 1 Svolgimento: Abbiamo i due sistemi: (i) x x + 1 < 1 x + 1 (ii) x + 1 < 1 Le soluzioni dell esercizio sono date dall unione delle soluzioni dei due sistemi. Tali sistemi diventano: 1 < x x < 1 oppure x > (i) (ii) x + 1 < 1 x + 1 < 1 1 < x 1 < x (i) x x + 1 x < 1 oppure x > < x x < 1 oppure x > x < 1 oppure x > (ii) x x < x < x < Le soluzioni sono date da ], [. Esercizio 1.. x + 1 < x Esercizio 1.. x > x + Sol.: ], [ Sol.: ] 1, [ ], 7 [ 1

2 Esercizio 1.. x 8x + 10 > Sol.: ], 1[ ], + [ ]7, [ Esercizio 1.. Esercizio 1.6. x 1 x 1 x + x + 16 > 0 1 (x )(x + ) 1 x + 1 x + Sol.: ], 0[ ], + [ Sol.: R \, } Esercizio 1.7. (x + ) x x > x Sol.: ], + [ \ } Esercizio 1.8. x + x 1 > 1 Esercizio 1.9. Esercizio Radici x + 7 x Esercizio.1. x < x 1 Sol.: R Sol.: ] 6, 1[ \ 0} x x + x < 1 Sol.: ], + [ Esercizio x x Sol.: [, + [ Sol.: Esercizio.. 81x x + < 9x + 1 Sol.: [ 1, + [ Esercizio.. x + x > x 1 Sol.: ] 9, + [ Esercizio.. x x 1 < Sol.: ], 1 [

3 Esercizio.6. 1 x x x x + 6 < + x x Esercizio.7. x + x x x + 0 Sol.: ]1, 1 Sol.: ], + [ ] [, + [ Esercizio x < x Sol.: ], [ Esercizio.9. x + 8 x + Sol.: [, 0] Esercizio.10. x x > x Sol.: ], [ Esponenziali Esercizio.1. Risolvere: (i) 0 x > ( 1 ) x 1 (ii) > 7 81 Svolgimento: (i) Dividiamo ambo i membri per 0: Semplificando otteniamo: x > 0 x > Poiché le potenze hanno base maggiore di 1 otteniamo x > x > 9. 1 (ii) 7 ed 1 81 sono potenze di 1, quindi: ( 1 x ( 1 ) > ) Le potenze hanno base minore di 1 e quindi x < x <.

4 Esercizio.. x x < 7 Svolgimento: Sfruttando le proprietà delle potenze x 9 x < 7 Introduciamo la variabile ausiliaria y = x. Otteniamo y 18 y < 7 y 7y 18 y Il denominatore è sempre positivo (y = x > 0) quindi la disequazione è equivalente a y 7y 18 le cui soluzioni sono < y < 9. Risostituendo x otteniamo la disequazione < x < 9 che è equivalente al sistema x > x < La prima disequazione ha per soluzione tutti gli x reali, mentre la seconda x <. Le soluzioni dell esercizio sono date dalle soluzioni comuni e quindi x <. Esercizio.. x < 1 x+ : 6 Svolgimento: Riscriviamo tutto (utilizzando le proprietà delle potenze) come x < 1 x x +6 x+ 6 < 1 x+ < 1 L ultima disequazione scritta è equivalente al sistema x+ > 1 x+ < 1 La prima è verificata per ogni x reale, mentre la seconda si riscrive come x+ < 0. Poichè la base è maggiore di 1 si deve avere x + ovvero x >. Le soluzioni dell esercizio sono date dalle soluzioni comuni alle due disequazioni del sistema cioè x >. Esercizio.. ( 1 ) x 1 < 6 Sol.: ], + [ Esercizio x, 001 Sol.: ], [ Esercizio.6. 9 x 7 9 x > + x

5 Sol.: ], 1 [ Esercizio.7. ( x+ ) x < x+ Sol.: ], [ Esercizio.8. x 8 + x+ x+1 x + x Esercizio.9. x+ ( ) x ( ) x+ ( x+1 + Esercizio.10. x x < + 1 ) x Sol.: [1, + [ Sol.: ], [ ], + [ Sol.: ]1, + [ Logaritmi Esercizio.1. log 1 (x 6) log 1 (x ) > 1 Svolgimento: La disequazione è definita quando x 6 > 0 x < 6 oppure x > 6 x > 0 x > x > Usando le proprietà dei logaritmi otteniamo log 1 ( x 6 ) > log 1 x () Poichè la base dei logaritmi è minore di 1 abbiamo x 6 x < x x + 6 x Si ha (x x+6) = 16, da cui x x+6 > 0 per ogni x reale. La disequazione razionale è equivalente a x x < Quindi la disequazione non ha soluzioni perchè essa è definita per x >. Esercizio.. log (x 6) < + log (x 6) Svolgimento: Introduciamo l incognita ausiliaria y = log (x 6) e sostituiamo: y < + y y y y Tale disequazione razionale ha come soluzioni y < 1 o 0 < y <. Dobbiamo quindi risolvere le due disequazioni logaritmiche

6 (i) log (x 6) < 1 (ii) 0 < log (x 6) < Le soluzioni dell esercizio saranno date dall unione delle soluzioni di (i) e (ii). x 6 > 0 condizione di esistenza del logaritmo (i) x 6 < 1 poichè 1 = log 1 x > 6 ] 6 x < 1 Sol(i) =, 1 [ x 6 > 0 condizione di esistenza del logaritmo; (ii) log (x 6) > log 1 poichè 0 = log 1; log (x 6) < log 16 poichè = log 16. x > 6 x 6 < 16 x 6 > 1 x > 6 x < x > 7 Sol(ii) = ] 7, [ Le soluzioni della disequazione sono pertanto ] 6, 1 10 [ ]7, [. Esercizio.. 1 log( x + x) < log x Esercizio.. log (1 x) log ( x) < Sol.: ]1, [ Esercizio.. log(x + ) log( x) + log(x 1) > log(x 1) log(x + ) Sol.: ] 1, 1[ Sol.: ] 1, [ Esercizio.6. (log 1 x) log 1 x Sol.: ] 1 Esercizio.7. log x log x < 1 Esercizio.8. log (x ) > Esercizio.9. log log (x + ) > 0 Esercizio.10. log x + log x 6 log (x ) + 1 > 0, [ Sol.: ], + [ Sol.: ] 101, 1 [ ]9, + [ Sol.: ]1, + [ Sol.: ]0, 1[ ]1, + [ 6