4 Capitolo Equazioni e disequazioni

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1 4 Capitolo Equazioni e disequazioni algebriche 4.1. Equazioni algebriche in una incognita Cominciamo subito con delle definizioni. Un uguaglianza numerica o simbolica si dirà un identità in un certo insieme A, se può essere ricondotta alla scritta 0 = 0. Un uguaglianza numerica o simbolica si dirà una contraddizione in un certo insieme A, se può essere ricondotta alla scritta a = 0, dove a rappresenta un simbolo o un numero certamente diverso da zero. Una uguaglianza simbolica si dirà un equazione in un insieme A se, a seconda degli elementi di A che si sostituiscono ai suoi simboli, si ottengono sia identità numeriche sia contraddizioni numeriche. esempi x 1. +x +1 = x +1 x +1 rappresenta un identità per tutti gli x 1, poiché per tale valore il denominatore del membro a sinistra si annulla e l espressione non ha più senso.. x + 1 = è un equazione perché per esempio è vera per x = 1, mentre è falsa per qualsiasi altro valore.. x +4= 1 è una contraddizione per qualunque x, perché il membro a sinistra rappresenta sempre numeri positivi, mentre quello a destra è un numero negativo. Continuiamo con le definizioni. Diciamo che un equazione è ridotta in forma semplificata se il suo secondo membro è zero e l espressione algebrica al primo membro non è ulteriormente semplificabile. Le variabili che in essa compaiono si dicono incognite. L eventuale parte priva di incognite si dirà termine noto. 114 Capitolo 4

2 esempio L equazione: 5+6n = 8m si scrive in forma semplificata trasferendo al primo membro tutto il suo secondo membro. Otteniamo così l equazione 8m +6n+=0 Le sue incognite sono m ed n, il suo termine noto è. Poiché è più semplice risolvere equazioni in una sola incognita, quando sono presenti più variabili, in genere se ne sceglie una di esse come incognita e le altre si considerano dei parametri. esempio L equazione x y = 0 può considerarsi sia come un equazione nelle due incognite x e y sia come equazione nella sola incognita x, in cui y è il parametro, o anche come equazione nella incognita y in cui è x il parametro. Consideriamo le più semplici equazioni. Una equazione di primo grado in un incognita in forma semplificata è del tipo: ax + b = 0 dove a e b rappresentano in generale delle espressioni numeriche, mentre x rappresenta l incognita. La risoluzione di tale equazione consiste nel cercare di riscrivere l espressione con al primo membro la sola incognita, il che può farsi facilmente con il seguente procedimento: ax + b = 0 ax + b - b = -b ax a = - b a x = - b a esempio Risolvere l equazione 7a = 0. Si ha: 7a= a= 7 Un po di attenzione deve farsi quando l incognita si trova al denominatore di una frazione, cioè nelle cosiddette equazioni fratte. Equazioni e disequazioni algebriche 115

3 esempio Risolvere l equazione: 5x x + 4x x =1 Abbiamo: 5x ( x ) 4x ( x +) ( = x + ) ( x ) ( x +) ( x ) ( x +) ( x ) 5x 15x 4x 8x ( x +) ( x ) = x x +x 6 ( x +) ( x ) x x ( x +) ( x ) = x x 6 ( x +) ( x ) x x x + x +6 x +6 =0 ( x +) ( x ) ( x +) ( x ) =0 = Siamo tentati di eliminare il denominatore, solo che così facendo potremmo ottenere soluzioni non accettabili, perché appunto annullerebbero il denominatore, allora imponiamo che tale quantità sia non nulla e poi la eliminiamo. x +6=0 ( x +) ( x ) 0 x = 6 x + 0 x 0 x = 11 x x Poiché la soluzione ottenuta è diversa dai valori che annullano il denominatore, essa è una soluzione accettabile. esempio Risolvere: Abbiamo: x +1 x +1 x +=0 x +1 0 ( ) x + x + x +1 x x =0 x +1 =0 x +x +1 x + x + x + =0 x +1 x +1 =0 x = x 1 x = 1 x 1 Dato che le due espressioni si contraddicono, diciamo che l equazione non ha soluzioni, o se si preferisce che la soluzione x = 1, non è accettabile. Usando i precedenti procedimenti possiamo risolvere anche equazioni di grado superiore al primo, purché siano scritte in un certo modo. 116 Capitolo 4

4 esempio Risolvere l equazione (x ) (5x + 4) ( + x) = 0. Se svolgessimo le moltiplicazioni otterremmo la seguente più complicata equazione di terzo grado 0x +49x 10x 4 Se invece osserviamo che un prodotto è nullo solo se almeno uno dei suoi fattori lo è (principio di annullamento del prodotto), sostituiamo alla risoluzione dell equazione di terzo grado quella di più semplici equazioni di primo grado: x =0 5x +4=0 +x =0 x = x = 4 5 x = Con il simbolo indichiamo il connettivo logico vel, cioè la nostra congiunzione o nel suo significato debole, nel senso cioè che le soluzioni possono essere l una o l altra delle tre. Se perciò riusciamo a scomporre l espressione in fattori di primo grado, riusciamo a risolvere anche equazioni di grado superiore al primo. esempio Risolvere l equazione di quarto grado: x 4 81=0 Scomponiamo: ( x 9) ( x +9)=0 Per il principio di annullamento del prodotto abbiamo: x 9=0 x +9=0 Il primo fattore si può ancora scomporre: ( x +) ( x )=0 x = 9 Il secondo fattore è ovviamente una contraddizione, pertanto le soluzioni sono: x +=0 x =0 x = x = Possiamo anche scrivere le soluzioni nella forma compatta: x =± Per a numero reale diverso da zero, la scrittura x =±a equivale alle due seguenti x = +a e x = a. Equazioni e disequazioni algebriche 117

5 esempio Risolvere l equazione: ( x ) 5=0 Saremmo tentati di svolgere il quadrato, scrivendo: 9x 1x +4 5=0 9x 1x 1=0 Questo procedimento non è consigliabile, perché in tal modo otteniamo un equazione che non è facile da scrivere come prodotto di due fattori di primo grado. Invece conviene procedere nel seguente modo: ( x ) =5 x =± 5 Abbiamo ottenuto due equazioni di primo grado che risolviamo facilmente: x = 5 x = 5 x =+ 5 x = 5 x = + 5 x = 5 Le due soluzioni possono scriversi anche nel seguente modo compatto: x = ± 5 Quello che abbiamo visto in un caso particolare, si può sempre fare per una generica equazione di primo grado, ottenendo ciò che stabilisce il seguente risultato. TEOREMA 1 L equazione ax + bx + c = 0 ha soluzioni reali solo se b 4ac 0, in questo caso esse sono: x = b ± b 4ac a Nella formula risolutiva di un equazione di secondo grado, il termine b 4ac si chiama discriminante dell equazione. Il discriminante di una equazione di secondo grado si indica con la lettera greca maiuscola delta, Δ. La formula risolutiva può così scriversi nella seguente forma semplificata: x = b± Δ a 118 Capitolo 4

6 esempio Applichiamo la formula del teorema precedente alla risoluzione dell equazione 5x 1x +1=0. Si ha: a = 5, b = 1 e c = 1. Assicuriamoci prima che vi siano le soluzioni; essendo: b 4ac = 1 ( ) 4 5 1=169 0=149>0 effettivamente le soluzioni ci sono, calcoliamole: x = ( 1 )± 149 1± 149 = Equazioni e disequazioni algebriche Esercizi svolti 1 1 Risolvere l equazione 1 18 x 1 x + 4 = 1 x x +1. Si ha: 1 18 x x + 4 = 1 x 8+1x x 7x +6 x x +1 = x +19 = 54 16x 14x +16x = x =5 x = x = 1 4 y +1 Risolvere l equazione fratta y 5 y 19y 18 = y + y y 10. Determiniamo il minimo comune denominatore ed eseguiamo (y +1) (y +) (y ) (y 5) (y 5) (y +) 19y 18 = (y 5) (y +) y +4y + y + y +5y +y 10 19y +18 =0 (y 5) (y +) y 7y +10 ( (y 5) (y +) =0 y ) y 5 ( y 5) y + ( ) ( ) =0 Equazioni e disequazioni algebriche 119

7 ( y ) ( y 5)=0 ( y 5) ( y +) 0 y =0 y 5=0 y + 0 y 5 0 y = y =5 y y 5 y = Risolvere l equazione di secondo grado x +5=0. Si ha: x = 5, che è una contraddizione. 4 Risolvere l equazione ( 5x 1) 4 1=0. Piuttosto che svolgere il quadrato usiamo un altro metodo: ( 5x 1) 4 =1 5x 4 1=± 1 5x 1=±1 5x 1=1 5x 1= 1 5x = 5x =0 x =± 5 5 Risolvere l equazione 16x 8x =0. Applicando la formula risolutiva abbiamo: x =0 x =± x = ± ± 56 x = = x = 8±16 = = 4 = = 8 = Risolvere l equazione 49x 4x +1=0. Cercando di applicare la formula risolutiva troviamo Pertanto l equazione non ha soluzioni in R. 7 Risolvere l equazione: 7x =0. In questo caso abbiamo: a = 7, b = 0 e c = Calcoliamo il delta: Δ=0 4 7 ( )=84 Δ= <0 10 Capitolo 4

8 ci sono perciò le seguenti soluzioni reali: x = 0± 84 7 Potevamo risolvere anche in questo modo: = ± 1 =± 14 1 =± x = 7 x =± 7 Equazioni di secondo grado di questo tipo, senza il termine di primo grado, si dicono pure, e hanno due soluzioni reali ed opposte solo se i coefficienti dei termini presenti sono opposti, diversamente non hanno soluzioni reali. 8 Risolvere l equazione 9x +x =0. Calcoliamo il discriminante: Δ= =1 Anche in questo caso ci sono due soluzioni reali: 1+1 x = 1± 1 9 = 1±1 18 = 18 = = 18 = 1 9 Avremmo potuto risolvere anche in questo modo: x =0 x ( 9x +1)=0 9x +1=0 x = 1 9 Equazioni di secondo grado di questo tipo, senza il termine noto, si dicono spurie e hanno sempre due soluzioni reali, una delle quali è uguale a zero. 9 Risolvere l equazione 5x 6 1x 1=0. Abbiamo a che fare con un equazione molto simile a una di secondo grado, se infatti poniamo x = y, possiamo scrivere 5y 1y 1=0. Quindi: Δ=144+0=164 in cui l incognita è però x : x = 1± 164 6± 41 = 10 5 In questo modo abbiamo ottenuto due equazioni binomie che risolviamo: x = 6± Equazioni e disequazioni algebriche 11

9 4 Equazioni e disequazioni algebriche Esercizi proposti 1 Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo. Risolvere le seguenti equazioni di I grado nell insieme appresso indicato; se non è indicato nulla, si intende l insieme R dei numeri reali 1 a) x = 0, x Q; 8y + 7 = 1, y N; c) 1z 4 = 0, z Z a) c= 4, c Q ; b) m+ 4 m 1 4 =1 ; c) 7 4 n+5 n 1=0 a) y 4 = y + 1; b) 4d 5 = d 1 1 ; c) g + 1 ( 1 g )= 1 4 ( m+1) ( m m+1) ( m +m 4)= ( m 1), m Q 5 c 5 c 7 6 c=c +1, c Z 4 6 (b 1) (b ) b + = b + (b 1) b 7 y y +1 1 y + 1 = y y 5y y 8 9 q q 5q 4 s + 4s 1 s q 1 = 4 s 4 1 Capitolo 4 q 5 = s 1 8, s R 10 t 1 t + 1 t t =5t ( t +1) t 1, t Q 5 Nelle seguenti divisioni determinare il valore del parametro h in modo che il loro resto sia quello indicato in parentesi 11 ( x 5 +h x x +1): ( x +); R =1 1 ( x 4 +h x hx 1): ( x 1); R = 1 ( m 4 +h m +h): ( m ); R = 14 ( x 7 h x 5 +h x h x +1): ( x 1); R = 1

10 15 ( a 8 h a 6 +h ): ( a +1); R = Risolvere le seguenti equazioni algebriche di grado superiore al I 16 a) 16x 4 81=0; b) 8x +7=0; c) 5 x 5 =0 17 a) 7x 7 +74=0; b) 64x 6 49=0; c) x 7=0 18 ( 14x 7 ) ( 4x +5) ( 8x ) ( x 6 5)=0 19 ( 5x +1) ( 7x +) ( 7x )+ ( x 5) ( x +1) 6x ( x +5)+0x +=0 0 ( 4x 1) ( 6x 4 +8x +1) ( x +5) ( 8x 4 +15x +5)=0 1 a) 8x 6 1 ( ) +6=0; b) ( 1x 5) 4 =1; c) ( 65x ) 5 =1 ( 1 1x 4 ) ( x +1)+ ( 1 1x 4 ) ( 1 x ) ( 1 1x 4 ) ( x +)=0 a) 7m +m+1=0; b) 1p p+1=0; c) 4n n =0 4 a) 14x x =0; b) x +14x +=0; c) x 14x =0 5 a) 7x + 7x +1=0; b) 7x + x 7=0; c) x 7x + 7 =0 ( ) 6 a) x x 5=0; b) x + 8 x 5 +10=0 ( ) ( ) 7 a) x 1+ x =0; 8 b) x x 6 + +=0 x x x 1 ( 4 x )= x x ( x ) + ( x 1) ( + x ) = 1 0 x 4x x +1 x 5 ( ) 5x + 6 ( x +1) = x x +1 Risolvere, senza sviluppare le potenze, le seguenti equazioni di grado superiore al II ( ) 7 x + x 1 ( ) + x x +11 ( ) ( 4 x 5 ) 1=0 1 x + x 1 8 x x x 5 ( )+10=0 ( ) =0 4 a) 4x 4 +x =0; b) x 4 +4x =0; c) x 4 x +4=0 Equazioni e disequazioni algebriche 1

11 5 x 1 + x x 1 1 1x 4 +1 =0 4 Risolvere le seguenti equazioni fratte 6 a) p p 1 (p ) ( p)+ = ; b) m p 1 p+ p +p m+5 + m 1 m 5 = 8m m+1 4m 5 7 a) q q +1 q 9 q 1 q + q q + =0 ; b) 5w w +1 w +1 4w +1 + w +1 = 4w w 1 w w +1 8 a) x x 1 5x x ; b) 10x + x m 5m+6 1 m 7m+10 =0 9 a) 5n +1 n+ 4n+ n 1 = n 7n 7 ; b) 6n +7n 40 a) 41 a) m z +1 z 4 z 1 z 5z z z 6 =0 b) h +h 1 h h 5 h h+1 h 5h 14 = h +h h+6 h 9h 70 m 1 m+5 = m m 1 1 x x x + x + 6x +1x +6 =0 ; b) 5n+1 n 1 n+= n a) z + z +1=0 ; b) y y +1 y + y =1 4 a) x +1 x 1 x + x +1 = ; b) y y + y +5 y 5 = y y y 1y a) 1 x 4 +x 1 x 4 x +1 =0 ; b) x x + + x 1 x +1 =0 45 x 4 x +1 x 4 + x +1 + x 4 + x 1 x 4 x 1 =0 4.. Disequazioni algebriche Spesso, in matematica, si devono risolvere problemi di disuguaglianza, cioè stabilire se un certo valore è maggiore o minore di un altro. 14 Capitolo 4

12 Scriveremo x > y per indicare che la quantità x è maggiore della quantità y. Scriveremo x y per indicare che x > y oppure x = y. Scriveremo x < y per indicare che la quantità x è minore di quella y. Scriveremo x y per indicare che x < y oppure x = y. Per le disequazioni valgono le seguenti fondamentali proprietà. TEOREMA 1 Si ha: x > y x < y oppure x < y x > y, qualunque siano i numeri reali x e y; x > y 1 x < 1 y qualunque siano i numeri reali positivi x e y. esempi 1. Risolvere la disequazione: 5x 8 > 0 La risoluzione è del tutto simile a quella delle equazioni di I grado. 5x 8 > 0 5x > x >8 5 5 x > 8 5 x > 8 5. Risolvere la disequazione: c + 1 < 0 Stavolta la risoluzione è leggermente diversa: c + 1 < 0 c < 1 infatti adesso dobbiamo applicare la prima proprietà del Teorema 1, poiché dobbiamo dividere entrambi i membri per una quantità negativa: c < 1 c > 1 c > 1 Facilmente si risolvono anche disequazioni riconducibili a prodotto di fattori di primo grado. Equazioni e disequazioni algebriche 15

13 esempio Risolvere la disequazione: (x 4) (x + 5) < 0 Dobbiamo determinare i numeri reali x per cui l espressione indicata è negativa, quindi dobbiamo stabilire il segno di un prodotto. Sappiamo che il prodotto di due numeri reali non nulli è negativo solo se i numeri hanno segno opposto, quindi in linea teorica dovremmo stabilire se e quando accade che contemporaneamente si abbia: (x 4) > 0 e (x + 5) < 0 oppure (x 4) < 0 e (x + 5) > 0 Conviene risolvere separatamente le disequazioni: (x 4) > 0 e (x + 5) > 0 o le disequazioni (x 4) < 0 e (x + 5) < 0. Non importa quali delle due, perché a noi interessa stabilire il segno delle due espressioni, e individuato dove sono positive sapremo anche quando sono negative, o viceversa. Considerando le prime due avremo: x 4<0 x < 4 ; x +5<0 x < 5. Usiamo il seguente grafico, nel quale con il pallino vuoto indichiamo che per il valore 4/ l espressione x 4 vale 0, mentre con il tratteggio indichiamo quei valori per cui l espressione è negativa e infine con il tratto continuo indichiamo che invece l espressione è ivi positiva. 4/ Quest altro grafico è per il segno di x / Adesso non ci resta che riportare (in una sorta di intersezione delle due rappresentazioni) il tutto nello stesso grafico, ottenendo un unico colpo d occhio sull intera espressione prodotto. 5/ 4/ Capitolo 4

14 Nell ultima riga del grafico abbiamo riportato il segno del prodotto, ottenuto dal prodotto dei segni dei fattori, abbiamo tratteggiato i bordi verticali del rettangolo per indicare che i valori 5/ e 4/ non sono soluzioni. Quindi possiamo dire che la soluzione della disequazione (cioè l espressione (x 4) (x + 5) è negativa), per 5 <x < 4. In questo modo possiamo anche risolvere disequazioni di II grado. esempio Risolvere la disequazione: x 7x Scriviamo la disequazione nel seguente modo: ( x ) ( x 4) 0. Quindi la risolviamo come la precedente: x 0 x e x 4 0 x 4. La cui risoluzione grafica è: Stavolta abbiamo ingrossato i bordi verticali del rettangolo colorato per indicare che i valori e 4 sono anch essi soluzioni. Pertanto la soluzione è: x x 4 Quello che abbiamo visto nell esempio precedente si può effettuare in generale tutte le volte in cui un trinomio di secondo grado si può esprimere come prodotto di fattori di I grado, il che accade tutte le volte in cui l equazione associata alla disequazione ammette due soluzioni distinte x 1 < x. Osserviamo che possiamo sempre supporre a > 0, poiché se così non fosse potremmo cambiare segno a tutti i coefficienti e verso alla disequazione. Allora in questo caso possiamo scrivere la disequazione nella seguente forma: a ( x x 1 ) ( x x ) > 0 a ( x x 1 ) ( x x ) < 0 Equazioni e disequazioni algebriche 17

15 e quindi a essa associamo il grafico seguente: x 1 x + + mediante il quale possiamo enunciare il seguente risultato. TEOREMA Nell ipotesi in cui sia Δ = b 4ac > 0, il trinomio ax +bx +c ammette due zeri x 1,x, con x 1 < x, e assume lo stesso segno di a quando è x < x 1 x > x, mentre assume il segno opposto a quello di a se è x 1 < x < x. esempio Risolvere la disequazione: y 7y +<0. Calcoliamo il delta: Δ=49 4 =49 4=5>0 Determiniamo allora le soluzioni dell equazione associata: 7+5 7± 5 y = = 7±5 6 6 = 6 = = 1 Applicando il Teorema, scriviamo la soluzione della disequazione: 1 < y <. La disequazione: y 7y + 0 ha soluzione per 1 y. La disequazione: y 7y +>0 ha soluzione per y < 1 y >. La disequazione: y 7y + 0 ha soluzione per y 1 y. In effetti, anche se il delta è nullo possiamo esprimere il trinomio come prodotto di due fattori, uguali stavolta a: ax +bx +c = a ( x x 1 ) ( x x 1 ) = a ( x x 1 ) 18 Capitolo 4

16 Il segno del trinomio è lo stesso del primo coefficiente, essendo l altro fattore un quadrato perfetto, e quindi sempre positivo per x x 1. Grazie alla formula risolutiva dell equazione di secondo grado siamo anche in grado di determinare x 1. Infatti: x = b± Δ a = b a Pertanto x 1 = b a. Vale perciò il seguente teorema. TEOREMA Nell ipotesi in cui sia Δ = b 4ac = 0, il trinomio ax +bx +c ammette un solo zero reale x = b e assume lo stesso segno di a quando è a x b, mentre non assume mai il segno opposto a quello di a. a esempio Risolvere la disequazione: z z +1>0. Calcoliamo il delta: Δ= ( ) 4 =8 8=0 Quindi, applicando il Teorema abbiamo che la soluzione è: z = La disequazione z z +1 0 ammette tutte le z come soluzioni. Possiamo usare anche la seguente simbologia: z R. La disequazione z z +1<0 non ammette alcuna soluzione. La disequazione z z +1 0 ammette solo la soluzione z = Equazioni e disequazioni algebriche 19

17 Se poi il trinomio ha delta negativo, possiamo scrivere: ax +bx +c = ( a x) b + a a x + b b +c = a a = a x + b a b +c = ax + 4a a b + 4ac b 4a = ax + b Δ a 4a Così nell ipotesi in cui sia a > 0, dato che Δ < 0, essa risulta dalla somma di un numero non negativo e di un numero positivo. Ciò significa che vale il seguente teorema. TEOREMA 4 Nell ipotesi in cui sia Δ = b 4ac < 0, il trinomio ax +bx +c assume sempre lo stesso segno di a. esempio Risolvere la disequazione: 5h +4h+1<0 Calcoliamo il delta: Δ= =16 0= 4<0. Per il Teorema 4 abbiamo che la disequazione non ha soluzioni, così come non ha soluzioni la disequazione 5h +4h+1 0. Invece, la disequazione 5h +4h+1>0 e la disequazione 5h +4h+1 0 ammettono ogni numero reale h come soluzione. Possiamo anche usare la seguente simbologia: h R Equazioni e disequazioni in valore assoluto In alcuni casi, per esempio quando si ha a che fare con delle misure, si ha l esigenza di disporre di quantità positive. Per fare ciò definiamo il concetto di valore assoluto di una quantità. Diciamo valore assoluto di una quantità, la stessa quantità se non negativa, il suo opposto se negativa. La quantità si chiama anche argomento del valore assoluto. Il valore assoluto di un numero generico n si indica con il simbolo n esempio Valgono le seguenti relazioni: 7 =7; 0 =0; = 10 Capitolo 4

18 Cosa succede se l argomento del valore assoluto è generico? esempi 1. Che significa x +1? Poiché l argomento, come somma di quadrati, è certamente non negativo, avremo: x +1 = x +1. Allo stesso modo: x 4 5x = x 4 5x perché l argomento è negativo indipendentemente dai valori che possono assegnarsi all incognita x.. Lo stesso non accade invece per x +1, in questo caso scriveremo: x +1 se x 1 x +1 = x 1 sex < 1 Come possiamo risolvere allora un equazione con i valori assoluti? esempio Risolvere 5x +1 =. Tenendo conto del significato del valore assoluto possiamo seguire diversi approcci. Il più semplice consiste nel rendersi conto che la data equazione è equivalente alle due equazioni seguenti: 5x + 1 = oppure 5x + 1 = Dato che il valore assoluto di e quello di sono entrambi uguali a, l equazione ha le seguenti due soluzioni: 5x +1 = 5x +1= 5x +1= x = 1 5 x = 5 Verifichiamo i risultati: x = 1 5 5x +1 = = =;x = 5 5x +1 = 5 +1 = = 5 Vediamo la risoluzione di qualche tipo di disequazione in valore assoluto. Equazioni e disequazioni algebriche 11

19 esempio Risolvere 7x >1. Cerchiamo le x che rendono l argomento del valore assoluto maggiore di 1 oppure minore di 1. Infatti per esempio non solo >1, ma anche 5 =5>1. Pertanto la disequazione equivale alla risoluzione delle due disequazioni 7x > 1 e 7x < 1. Avremo quindi: 7x >1 7x < 1 x > 4 7 x = 7 esempio Risolvere 4x +5. Stavolta la disequazione è equivalente alle seguenti due: 4x +5. Riscriviamo: 4x x 5 7 4x 7 4 x 4 4 Equazioni e disequazioni algebriche Esercizi svolti 1 1 Risolvere la disequazione 4u 1 4u+5 0. Una divisione è un caso particolare di moltiplicazione, quindi basta determinare il segno di un prodotto (frazione) mediante il segno dei suoi fattori (numeratore e denominatore). Si ha 4u 1 0 u 1 4 e 4u +5 0 u 5, con il grafico seguente: 4-5/4 1/4 + + Notiamo che abbiamo barrato il valore 5 in corrispondenza del segno della frazione, poiché questo valore ne annulla il denominatore e la rende priva di significato. Infine, le soluzioni cercate sono 4 le seguenti: u < 5 4 u Capitolo 4

20 Risolvere la disequazione ( 5m+1) ( m ) ( 7m+1) 0. Determiniamo il segno di ciascuno dei tre fattori stabilendo, per esempio, quando sono positivi e per completezza determiniamo anche quando sono negativi o nulli. La relativa rappresentazione grafica è: 1/5 1/7 / + + Dall esame del grafico appare chiaro che l insieme dei valori risolutivi dell espressione è: m m Risolvere la disequazione x x 5>0. Dato che Δ=9+0=9 l equazione associata ha due soluzioni reali e distinte, quindi per il Teorema andiamo a trovare dette soluzioni. + 9 ± 9+0 x = = 9 Quindi per lo stesso teorema possiamo dire che la soluzione richiesta è: x < 4 Risolvere la disequazione x 7x +1< x > 7± 7 Le soluzioni dell equazione associata sono x =, quindi il trinomio è negativo per i seguenti valori di x: < x < 6 6 Equazioni e disequazioni algebriche 1

21 5 Risolvere la disequazione 5x 17x +4<0. Il problema è equivalente a quello di risolvere la disequazione 5x +17x 4>0. Le soluzioni dell equazione associata sono: 17± 69 x = 10 quindi il trinomio è positivo per i seguenti valori: x < x > Risolvere la disequazione 11x +7x 8 0. Le soluzioni dell equazione associata sono: 7± 401 x = Stavolta ci interessa sapere quando il trinomio è positivo o nullo, perciò la soluzione sarà: x 7 Risolvere la disequazione 9x 6x +1> x Si ha: Δ = 6 6 = 0, quindi per il Teorema, si ha: 9x 6x +1>0 ( x 1) >0 x 1. 8 Risolvere la disequazione: x 18x Può scriversi ( x 9) 0, quindi il trinomio non è mai negativo, è però nullo per x = 9, perciò questa è l unica soluzione. 9 Risolvere la disequazione 6x x +8>0. Si ha Δ = < 0, per il Teorema 4 il trinomio è sempre positivo, quindi tutti i numeri reali sono soluzioni della disequazione, cioè: x R. 10 Risolvere la disequazione x 5x +18<0. Si ha Δ = 5 7 < 0, per il Teorema 4 il trinomio è sempre positivo, quindi nessun numero reale è soluzione della disequazione. 14 Capitolo 4

22 11 Risolvere l'equazione 4x = 5x. In questo caso, per evitare di considerare i vari casi in cui i due argomenti sono entrambi positivi, entrambi negativi o di segno fra loro diverso, conviene innalzare al quadrato, ottenendo: ( 4x ) = ( 5x ) 16x 4x +9=5x 0x +9 9x 6x =0 x ( x )=0 x =0 x = Verifichiamo: x =0 4 0 = 5 0 = ;x = 4 = 5 1 = 1 Possiamo dedurre dal risultato che non accade mai che i due argomenti siano fra loro uguali e positivi, o che siano opposti con il primo positivo. 4 Equazioni e disequazioni algebriche Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo. Risolvere le seguenti disequazioni Esercizi proposti 1 1 a) x x; b) 1 x x; c) 1 x x 1 x a) m m+1; b) 8 w 1 5 w 1 ; c) 7 8 a 1 a 1 a+ 1 a 1 x 1 1 x < 1 1 x 1 x c c 1 4 c 1 c c 1 6 c 5 k 1 k +1 k 4 4 x 1 6 x +1 x 1 x +1 > a) ( w +1) ( w +) ( w 1) ( w )>0; b) 5t + 8 ( x +1) ( x 1) ( 4x +1) ( x +1) ( x +) 0 1 5b 4b 1 9 a) >0; b) <0; c) b+ b+1 b 5 0 ( ) ( t 4) >0 Equazioni e disequazioni algebriche 15

23 (d +) (d 1) ( 10 a) <0; b) d 4 ) ( 1 d ) d 1 0; c) d d ( d +1) ( d +1) 0 11 a) (a ) (a+1) ( (5a+7) ( 8a) >0; b) a ) ( a ) ( a+) ( a+) 0; c) a ( a 1) ( a+1) a 16 Capitolo 4 ( ) 0 1 a)19m 6m 15 0; b) 4m 14m+>0; c) 6m m a) x 4<0; b)16x ; c) 6x 4 +1>0 14 a)x 10x +5<0; b) x +8x 65>0; c) x +x a) c c <0; b) c +c+ c c+1 4c+1 c 1 > 1c+5 c c c+1 16 a) (x 4x +) (x +9x +14) x +7 0; b) (x +4x +) (x 9x +14) x +1 x +1 x x (x +1) 1 x 1 1 x +1 (x +1) + x x w 1 +5 <1w w +1 w 4 1 5x 10x +1 81x +18x +1 0 x 6x +11x 6 x +x x >0 x x +x 1 x +x +x +1 0 x +15x + 8x +17x +1 0 x +11x +1 x +8x 0 x 11x +15 x +7x +10 <0 x 4x +5 5x +4x 0 x x +1 6 x +x Per quali valori del parametro m l equazione ( 7+m ) x +4m x ( 7 m )=0 ammette soluzioni reali?

24 8 Per quali valori del parametro m l equazione ( m 1) x +m x +m =0 ammette soluzioni reali? 9 Per quali valori del parametro m l equazione ( m +1) x + ( m) x + ( m+1)=0 ammette soluzioni reali? 0 Per quali valori del parametro m l equazione ( 4m +1) x ( 1+4m) x ( m )=0 ammette soluzioni reali? Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni in valore assoluto 1 a) x +1 = ; b) x +=0; c) 5= 7x + a) x + =4; b) x +x +1 =1; c) 4x +1 =0 a) x 4 =x +; b) x + x =0; c) x + 4x +1 =0 4 a) 8x =1; b) x = 5x 1 ; c) x +1 = x 5 a) x +1 = 5x +4 ; b) x = x 1 ; c) x 4 = 4x +1 6 a) x +1 <; b) 1 x +4 ; c) + x a) x ; b) x +1 >; c) x a) x +1 <x; b) x +5 <x 1; c) x +1 9 x 4 + x x +1 > x 4.. Sistemi di equazioni e/o disequazioni algebriche Capita talvolta di dovere risolvere non una singola equazione o disequazione, ma più equazioni e/o disequazioni contemporaneamente, dove con questo termine intendiamo che le equazioni e/o disequazioni abbiano tutte le stesse incognite e soprattutto le soluzioni che cerchiamo devono essere comuni a tutti. Chiariamo quanto detto, cominciando con le equazioni. Diciamo sistema di due o più equazioni l insieme di due o più equazioni di cui si devono determinare le eventuali soluzioni comuni. Diciamo grado di un sistema di due o più equazioni algebriche in n incognite il prodotto dei gradi delle singole equazioni algebriche che costituiscono il sistema. Un sistema di equazioni di primo grado si dirà sistema lineare. Equazioni e disequazioni algebriche 17

25 esempio Risolvere il sistema: x +y = x +4y =11 Non riusciamo a risolvere un equazione con più di una incognita, perché in genere tali equazioni hanno infinite soluzioni, per esempio la prima delle due equazioni del sistema ha come soluzioni tutte le infinite coppie di numeri reali la cui somma è. Cerchiamo allora di ricondurre una delle due equazioni a una sola incognita, il che può farsi risolvendo una delle due equazioni e sostituendone il valore trovato nell altra equazione: x = y x +4y =11 In questo modo abbiamo stabilito che x e y sono la stessa cosa, pertanto possiamo sostituire ogni ricorrenza di x nella seconda equazione con y, ottenendo: x = y ( y )+4y =11 Così la seconda equazione ha una sola incognita, che andiamo perciò a risolvere x = y x = y 9 y +4y =11 y = A questo punto abbiamo determinato il valore di y, che è ; perciò, per ottenere anche il valore di x, basta sostituirlo nella prima equazione. Si ha così: x = x =1 y = y = Ciò vuol dire che l unica soluzione comune a entrambe le equazioni è proprio quella indicata. Si dice: sistema impossibile un sistema privo di soluzioni; sistema indeterminato un sistema con infinite soluzioni. Il metodo di sostituzione si può applicare a qualunque sistema di equazioni algebriche. 18 Capitolo 4

26 esempio Risolvere il sistema: x y +z = x y +4z = x y +5z =1 Risolvendo una delle tre equazioni e sostituendone il valore trovato di una delle incognite nelle altre due, le ridurremo a due incognite e quindi avremo un sistema di due equazioni in due incognite. x y +z = (y 4z +) y +z = x y +4z = x =y 4z + x y +5z =1 (y 4z +) y +5z =1 6y 1z +6 y +z = 4y 11z = x =y 4z + x =y 4z + 4y 8z +4 y +5z =1 y z = A questo punto si lavorerà sulla prima e terza equazione come se rappresentassero un singolo sistema di due equazioni in due incognite. 4 (z 1) 11z = 4z 4 11z = x =y 4z + x =y 4z + y =z 1 y =z 1 z = 1 z = 1 7z =1 7 x =y 4z + x =y x = 7 7 y =z 1 y = y = 8 7 Quella trovata è l unica soluzione comune a tutte le equazioni del sistema. Equazioni e disequazioni algebriche 19

27 esempio Risolvere il sistema: x y +=0 x +xy =0 Ricaviamo il valore rispetto a una incognita nella prima equazione e sostituiamo nella seconda: y =x + y =x + x +x ( x +) =0 x +x +x =0 y =x + y =x + x +x =0 x +x 1=0 La seconda equazione ha le soluzioni: x = 1± 1+4 = 1± 5 quindi anche il sistema ha due soluzioni, che otteniamo sostituendo i precedenti valori nella prima equazione; si ha y = y = 4 5 x = 1 5 x = 1 5 x = 1 5 x = 1 5 y = y = 4 5 e x = 1+ 5 x = 1+ 5 x = y = Capitolo 4

28 Esistono altri metodi di risoluzione oltre a quello di sostituzione. esempio Risolvere il sistema: x y +=0 x +y 7=0 Osserviamo che in questo caso sommando termine a termine le due equazioni, procedura legittima, otteniamo immediatamente un equazione in una sola incognita: x y +=0 x = x +y 7=0 x 4=0 Analogamente, se sottraiamo otteniamo un equazione nell altra incognita: x y + =0 y =5 x +y 7=0 y +10=0 Il metodo precedente, detto di addizione e sottrazione, risulta particolarmente efficace in sistemi di equazioni di grado superiore al primo, la cui risoluzione con il metodo di sostituzione si rivelerebbe particolarmente laboriosa. esempio Risolvere il sistema: x +y x +y 1=0 x +y 5x +7y +1=0 Se volessimo applicare il metodo di sostituzione, dovremmo ricavare una delle due incognite da una delle due equazioni, ottenendo un espressione particolarmente complicata, per esempio ricavando x dalla prima: x x +y +y 1=0 x = ± 9 4 ( y +y 1) Invece, applicando il metodo di addizione e sottrazione moltiplichiamo per ciascun termine della prima equazione, per ottenere termini di II grado uguali: x +y 6x +4y =0 x +y 5x +7y +1=0 Equazioni e disequazioni algebriche 141

29 Quindi sottraiamo termine a termine: x +y 6x +4y =0 x +y 5x +7y +1=0 x y =0 Adesso mettiamo a sistema una delle due equazioni precedenti con questa equazione di I grado e risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione: x +y x +y 1=0 y x = y x = y ( ) +y y ( )+y 1=0 9y +18y +9+y +9y +9+y 1=0 10y +9y +17=0 x = y x = y x = 9± 161 y = 0 7± Un altro metodo utile solo nella risoluzione di sistemi di equazioni lineari è quello cosiddetto di Cramer-Leibniz, che si serve del concetto di determinante. Non approfondiamo questo argomento, ci limitiamo a considerare alcuni casi particolari. Per il momento ci basta dire che un determinante è un numero reale associato a n altri numeri reali scritti in forma di tabella quadrata. Ora poniamo qualche definizione. Un generico sistema lineare di n equazioni in n incognite si indica con: a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n =b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n =b... a n1 x n1 +a n x +...+a nn x n =b n che chiamiamo forma normale di Cramer Leibniz. 14 Capitolo 4

30 A esso associamo i seguenti n + 1 determinanti: a 11 a 1 a 1... a 1n b 1 a 1 a 1... a 1n D = a 1 a a... a n a 1 a a... a n a n1 a n a n... a nn, D x1 = b a a... a n b a a... a n b n a n a n... a nn, a 11 b 1 a 1... a 1n a 11 a 1 a 1... b 1 D x = a 1 b a... a n a 1 b a... a n a n1 b n a n... a nn,...,d xn = a 1 a a... b a 1 a a... b a n1 a n a n... b n esempio Per indicare simbolicamente il sistema: scriviamo: x y +z t =1 x y t =0 4y +z t =1 x +y z +6t = a 11 x 1 +a 1 x +a 1 x +a 14 x 4 =b 1 a 1 x 1 +a x +a x +a 4 x 4 =b a 1 x 1 +a x +a x +a 4 x 4 =b a 41 x 1 +a 4 x +a 4 x +a 44 x 4 =b 4 con la seguente corrispondenza fra i simboli: per le incognite per i coefficienti delle incognite per i termini noti x 1 = x, x = y, x = z, x 4 = t a 11 =, a 1 =, a 1 = 1, a 14 = 1 a 1 =, a = 1, a = 0, a 4 = a 1 = 0, a = 4, a =, a 4 = 1 a 41 = 1, a 4 = 1, a 4 =, a 44 = 6 b 1 = 1, b = 0, b = 1, b 4 =. Equazioni e disequazioni algebriche 14

31 A questo punto enunciamo un risultato che ci permette di risolvere qualsiasi sistema di equazioni lineari di n equazioni in n incognite. TEOREMA (di Cramer Leibniz) Il sistema di equazioni lineari a coefficienti reali a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b... a n1 x n1 +a n x +...+a nn x n = b n a 11 a 1... a 1n se D = a 1 a... a n , ammette l unica soluzione a n1 a n... a nn x 1 = D D x1, x = D D x,..., x n = D D xn diversamente ammette infinite soluzioni o non ammette soluzioni. Ora vediamo come calcolare i determinanti di ordine e di ordine. REGOLE Vale la seguente regola di calcolo di un determinante di ordine : a 11 a 1 =a 11 a a 1 a 1 a 1 a Vale la seguente regola di calcolo di un determinante di ordine : a 11 a 1 a 1 a 1 a a = a 11 a 1 a a a a a a a 1 a 1 a a 1 a +a 1 a 1 a a 1 a = = a 11 a a a 11 a a a 1 a 1 a +a 1 a a 1 +a 1 a 1 a a 1 a a Capitolo 4

32 esempi 1. Risolviamo il sistema: x y +1=0 4y 5x =1 Innanzitutto lo scriviamo nella forma normale: x y = 1 5x +4y =1 quindi applichiamo il teorema x = ;y = quindi applichiamo la regola per il calcolo dei determinanti: x = = 5 ;y = = 7. Il sistema: x y = 1 6x +y =1 non ha un unica soluzione, perché si ha 1 6 =6 6=0 Facilmente stabiliamo che non ha soluzioni, perché possiamo scriverlo nel seguente modo: x y = 1 x y = 1 Equazioni e disequazioni algebriche 145

33 Vediamo la risoluzione di un sistema di equazioni in incognite. esempio Risolvere il sistema: 4x y +z =1 x y z = 1 4y z = Intanto vediamo se è risolvibile: = = =4 ( +4)+ ( 6+0)+ ( 8+0)=8 6+8=0 0 Possiamo applicare il teorema di Cramer-Leibniz: x = ; y = ; z = x = ;y = ;z = x = 1 ;y =1;z = 146 Capitolo 4

34 Nel caso delle disequazioni dobbiamo avere una sola incognita, comune a tutte le disequazioni del sistema. esempio Risolvere il sistema: s >0 4s+1 0 Dovendo determinare le eventuali soluzioni comuni, risolviamo singolarmente ciascuna disequazione ottenendo: s> s 1 4 A noi non interessa stabilire i segni delle due espressioni, ma solo determinare se vi sono soluzioni comuni alle due disequazioni, quindi utilizziamo ancora un grafico simile a quello usato per le disequazioni prodotto, ma non vi scriviamo i segni. La linea continua stavolta indica che tutti i punti di quel segmento o di quella semiretta verificano la disequazione, la linea tratteggiata indica il contrario. In questo caso particolare abbiamo il seguente grafico. 1/4 / Le soluzioni comuni saranno quelle in cui figurano linee continue per entrambe le disequazioni, cosa che in questo caso non accade: pertanto il sistema è privo di soluzioni. Nella risoluzione di alcune equazioni in valore assoluto si ha a che fare con sistemi misti di equazioni e disequazioni. Equazioni e disequazioni algebriche 147

35 esempio Risolvere l equazione x +1 =1+ x. Conviene considerare il segno dei due argomenti. Abbiamo: -1/ / Possiamo dire perciò che non accade mai contemporaneamente che i due argomenti siano tali che il primo è negativo e il secondo positivo. A questo punto l equazione da risolvere equivale alla risoluzione dei seguenti tre sistemi misti. x 1=1 x + x < 1 x +1=1 x + 1 x x +1=1+x x > x +x =1++1 x < 1 x +x = x x x =1 1 x > x =4 x < 1 x = 5 1 x x = x > Pertanto, le soluzioni accettabili sono: x = x =. Verifichiamo tutte le soluzioni trovate, anche quella non 5 accettabile: x =4 4+1 = = x = = = = 9 5 x = +1 =1+ 5 =1+ 4 5=5 148 Capitolo 4

36 4 Equazioni e disequazioni algebriche Esercizi svolti 1 1 Risolvere il sistema: x y =1 4x y = È arbitraria la scelta dell equazione su cui lavorare e dell incognita da ricavare per prima, ma qui è conveniente determinare il valore di y nella seconda equazione poiché in tal caso l espressione corrispondente è intera. Otteniamo così: x y =1 x ( +4x )=1 x +9 1x =1 10x =1 9 y = 4x y = +4x y = +4x y = +4x x = /8 x = 4 x = 4 x = 4 /1/0 5 y = +4x y = y = y = Risolvere il sistema: 5x +4y = 1 10x y = Apparentemente stavolta non è possibile evitare l introduzione di frazioni. Però se, come deve sempre farsi, guardiamo bene l esercizio prima di procedere, riusciamo ugualmente a risolvere in maniera più semplice il sistema. 5x = 1 4y 5x y = 5x = 1 4y ( 1 4y ) y = 5x = 1 4y 8y y = 5x = 1 4y 11y =4 5x = x = x = 5 x = / y = 4 y = 4 11 y = x = 1 /5 y = 4 11 y = Abbiamo utilizzato l artificio di determinare non il valore di x ma di un suo multiplo. Equazioni e disequazioni algebriche 149

37 Risolvere il sistema: 7x y =1 14x 4y = Nella seconda equazione si può mettere in evidenza il fattore : 7x y =1 7x y =1 (7x y )= 7x y =1 Notiamo che le due equazioni sono identiche e quindi, dato che il sistema equivale alla risoluzione di una sola equazione in due incognite, esso ha le stesse soluzioni di tale equazione, cioè infinite. 4 Risolvere il sistema: 4x +9y = 1x +7y =6 Procedendo come nell esempio precedente otteniamo: 4x +9y = 4x +9y = (4x +9y )=6 4x +9y = Poiché stavolta abbiamo ottenuto due equazioni che si contraddicono, infatti la stessa espressione, (4x + 9y), dovrebbe essere contemporaneamente uguale a e a, possiamo concludere che il sistema non ha soluzioni. 5 Risolvere il sistema: x + y = xy = 7 In questo caso, piuttosto che andare a sostituire i valori, possiamo pensare alla risoluzione del sistema come al problema di trovare due numeri dei quali sono noti la somma e il prodotto. Questo problema equivale a risolvere un equazione di secondo grado, alla cui variabile possiamo associare un simbolo qualsiasi, per esempio z. L equazione può essere così espressa: z z 7=0. Risolviamo. Quindi il sistema ammette le soluzioni: x = y = ; x = y = z = ± 9+8 ± 7 = 150 Capitolo 4

38 6 Risolvere il sistema: x +y x +y 1=7 x +y +x 1=0 L applicazione del metodo di sostituzione in questo caso conduce alla risoluzione di un equazione irrazionale, infatti non riusciamo a ricavare da alcuna delle due equazioni l incognita x o l incognita y senza introdurre radici quadrate. Ci accorgiamo però che i termini di secondo grado, che sono quelli che complicano il sistema, compaiono con gli stessi segni, sia nella prima sia nella seconda equazione. Allora sottraiamo la seconda equazione dalla prima, secondo un operazione del tutto lecita: x + y x + y 1 ( x + y +x 1)=7 0 ottenendo la seguente equazione di primo grado x + y 7 = 0 Mettiamo a sistema tale equazione con una delle due equazioni, per esempio la seconda: Risolviamo con il metodo di sostituzione: y =x +7 x +(x +7) +x 1=0 Adesso risolviamo la seconda equazione: x +y 7=0 x +y +x 1=0 x +9x +4x +49+x 1=0 10x +44x +48=0 5x +x +4= ± x = = 11±1 = = = Sostituiamo tali valori nel sistema e otteniamo le soluzioni cercate, cioè: x 1 = x = 1 5 y 1 = ( )+7=1; y = 1 +7= Risolvere il sistema: x +y =1 xy +6=0 Applichiamo l artificio di costruire il quadrato del binomio nella prima equazione. Equazioni e disequazioni algebriche 151

39 x +y +xy xy =1 x +y xy = 6 xy = 6 ( x +y ) ( 6 )=1 x +y xy = 6 xy = 6 ( ) xy =1 ( ) =1 Così il sistema di partenza è equivalente ai due sistemi: x +y = 1 x +y =1 ; xy = 6 xy = 6 È equivalente, cioè, alle equazioni seguenti (sia z il nome della variabile): z +z 6=0 z z 6=0 che ammettono rispettivamente le soluzioni: ( z = z =) z = z = Quindi le soluzioni del sistema sono: x = x = x = x = ; ; ; y = y = y = y = ( ). 8 Risolvere il sistema: Il sistema dato è equivalente al sistema: al quale associamo il grafico seguente. 4t +7>0 1t 0 t > 7 4 t 1 7/4 /1 dal quale si ottiene immediatamente la soluzione: 7 4 <t Capitolo 4

40 9 Risolvere il sistema di disequazioni: 5x x 1>0 7x +1x +<0 Determiniamo le soluzioni delle equazioni associate a ciascuna disequazione: 5x x 1=0 x = 1± 1+0 1± 1 = x +1x +=0 x = 1± ± 11 = Il sistema di partenza è perciò equivalente al seguente: x < x > <x < Ordiniamo i quattro valori ottenuti. Il maggiore è positivo; > , dato che è l unico fra i quattro a essere è il minimo. Per gli altri due procediamo a una valutazione approssimata: = 0,, invece Possiamo quindi passare al grafico < 1+10 = , Dato che cerchiamo soluzioni comuni, che, da un punto di vista grafico, sono intervalli di linee continue, la soluzione è: <x < Equazioni e disequazioni algebriche 15

41 10 Risolvere la disequazione 5x > 8x +1. Consideriamo i segni dei due argomenti e risolviamo distinti sistemi di disequazioni: 1/8 /5 Avremo allora: 5x +> 8x 1 5x +>8x +1 5x >8x +1 x < 1 1/ 8< x < x > Le cui soluzioni sono: x > 1x > 1 x > x < 1 x < 1 x < 1 x < 1 1/ 8< x < x > x < / 8< x < x > 5 5 Ovviamente le soluzioni dei tre sistemi sono: x < < x < 1 1 Le prime due soluzioni possono scriversi come l unica soluzione 1< x < Risolvere il seguente sistema: x +1>x x 1 x + >0 x x 1 0 Risolviamo singolarmente le tre disequazioni e troviamo che esse sono soddisfatte, rispettivamente, per: x <4 x < x >1 1 5 x Capitolo 4

42 In particolare, abbiamo risolto la seconda disequazione come la disequazione di II grado: Rappresentiamo il tutto in un grafico: (x 1) (x + ) > Dal grafico si evince che la soluzione è: 1 Risolvere la disequazione x +1 4x +5. 1<x 1+ 5 Consideriamo il segno dell argomento in valore assoluto e così otteniamo che la disequazione equivale ai seguenti due sistemi: x +1 0 x +1 4x +5 Vediamo le soluzioni graficamente x +1<0 x 1 4x +5 x 1 x 4 x < 1 x Uniamole, in modo da ottenere, se possibile, un unica soluzione: Quindi, la soluzione è x 6 7. Equazioni e disequazioni algebriche 155

43 4 Equazioni e disequazioni algebriche Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo. Risolvere i seguenti sistemi di equazioni algebriche Esercizi proposti m n=n m+1 a b=4a 1 w t +=w +4 1 a) ; b) ; c) m n=n m+4 b+a 4=1 t =1 5w +t 1 p q =q+p 1 y 4x = x n+p =1 n a) ; b) ; c) p q+1=p q +y =x 5 4p 5n+=0 (e 1)+6 (d +)=e d +1 ( p+q 1) ( p q+1)=0 a) b) (d e+4)=4 (e d ) ( p q+1)+ ( p+q 1)=1 1 4 a) x 1 y = 4 x 1 ; b) 5 x y =0 5 4 y =1 1 x + 7 = ; c) 6 =x y 5 x 1 =y a+b c=1 a+b =c a b=c 1 5 a) a b+c=1; b) a+b =c; c) a+c=b 1 a+b+c =1 a+b =c b c=a+ x +q y =0 x q =y +1 x +q y =0 6 a) x q = ; b) x =y q+ ; c) q =x y +1 5x +q 6y =1 q =x +y +1 x q+1=0 1 x y 4z =0 4 x + 1 y 1 z =0 x y = a) 4x 6y z =1+7z ; b) 5 x + x 1 z = 1 ; c) 1 y z =0 7 y z =1 1 4 x + 1 z = 1 1 z 1 =y 156 Capitolo 4

44 l m+n m n = l m+l 1 n l + = m+l n m l +n m 1 8 a) =1 ; b) =n+l m n+l = m+n l m+l n 1=m+n 1 4 a+b c+d =1 a=b+c 1 a+b =c+d a+b c d =1 b=a c+d a d =d 1 9 a) ; b) ; c) a b+c d = 1 c=a+b 1 a+c =b+ a+b c d =1 d =b a+ b c=a+5 d x +y z x y +z = 1 x y +z =0 x y +z =1 x 10 a) x 5y z = 1; b) y +z = 1 ; c) y = z 6 + x y +4z = x 5z = y x +y =z 1 b 5 b d + e+d =0 = e d a) b d + 4 e =0 d +b e ; b) = b+ 4 d 15 8 e = 9 b 4 d =e x +y +1=0 a) ; b) x y =0 x y 7=0 5x +y 5=0 x y 17=0 9x +4y =6 1 a) ; b) x y =48 x y =9 7x +9y =6 xy = 14 a) ; b) 7x 9y =6 xy +=0 15 x +y =1 xy Suggerimento: risolvere la seconda equazione nell incognita z = xy x y = xy Equazioni e disequazioni algebriche 157

45 x x (x y +1)= x (x + y ) x +y xy 1= x ( y ) y x 4 y 4 = x y =1 x 6 y 6 =7 x + y =1 ( x 5y ) + 7x y ( x 5y ) ( 7x y )=1 ( ) =5 ( 11x y ) + 1x +5y ( 11x y ) ( 1x +5y )= ( ) =6 Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni algebriche ( x ) ( 5x +1)>0 ( x +1) ( x 1) 0 ( x +) ( 4x 1)>0 1 a) ; b) ; c) ( 1x 1) ( 8 5x ) 0 ( x ) ( x +) 0 ( x ) ( 5x +)<0 k 1 0 k 1 k 0 a) 6k 7>0; b) 1 k ; c) 0 k +1 k k >0 > 5k x +x +1 0 x +4x +4>0 x +6x +9 0 a) ; b) ; c) x x +1 x 7 ( 4x 1) ( x +) 0 ( x 5) ( 5x ) 0 4 a) ; b) ( x +1) ( x ) ( 5x +1) 0 ( x ) ( 7x +1)<0 x 1 5 a) x x + ; b) 7x 1 1x x x + 0 x +7 ; c) 4x +5 > 1 11x 1 11 x 4 9x < 158 Capitolo 4

46 6 a) x +1 x x 1 x +1 + ; b) x x +1 x 1 >0 6 4x 1 7 x ( x 1) x ( x 10) ( 4 11x ) ( x 7) >0 0 7 a) x 5 x +x 56 ; b) ( 4x +) ( x +1) ( x +1) 5 ( x 4) 8 <0 5x 7 7 x ( ) >0 x 14x a) x 1 x +1 >0 ; b) x +1 x x + x x ( x 9) ( 4 x )<0 x x 7 x +x x +5 ( m 1) 5m+ ( )>0 m+1 1 m 9 a) 1+m >0 m+7 ; b) m 7 m 7 m+7 4m 9 0 m 4m+4 0 ( ) ( 5 m ) 0 1 z 1 0 a) z +1 z +1 z 1 >0 z + z + z + z 4 z 1 1 z ; b) 7z 1 + z 5 z 8z z + + z z +1 z z + z +z + z z z 7 1 z +z z 7z 1 4 x 1 1 x a) x + 1 5x x +1 0 ; b) x 1 1 x (x 7x +x 0 1) x x x +6>0 x x x +1>0 a) ; b) 16x +4x +9>0 x +x x 1<0 Equazioni e disequazioni algebriche 159

47 x +x +1 a) x +x 1 <0 7x x >0 ; b) 5x <0 x x +1 x x 1 >0 4x 4x +1 1x 8 x 4 <0 Risolvere le seguenti disequazioni in valore assoluto 4 a) 5x +1 < ; b) 4x >0; c) 5 7x a) x + 1; b) x +4x +1 >1; c) x 4x a) x 4 <x +; b) x x + x +1 0; c) 5x ++ 4x +x 0 7 a) x +1 < 6x 1 ; b) x > 5x 1 ; c) x +1 x 8 a) x +1 < x +4 ; b) x x 1 ; c) x +1 4x +1 9 a) x + x +1 < x 1 +; b) 1 x +4 >x + x ; c) + x 5 x + x 40 a) x x + x x 1 ; b) x +x +1 > x +x + ; c) x +1 x + x 41 a) x +1 x < x 1 ; b) x +5 < x x +1 ; c) x +1 x x + 4 x +1 + x 1 x + x 0 4 x +1 x 1 > x x +1 > x 4x x 1 < x + x x + x 1 > x x 1 x + x + x Capitolo 4

48 4 Equazioni e disequazioni Verifica finale algebriche Di seguito proponiamo alcuni test, di varie tipologie, per stabilire il grado di apprendimento degli argomenti svolti in questo capitolo. Ogni tipologia ha un punteggio associato, per un totale di 100 punti, se si ottiene un punteggio inferiore a 60 vuol dire che risulterà opportuno riprendere uno o più degli argomenti proposti. Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo. Quesiti a scelta multipla con più risposte esatte (1 punto per ogni risposta esatta, 1 punto di penalità per ogni risposta errata, 5 punti se si forniscono solo tutte le risposte esatte) Per ogni quesito tracciare un segno nell apposito quadratino sulle scelte corrette. 1 Quale delle seguenti proposizioni sono corrette? A Se x < 0 allora x > x B Se x >0 allora x > 0 C Se x > x allora x > 0 D Se x > x allora x < 0 o x > 1 E Se 0 < x < 1 allora x < x Quali fra le seguenti equazioni hanno soluzioni tutte fra loro diverse? A ( x 5x +6) ( x )=0 B ( x 4x +4) ( x +x +1)=0 C ( x 9) ( x +5)=0 D ( x 7x +1) ( x 10x +5)=0 E ( x 4) ( x +4x +4)=0 Quali fra le seguenti equazioni hanno soluzioni appartenenti a Z? A (x + 1) (x ) = B (x + ) (x ) = 4 Equazioni e disequazioni algebriche 161

49 4C Equazioni D E (x ) (x + 5) = 9 Verifica finale e disequazioni algebriche Verifica finale (x + ) (x ) = 4 (4x ) (x + 4) = 4 Quali fra le seguenti disequazioni hanno x = 1 come una delle loro soluzioni? A x > 1 C x 1 E x + < 0 B x > 0 D x 5 Quali fra i seguenti sistemi di disequazioni sono privi di soluzioni? x +1 x +>0 x x +1<0 A C E x 1 >0 x <0 4x +5<0 x 1 x +1 <0 B x +1>0 x +4>0 D x 4 0 x +<0 Quesiti a scelta multipla con una sola risposta esatta (Punti 5 per ogni risposta corretta, 1 punto per chi non risponde, 0 punti se si risponde erroneamente) Per ogni quesito tracciare un segno nell apposito quadratino sull unica scelta corretta. 6 Sapendo che x > y > 0 e x < z, quale delle seguenti scritte è falsa? A y < x < z C 1 z > 1 y E y < z B 1 z < 1 y D y > z 7 Quale fra le seguenti equazioni è priva di soluzioni reali? A (x 6) (x + 1) C x = x E B x +6=10 D x +=1 Tutte hanno soluzioni reali 8 Quale fra i seguenti insiemi non è un sottoinsieme dell insieme delle soluzioni della disequazione (x + 1) (4 x) < 0? A {1,, } 16 Capitolo 4

50 Verifica finale 4B {5, Equazioni 6, 7, 8} e disequazioni algebriche Verifica finale C {100, 1.000, } D {,, 450 } E Tutti i precedenti sono sottoinsiemi dell insieme delle soluzioni 9 Stabilire quale delle seguenti disequazioni è equivalente al sistema A x + 1 > 0 x +1>0 x 1<0 B (x + 1) (x 1) > 0 C (x + 1) (x 1) 0 D x +1 x 1 <0 E Nessuno dei precedenti 10 Quale fra i seguenti sistemi di disequazioni è privo di soluzioni reali? x 5x +6>0 x A C 4<0 E Nessuno dei precedenti x 7x +10<0 x 9>0 B x 4>0 x 9<0 D x x +1 >0 x 1 0 x Quesiti a risposta numerica (10 punti per ogni risposta esatta) Rispondere con un numero alle seguenti domande. 11 a, b, c e d sono numeri interi, con a < b, b < c e c < 4d. Se d < 100, determinare il massimo valore che può assumere a... 1 Per quale valore del parametro reale e positivo m l equazione x m x +4=0 ammette una sola soluzione reale?... Equazioni e disequazioni algebriche 16

51 Verifica finale 4 1 Stabilire Equazioni quante soluzioni e disequazioni reali ha l equazione algebriche Verifica finale x x +1 = x + x Stabilire quante soluzioni intere e positive ha la disequazione x 7x 1< Stabilire quante soluzioni reali ha il sistema: x >0 x 5x +6=0 x +x > Capitolo 4

52 RISPOSTE ESATTE CAPITOLO 4 L operazione di divisione fra polinomi Test di accertamento dei prerequisiti A B E A E C D E B C ,1 44 Esercizi proposti 4.1. Equazioni algebriche in una incognita 1 a) x = ; b) y = 4, non accettabile; c) z = 1, non accettabile a) c = ; b) m=15 ; c) n= 4 17 a) Contraddizione; b) d = 5 ; c) g = 5 4 m = 7 5 c= 1 non accettabile 19 6 Contraddizione 7 y = q = s= 57 non accettabile 9 10 t = 9 10 Equazioni e disequazioni algebriche 165

53 11 h= h = 1 h= 1 14 h= h= a) x =± ; b)x = ; c)x = a) x = 74 7 ; b)x =± 7 ; c)x = 7 18 x = 7 x = x = 1 4 x = x =± 1 0 Nessuna soluzione 4 5± 1 1 a) Nessuna soluzione; b) x = 1 c) x = x =± a) Nessuna soluzione; b) Nessuna soluzione; c) n= 4 n= 4 a) x = 1± 4 7± 4 7± 55 ; b)x = ; c)x = 14 5 a) x = 1 7 ; b)x = 7 14 ± a) x =1± ; b)x = 5 x =1 7± ; c)x = 7 a) x = + x = ; b)x = 6 x = 6 8 Nessuna soluzione 166 Capitolo 4

54 9 Nessuna soluzione 687± x = 79 1 x = 1± 7 1± 7 = 6 6 Nessuna soluzione x = 5 5± 1 4 a) ± 5 x =± 41 ;b)± ; c) Nessuna soluzione 6 a) Nessuna soluzione; b) m= 7 a) Nessuna soluzione; b) w = 5 8 a) x = 1± 7 4 ; b) Nessuna soluzione 9 a) Nessuna soluzione; b) x = a) z = - z = -1; b) Nessuna soluzione 41 a) m= 11 ; b) n=1± a) z = 1 z =0 ; b) Nessuna soluzione 5± 19 4 a) x = ; b) y = y = a) x =± 1 ; b) x = ± x = 0 Equazioni e disequazioni algebriche 167