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1 19 L aspirina viene eliminata dai reni in ragione del 0% del farmaco presente ogni ½ ora. Dopo quanto tempo nel corpo è rimasto il 10% dell aspirina inizialmente somministrata? 0 Un capitale iniziale di e è investito in un obbligazione che paga un interesse annuo del.7%, che viene però aggiunto al capitale. Se l inflazione annua è mediamente del 1,8% annuo, dopo 0 anni quale sarà il valore reale del capitale finale?.. Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche Abbiamo già risolto qualche semplice equazione esponenziale. In questo paragrafo considereremo altre equazioni e anche disequazioni. Le equazioni riconducibili alla forma a f ( x) = b g( x), con a e b numeri reali positivi diversi tra loro e tali che nessuno dei due è potenza dell altro, si risolvono ricorrendo ai logaritmi. esempio Risolvere x+1 = x. Nessuna delle due basi è riconducibile all altra, pertanto non possiamo risolvere uguagliando gli esponenti. Allora estraiamo il logaritmo di entrambi i membri in una base a piacere, per esempio in base : log ( x+1 )=log ( x ) x +1= ( x ) log ( ) x log ( ) = 1 log ( ) x = 1 log log Vediamo qualche altro esempio di equazioni esponenziali. 68 Capitolo ( ) ( ) Avremmo potuto anche lavorare estraendo i logaritmi in base o in qualsiasi altra base, per esempio la base 10 per facilitare il calcolo approssimato del risultato con la calcolatrice: log ( x+1 )=log ( x ) ( x +1) log ( )= ( x ) log ( ) x log ( ) log ( ) = log ( ) log ( ) x = log ( ) log log ( ) log x = log ( ) log ( 9) log ( 18) x = 0,867 log ( 8) log ( ) 8 log ( ) ( )

2 esempio Risolvere x x 1=0. In questo caso basta porre x =y, per ottenere la seguente equazione di secondo grado y y 1=0, le cui soluzioni reali sono: y = 1± Ovviamente in questo caso si accetteranno solo la soluzione positiva, cioè solo y = 1+, ottenendo così l equazione esponenziale immediata: x = x =log Per quanto riguarda le disequazioni esponenziali dobbiamo ricordare il grafico delle curve esponenziali per usare gli stessi procedimenti delle equazioni. esempio Risolvere x 1 >. Facilmente abbiamo: Vale il seguente teorema. log ( x 1 )>log ( ) x 1>log ( ) x > log ( )+1 1 Un piccolo cambiamento si ha invece per la seguente disequazione: x 1 >. Infatti, sempre tenendo conto delle curve esponenziali avremo: 1 log x 1 >log ( ) x 1<log 1/ ( ) x < log 1/ ( )+1 TEOREMA 8 La disequazione a f ( x ) > b equivale alla disequazione f x se a > 1 e alla disequazione f ( x) <log a ( b), se invece è 0< a < 1. ( ) >log a ( b) Anche le equazioni logaritmiche si risolvono cercando di ricavare da esse equazioni equivalenti di tipo algebrico. Logaritmi ed esponenziali 69

3 esempio Risolvere log ( x 1)+log ( x )= log 7x 1 ( ). Applichiamo le proprietà di somma e di potenza dei logaritmi: log ( x 1) ( x ) =log 7x 1 ( ) Passiamo quindi dall uguaglianza fra i logaritmi a quella fra i rispettivi argomenti, avendo le basi uguali: ( x 1) ( x )= 7x 1 ( ) x x x +=9x 1x +1 7± 09 x 7x =0 x = 90 A differenza delle equazioni esponenziali, in questo caso dovremmo verificare che le soluzioni ottenute siano accettabili, dato che potrebbero rendere negativi uno o più degli argomenti dei logaritmi presenti nell equazione di partenza. Visti i valori ottenuti è più semplice, ed anche consigliabile farlo prima di risolvere l equazione, studiare i valori accettabili: x >1 x 1>0 x >0 x > x >1 7x 1>0 x > 1 7 Pertanto, poiché nessuno dei due valori ottenuti è maggiore di 1, possiamo dire che l equazione logaritmica è priva di soluzioni reali. Anche per le disequazioni logaritmiche valgono uguali considerazioni dipendenti dalla relazione che ha la base con il numero 1. TEOREMA 9 La disequazione log a [ f (x)] >log a g ( x) equivale alla disequazione f(x) > g (x) se a > 1 e alla disequazione f(x) < g (x), se invece è 0 < a < Capitolo

4 Logaritmi ed esponenziali Esercizi svolti 1 x x 1 Risolvere l equazione esponenziale =. 81 x Ci accorgiamo facilmente che tutte le potenze hanno una base che è potenza di, pertanto riscriviamo tutto in base : ( ) x = ( ) x x+1 x+1 6x 6 x 1 = Applichiamo le proprietà delle potenze al primo membro, ottenendo una sola potenza: 6x +0x+8 +6x 6 x 1 x+1 ( ) = x+1 = A questo punto passiamo dall equazione esponenziale all equazione algebrica che coinvolge gli esponenti: 6x +0x +8 = 6x +x + =0 Δ= 6 <0 x +1 x +1 Non ci sono soluzioni reali. Risolvere l equazione esponenziale x = x. L equazione è ovviamente priva di soluzioni. Infatti, per x 1, si ha: x x > x. Invece per x < 1, il primo membro è comunque positivo, mentre il secondo è negativo, dato che x <. Risolvere l equazione esponenziale 7 x +9 x+1 7=0. Stavolta non possiamo ricondurre l equazione all uguaglianza di due potenze con uguale base. Allora scriviamo: 7 x x+1 +7 ( ) 7=0 7 x +7 x+ 7=0 7 x +7 x 7 7=0 9 7 x + 7 x 7=0 Poniamo 7 x = y 7 x = y, ottenendo l equazione di II grado: 9 y +y 7=0 Risolviamola: 171± ± 9.8 y = = = 171±17 = Poiché y rappresenta un esponenziale la soluzione negativa non è accettabile. Logaritmi ed esponenziali

5 La soluzione, pertanto, si ottiene nel modo seguente: Risolvere il sistema: 7 x = 1 9 7x =7 x = x =8 x+y 9 x+y = y Osserviamo che entrambe le equazioni si possono ricondurre ad equazioni esponenziali in cui ambo i membri sono potenze della stessa base. Scriviamo allora: x = x+y x+y ( ) x = +x+y = y x+ y = + y Possiamo allora sostituire il sistema precedente con il seguente che mette in gioco solo gli esponenti: x =+ x + y x =+ y x =+ y x =+ y x = x +y =+y ( + y )+y =+y 6+y =+y y =1 y =1 Verifichiamo la correttezza del risultato. =8 +1 =8 8 =8 = = 1 = 10 = = Risolvere l equazione logaritmica log 7 ( x ) log 7 ( x +x )+log 7 ( +x )=0. Imponiamo la condizione di realtà degli argomenti: x >0 x < x +x >0 1<x < +x >0 x > <x < 7 Capitolo

6 Adesso applichiamo le proprietà dei logaritmi all equazione di partenza: log 7 ( x )+log 7 ( +x )=log 7 ( x +x ) log 7 ( x ) ( +x ) =log x +x 7( ) ( x ) ( +x )= x +x 9x 6x 10=0 x = 1 11 Entrambe le soluzioni sono accettabili. 6 Risolvere la disequazione esponenziale x+1 x 1+>0. Riscriviamo la disequazione in forma più comoda ai nostri scopi: x x +>0 Adesso poniamo z = x, ottenendo la disequazione algebrica: z z +>0 6 z > z <1 Ritorniamo alla disequazione esponenziale: x < 1. Tenuto conto che la base è minore di 1 avremo: 1 x >log 7 Risolvere la disequazione logaritmica log 1 ( x )+log 1 ( x +1)>log 1 ( x ). Applichiamo le proprietà dei logaritmi: log 1 ( x ) ( x +1) >log x 1 ( ) Passiamo alla disequazione fra gli argomenti e imponiamo la condizione di realtà: x < x >0 x < x +1>0 x > 1 x > 1 x >0 x < x < 1 1<x < ( x ) ( x +1)< x x x 1<0 x < x > Logaritmi ed esponenziali 7

7 8 Risolvere il sistema: log ( xy )= log x y =1 Applichiamo la definizione di logaritmo: 10 = x y 10= x y Il sistema è algebrico: 1.000= x y 1.000=10 y 100= y 10= y x =10y x =10y x =10y x =100 Non abbiamo considerato la soluzione negativa della prima equazione perché, ovviamente, gli argomenti del logaritmo debbono essere tutti positivi. Verifichiamo la correttezza del risultato. log ( )= log 100 log ( =1 )= log ( 10)=1 Logaritmi ed esponenziali Le risposte esatte sono a riportate a fine capitolo. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali 1 a) a) x 1 x 6x+1 8 7x =6 ; b) x x 1 7 x = ; b) x+ 1 x+1 =6 ; c) x x 1 Esercizi proposti 6 x 1 =1 ; c) 1x x 7x 1 16 x 11x+ 1 x+ x x a) =18 ; b) =6 ; c) x 7 x+1 6 x 1 =196 a) x+ x 1 1=0 ; b) x+1 9 x 1 =0 ; c) 6 x +6 x+1 7=0 a) x 1 + x+1 =0 ; b) 7 x+1 9 x 8=0 ; c) x+ 16 x 11=0 6 a) 9 x+1 x =0 ; b) 8 x+1 8 x 1 =0 ; c) 6 x 1 6 x+ 1=0 7 Capitolo 6 x 1 =16 x+ 9 7 x 81 x = 1

8 Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali 7 a) x 1 x 1 >81 ; b) x 1 1 x 8 a) x 1 < 16 x+1 9 ; b) 8 x 1 <16x 1 ; c) 1 9 a) x 1 1 x 8 16 ; b) 7x+ ; c) x+ x+1 x ; c) 9 x+ 7 x x x 1 16 x a) 6 x+1 6 x ; b) 1 x+1 1 x 1 0 ; c) x + 6 x a) x x ; b) x 8 9 x +1>0 ; c) x +8 x 1 1<0 6 Senza risolvere le seguenti equazioni esponenziali, spiegare perché esse sono prive di soluzioni reali 1 8 x = x 1 x = x 1 1 x+ + x = x+1 Risolvere i seguenti sistemi di equazioni esponenziali x+y 9= x y x+y =6 8 x =16 x y x+ y =1 y 7 x y =9 x = y 1 8 x+y 1 x+1 9= y +1 y 1 += x 1 x+1 1= y y +1 +1= x x+y + x y = y +1 1= x 1 Logaritmi ed esponenziali 7

9 Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche 1 log ( x +) log ( 9x 1)+log ( 7x )=0 log ( 6x ) log ( x 9)+log ( +7x )=0 log 1 ( x 1) log 1 ( x 1)+log 1 ( x )=0 log ( x 6) log ( x 16)+log ( +7x )=0 log 11 ( 7x )+log 11 ( x )+log 11 ( 8x )=0 Risolvere i seguenti sistemi di equazioni logaritmiche log ( x )+log ( y )=1 log ( x ) log ( y )= log ( xy )= x log y = log ( xy )= x log y =1 log ( x + y )= log 7 ( x y )= log x ( y )= log y ( x )= 1 log x ( y )= log y ( x +1)=1 Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche log 17 ( x +1) log 17 ( x x 1)>log 17 ( +x ) log 1/ ( 1x +) log 1/ ( 7x 1)<log 1 ( 7x ) log / ( x )>log / ( x )+log / ( 1+x ) log ( 1x ) log ( x )+log ( +x ) 0 76 Capitolo