Equazioni di primo grado ad un incognita

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1 Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. 2a = 2a è un identità a = = = 6 a = 5 10 = 10. Verificare un identità (a + 2b)x 5bx = (a 3b)x è un identità? 1. eseguire tutte le operazioni del primo e del secondo membro dell uguaglianza; ax + 2bx 5bx = ax 3bx ax 3bx = ax 3bx 2. confrontare le due espressioni letterali ottenute e verificare che siano uguali. 3. dare dei valori casuali alle lettere e verificare che i risultati ottenuti siano uguali: a = 2 x = 6 b = ( 1) 6 = 2 6 3( 1) = = 30 È un identità! 1

2 Equazioni Si dice EQUAZIONE un uguaglianza fra due espressioni letterali che si verifica solo per determinati valori attribuiti alle lettere, che si dicono INCOGNITE. 5a 3 = 12 Questa uguaglianza è verificata solo se a = 3, infatti: = = = 12 Quindi a = 3 è l unica soluzione dell equazione Se nell equazione vi è una sola incognita con esponente 1, si dice che l equazione è di primo grado ad un incognita e la soluzione è UNICA. Due equazioni si dicono EQUIVALENTI se hanno la stessa soluzione. L equazione: 2a 4 = 3a + 5 ha per soluzione a = 9, infatti: 2( 9) 4 = 3( 9) + 5 2

3 18 4 = = 22 Anche l equazione 6a 12 = 9a + 15 ha per soluzione a = 9, infatti: 6( 9) 12 = 9( 9) = = 66 Quindi le due equazioni sono EQUIVALENTI. Osservazione: Il concetto di equazioni equivalenti viene applicato nella risoluzione delle equazioni, trasformando un equazione in un altra più semplice, ad essa equivalente. La trasformazione avviene applicando due PRINCIPI DI EQUIVALENZA: PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA ADDIZIONANDO O SOTTRAENDO DAI DUE MEMBRI DI UN EQUAZIONE UNO STESSO NUMERO O UNA STESSA ESPRESSIONE ALGEBRICA CONTENENTE L INCOGNITA, OTTENIAMO UN EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA. Consideriamo l equazione x + 3 = 5 e ad entrambi i membri sommiamo -3: x = 5 3, eseguiamo i calcoli e otteniamo: x = 2 soluzione dell equazione data. 3

4 Consideriamo l equazione 5x 4 = 4x + 2 eliminiamo la parte letterale dal membro di destra, aggiungiamo 4x ad ambo i membri: 5x 4 4x = 4x + 2 4x eseguiamo i calcoli e otteniamo: x 4 = +2 eliminiamo la parte numerica dal membro di sinistra, aggiungiamo 4 ad ambo i membri: x = eseguiamo i calcoli e otteniamo: x = +6 soluzione dell equazione data. REGOLA: 1) In ogni equazione un termine può essere trasportato da una parte all altra dell uguale, cambiando il suo segno. 2) Se nei due membri di un equazione compaiono due termini uguali, essi possono essere semplificati. 2x 8 = x x = x + 2 2x x = +2 x = 2 OSSERVAZIONE: L obiettivo è spostare a sinistra tutte le incognite e a destra tutti i numeri. 4

5 SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA MOLTIPLICANDO O DIVIDENDO I DUE MEMBRI DI UN EQUAZIONE PER UNO STESSO NUMERO (DIVERSO DA ZERO), OTTENIAMO UN EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA. x + 1 = 4 moltiplichiamo entrambi i membri per 1 ( 1) ( x + 1) = +4 ( 1) ovvero si cambiano tutti i segni +x 1 = 4 applichiamo il primo principio e spostiamo 1 dall altra parte dell uguale: Esempio: 3x = 1 6 x = = 3 per risolverla conviene eliminare i denominatori facendo il m.c.m.: m. c. m. (2,3,6) = 6 riduciamo ambo i membri ad una sola linea di frazione, con denominatore uguale all m.c.m.: 3x = x =

6 moltiplichiamo ambo i membri per 6: 6 3 3x = semplifichiamo i denominatori e eseguiamo i calcoli: 9x + 2 = 1 applichiamo il primo principio: 9x = 1 2 9x = 1 dividiamo ambo i membri per 9: 9x REGOLA: 9 = 1 9 x = 1 9 1) si può cambiare di segno a tutta l equazione, moltiplicando per (-1) da ambo le parti; 2) se un equazione contiene delle frazioni si deve: trovare l m.c.m. dei denominatori ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore (m.c.m.) moltiplicare entrambi i membri dell equazione per il denominatore 6