CLASSE IV A/acc E. CLASSE IV B/acc

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1 RECUPERO DEBITO IN MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 016/017 Prof. Migliaccio Gabriella CLASSE IV A/acc E CLASSE IV B/acc Gli esercizi vanno svolti e consegnati, anche su un quaderno, il giorno dell esame per il recupero del debito. Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 1

2 Programma Modulo Unità Didattica Obiettivi Algebra Recupero argomenti non svolti nel primo anno scolastico Saper scomporre un polinomio con i metodi di raccoglimento a fattor comune e con i prodotti notevoli. Regole delle potenze Equazioni lineari Equazioni di grado intere e fratte Sistemi di primo grado con il metodo di sostituzione Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag.

3 Algebra Disequazioni Disequazioni di 1 grado intere e fratte: conoscere il concetto di disuguaglianza numerica. Saper risolvere una disequazione. Saper rappresentare l insieme delle soluzioni su una retta. Disequazioni di grado intere Disequazioni di grado fratte Sistemi Saper risolvere un sistema di secondo grado Sistemi di Saper risolvere disequazioni sistemi di disequazioni di 1 e di Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 3

4 Equazioni irrazionali Equazioni esponenziali Saper risolvere semplici equazioni irrazionali con n pari Saper risolvere semplici equazioni esponenziali Obiettivi minimi di accettabilità in termini di sapere e saper fare Al termine del 4 anno l alunno, per raggiungere la sufficienza, deve: 1) Conoscere il concetto di disequazione; ) Saper risolvere semplici disequazioni di 1 grado intere e fratte 3) Saper risolvere semplici disequazioni di grado intere e fratte 4) Saper risolvere sistemi di disequazioni di 1 e di grado 5) Saper risolvere sistemi di grado. 6) Saper risolvere semplici equazioni irrazionali con n pari Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 4

5 7) Saper risolvere semplici equazioni esponenziali Alunni: Insegnante (Migliaccio Gabriella) COSA SONO LE DISEQUAZIONI? Abbiamo abbastanza confidenza con le equazioni, quindi partiamo da lì rispondere alla domanda: A è identico a B? Ad esempio risolvere x+1= significa trovare una risposta alla domanda Sappiamo che la risposta è: x deve valere 1. Nel caso delle disequazioni la domanda che ci viene posta è un po' più complessa: vogliamo trovare un modo per confrontare A e B. In sostanza vogliamo sapere se A è maggiore di B, se A è minore di B e se e quando sono uguali. Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 5

6 Introduciamo i simboli necessari per scrivere le disequazioni: Simbolo Significato Maggiore Maggiore o uguale Minore Minore o uguale Continuiamo nel paragone tra equazioni e disequazioni. Per risolvere le equazioni avevamo due regole fondamentali: è possibile sommare lo stesso valore a destra e a sinistra dell'uguale senza alterare il risultato dell'equazione; è possibile moltiplicare o dividere a destra e a sinistra dell'uguale per uno stesso valore senza alterare il risultato dell'equazione. Cosa succede per le disequazioni? Regole di base per la risoluzione delle disequazioni Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 6

7 1. È possibile sommare o sottrarre lo stesso valore sia al termine a sinistra che a destra della disequazione senza alterarne il risultato: se A<B allora anche A+1<B+1. È possibile moltiplicare o dividere entrambi i membri della disequazione se il valore per cui si moltiplica/divide è POSITIVO; se moltiplichiamo o dividiamo per un valore negativo dobbiamo CAMBIARE IL VERSO della disequazione. Se A<B e m>0 allora m A<m B Se A<B e m<0 allora m A>m B Per capire... Perché dobbiamo cambiare il verso della disequazione quando moltiplichiamo per un numero negativo? Esaminiamo un caso particolare. Consideriamo la disequazione x> e moltiplichiamo entrambi i membri per -1. La seconda regola ci dice che dobbiamo cambiare il segno della disequazione, quindi otteniamo Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 7

8 Possiamo ottenere lo stesso effetto della moltiplicazione per -1 usando la prima regola, guardate: Leggiamo la disequazione da destra a sinistra: Ovvero proprio la disequazione di partenza con i segni cambiati. Per chi vuole approfondire, questa differenza tra equazioni e disequazioni nasce dal fatto che l'uguaglianza (equazioni) è una relazione d'equivalenza, cioè è riflessiva simmetrica e transitiva, mentre > (disequazioni) è una relazione d'ordine che non è simmetrica né riflessiva. Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 8

9 Definizione di disequazione Si dice disequazione una disuguaglianza del tipo dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti x. Esempi di disequazioni e di disuguaglianze Vediamo qualche esempio di disuguaglianza: Questa disuguaglianza è sempre vera! La disuguaglianza non è mai verificata! Ora passiamo agli esempi sulle disequazioni: Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 9

10 La disuguaglianza è verificata per ogni x appartenente all'intervallo (-, 1). La disuguaglianza è verificata per ogni x appartenente all'intervallo (-, 1]. Da questi esempi vedete come le soluzioni di una disequazione sono rappresentate da intervalli e non da singoli valori come nel caso delle equazioni. RISOLUZIONE DELLE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Grazie alle regole che abbiamo introdotto nell'articolo introduttivo sulle disequazioni sappiamo che tutto sommato non si comportano molto diversamente dalle equazioni. Le regole da rispettare sono: 1) Si può sommarre o sottrarre una stessa quantità a entrambi i membri della disequazione senza alterarne il risultato. Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 10

11 ) Si può moltiplicare o dividere per una quantità positiva entrambi i membri della disequazione. Se moltiplichiamo o dividiamo per una quantità negativa dobbiamo cambiare il verso della disequazione. Alla luce di queste regole possiamo scrivere la soluzione generale per le possibili disequazioni lineari elencate all'inizio: Espressione Soluzione se il coefficiente a è positivo se il coefficiente a è negativo se il coefficiente a è positivo se il coefficiente a è negativo Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 11

12 se il coefficiente a è positivo se il coefficiente a è negativo se il coefficiente a è positivo se il coefficiente a è negativo Esempi sulle disequazioni di primo grado 1) Cerchiamo le soluzioni della disequazione di primo grado:. Svolgimento: sottraiamo 3 ad entrambi i membri della disequazione Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 1

13 A sinistra del simbolo di disequazione il termine di grado zero si elimina, e lo ritroviamo a destra: l'effetto dell'operazione è stato proprio quello di spostare il termine di grado zero da sinistra a destra Ora dividiamo entrambi i membri per il coefficiente del termine di grado uno nell'ultimo passaggio non è stato necessario cambiare il verso della disequazione poiché abbiamo diviso per che è un numero positivo! Abbiamo finito! ) Proviamo ora a risolvere un'altra disequazione di primo grado. Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 13

14 Svolgimento: procediamo in modo analogo a quello del primo esempio Cambiamo i segni moltiplicando a destra e a sinistra per - 1, moltiplicando per un numero negativo dovremo anche cambiare il verso della disuguaglianza. 3) Infine risolviamo la disequazione lineare: Svolgimento: l'unica cosa da fare è spostare il termine di grado zero presente a sinistra del simbolo di disequazione dall'altra parte. Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 14

15 Per farlo ci basta sottrarre il termine di grado zero ad entrambi i membri e ci siamo! Notate che questa volta l'intervallo comprende l'estremo destro, cioè è comprende il valore 1. ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO La lezione di teoria con il metodo di risoluzione è questa: disequazioni di primo grado. I) II) III) Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 15

16 Disequazioni di secondo grado Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 16

17 Determinazione del segno di un polinomio di secondo grado Metodo algebrico Risolvere una disequazione di secondo grado significa trovare il segno del polinomio di secondo grado Considero il polinomio di secondo grado ax + bx + c Per determinarne il segno consideriamo sempre il caso in cui a 0 (se fosse a minore di zero basterebbe moltiplicare tutto per -1 e in tal caso ricorda di cambiare il verso alla disequazione) Distinguiamo i tre casi DELTA O DISCRIMINANTE del polinomio maggiore di zero Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 17

18 0 ( N.B. Si definisce discriminante o (delta) il termine che si trova sotto radice nella formula risolutiva dell'equazione di secondo grado. Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 18

19 cioe' = b - 4ac Voglio trovare il segno del polinomio di secondo grado ax + bx + c>0 Considero l'equazione associata ax + bx + c = 0 Se il discriminante dell'equazione e' maggiore di zero allora ho due soluzioni x 1 e x reali e distinte, il grafico della disequazione sarà: valori esterni all'intervallo delle radici Cioe' se il delta e' maggiore di zero il trinomio e' positivo per valori esterni Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 19

20 all'intervallo delle radici ed e' negativo per valori interni Se ax + bx + c 0 Con >0 Avremo: interni all'intervallo delle radici Delta del polinomio uguale a zero = 0 Se il discriminante dell'equazione e' uguale Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 0

21 a zero allora ho due soluzioni x 1 = x reali e coincidenti Quindi avremo: Quando il delta vale zero le soluzioni dell'equazione di secondo grado valgono -b/a ax + bx + c 0 a + bx + c 0 =0 a 0 tutti i valori eccetto -b/a per cui si annulla nessun valore Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 1

22 Delta del polinomio minore di zero 0 Se il discriminante dell'equazione e' minore di zero allora non ho nessuna soluzione quindi non posso fare riferimento ad x 1 ed x 0 a 0 a + bx + c 0 a + bx + c 0 sempre verificato per ogni valore di x mai verificato Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag.

23 tabella di riepilogo con a maggiore di zero Per risolvere una disequazione di secondo grado devi considerare l'equazione associata ed applicare la formula risolutiva: devi poi controllare il termine dentro radice se e' positivo (ed allora risolvendo trovi due valori) nullo (ed allora trovi due valori coincidenti) negativo(ed allora non puoi risolvere) Poi segui lo schema Cliccando sui riquadri delle soluzioni potrai vedere un esempio per ogni tipo Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 3

24 a 0 a + bx + c>0 a + bx + c<0 >0 valori esterni all'intervallo delle radici valori interni all'intervallo delle radici =0 <0 tutti i valori eccetto -b/a per cui si annulla sempre verificato per ogni valore di x nessun valore mai verificato Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 4

25 ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO L'articolo cui fare riferimento è: disequazioni di secondo grado Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 5

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32 Sistema di disequazioni di secondo grado Se hai un sistema di disequazioni devi semplicemente risolvere ogni disequazione e porre i risultati su un grafico: le soluzioni del sistema sono i valori validi contemporaneamente per tutte le disequazioni. Vediamo come procedere su un semplice esempio Risolvere il sistema x - 5x + 6 > 0 x - 16 < 0 la prima x - 5x + 6 > 0 e' verificata per x < U x > 3 Calcoli la seconda x - 16 < 0 e' verificata per -4 < x < 4 Calcoli quindi il mio sistema e' equivalente al sistema x < U x > 3 Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 3

33 -4 < x < 0 Riporto su un grafico, evidenziando con una linea marcata i valori che risolvono le disequazioni Devo prendere i valori che risolvono contemporaneamente entrambe le disequazioni ed ottengo come risultato -4 < x < U 3 < x < 4 Sistema con disequazioni di primo e secondo grado E' abbastanza elementare: devi riportare su Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 33

34 un grafico le soluzioni delle varie disequazioni di primo e secondo grado e considerare i valori validi contemporaneamente per tutte le disequazioni. Vediamo anche qui un semplice esempio Risolvere il sistema x + 3 > 0 x - 4 < 0 x - x - 3 > 0 x - 4 < 0 la prima x + 3 > 0 e' verificata per x > -3 la seconda x - 4 < 0 e' verificata per x < 4 la terza x - x - 3 > 0 e' verificata per x < - 1 U x > 3 la quarta x - 4 < 0 e' verificata per - < x < Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 34

35 quindi il mio sistema e' equivalente al sistema x > -3 x < 4 x < -1 U x > 3 - < x < Riporto su un grafico, evidenziando con una linea marcata i valori che risolvono le disequazioni Devo prendere i valori che risolvono contemporaneamente tutte e quattro le disequazioni Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 35

36 ed ottengo come risultato - < x < -1 Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 36

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41 Equazioni irrazionali con indice pari La radice con il suo termine e' sempre considerata positiva quindi x e' un numero positivo - x e' un numero negativo Per poterle risolvere dovremo eliminare le radici elevando i termini a potenza pari Cio' puo' tuttavia dar luogo a qualche problema: elevando a potenza pari potrebbero comparire delle soluzioni aggiunte dovute solamente all'elevamento. Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 41

42 Per riconoscere quali soluzioni siano valide consiste nel porre le condizioni iniziali e poi accettare solo le soluzioni che le soddisfino Occorre saper fare i sistemi di disequazioni. Una sola radice piu' un'espressione senza radici Isoleremo la radice, eleveremo al quadrato (per eliminare la radice) poi risolveremo IL SISTEMA DI DISEQUAZIONI Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 4

43 Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag X X 4 X X X X X X Risolviamo la I disequazione: X

44 Risolviamo la II disequazione: X 4 X 4 X 4 X 0 equazione associata Grafico: Risolviamo ora l equazione : Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 44

45 X X 4 X 4X 4 X 4X 8 4 X soluzione accettabil e, in quanto - fa partedelle soluzioni (pallino sul punto- ) ESERCIZI EQUAZIONI IRRAZIONALI 1.Risolvi la seguente equazione irrazionale x x.Risolvi la seguente equazione irrazionale 5 x 3x 3 Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 45

46 3.Risolvi la seguente equazione irrazionale 3 x 8 x 4.Risolvi la seguente equazione irrazionale 3 x 7 1 x 5.Risolvi la seguente equazione irrazionale x x 6.Risolvi la seguente equazione irrazionale 5 x 3x 3 7.Risolvi la seguente equazione irrazionale 3 x 8 x Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 46

47 8.Risolvi la seguente equazione irrazionale 3 x 7 1 x COMPITI SVOLTI IN CLASSE DURANTE L ANNO SCOLASTICO 014/015 COMPITO 1 RISOLVI LE SEGUENTI DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO 1)3x+-x 4x-8 )(x + ) - x < x - 4x - 3 3) 8( x) 6x ( x )( x ) 7x Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 47

48 4) 3x x x x 5 1 RISOLVI LE SEGUENTI DISEQUAZIONI PRODOTTO 1) ( x 3)( 3x)( 5x 15) 0 ) 7x 35)( 4 x( 5x 10) 0 COMPITO 1. Risolvi le seguenti disequazioni: a) 1 x x Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 48

49 b) c) 3( x 1) 5 3x 4 4x ( x ) 11 ( x 4). Domande a risposta multipla a) Risolvendo la disequazione x 5 0 si ottiene: x<5 x 5 5 x 5 x<-5 v x>+5 b) Risolvendo la disequazione x 3x 0 si ottiene: 3 x 3 x>3 x<3 x<0 v x>+3 c) Quale disequazione è impossibile? x x 1 0 x x 1 0 x x 1 0 x x 1 0 Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 49

50 COMPITO 3 Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado 1. x x x. 1 x x x x 5x x 1 x 3 x xx Risolvi la seguente disequazione fratta di I grado x 4 x 1 3x 6x COMPITO 4 Risolvi le seguenti disequazioni fratte Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 50

51 Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 51 1) x x x x x x ) x x x x x x 3) x x x COMPITO 5 1) Risolvi le seguenti equazioni irrazionali a) x x 1 11 b) x x x c) x x ) ( COMPITO 6

52 1) SVOLGI LE SEGUENTI DISEQUAZIONI FRATTE DI GRADO: a) b) ( )( ) ( ) ( ) ) SVOLGI I SEGUENTI SISTEMI a) { b) { ( ) ( ) ( ) Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 5

53 COMPITO 7 1) SVOLGI LE SEGUENTI DISEQUAZIONI FRATTE DI GRADO: a) b) ( ) ( ) ( ) ) SVOLGI I SEGUENTI SISTEMI a) { Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 53

54 ( ) ( )( ) b) { ( ) Equazioni esponenziali Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l incognita compare come esponente di una potenza. Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 54

55 Per risolvere le equazioni esponenziali si cerca di ottenere una potenza, sia prima che dopo l'uguale, con la stessa base in modo da poter uguagliare gli esponenti (si veda la proprietà 7 delle potenze): 1 Nel presente modulo verranno presentati esempi in cui è sempre possibile ricondursi a potenze con la stessa base, in modo tale da risolvere l equazione esponenziale come un equazione tradizionale. Esempio 1 Si consideri l'equazione esponenziale () Poichè è possibile scrivere 8 come () diventa, l equazione Per la (1) si ha Pertanto è possibile concludere che la soluzione della () è data da Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 55

56 Esempio Si consideri l'equazione esponenziale Innanzitutto è necessario cercare di ricondurre tutte le potenze alla stessa base Sfruttando la proprietà delle potenze per cui si ha, si ottiene da cui per la (1), risolvendo l equazione lineare nei modi consueti, si ha Esempio 3 Si consideri l'equazione esponenziale Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 56

57 Da quanto si evince dalla proprietà 1 delle potenze ( ), l equazione si può scrivere da cui per la (1) si ha Risolvendo l equazione di secondo grado nei modi consueti, si ha: da cui Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 57

58 Compito matematica Alunno/a data 1. Risolvi le seguenti equazioni esponenziali: a. b. c. d. e. Compito matematica Alunno/a data Classe 1. Risolvi le seguenti equazioni esponenziali: a. b. c. ( ) ( ) Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 58

59 d. ( ) ( ) e. Compito matematica Alunno/a data Classe 1. Risolvi le seguenti equazioni esponenziali: a. b. ( ) c. d. ( ) e. Compito matematica Alunno/a data 1. Risolvi le seguenti equazioni esponenziali: Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 59

60 a. ( ) ( ) b. c. d. [( ) ] e. Per le classi IV, a cura della prof.ssa Migliaccio Pag. 60