Le equazioni di I grado

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1 Scheda - Le basi della Matematica Le equazioni Le equazioni di I grado Ricordiamo che un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni letterali in cui compare almeno un'incognita (di solito essa si indica con la lettera ). L'obiettivo della risoluzione di un'equazione è quello di trovare il valore numerico che, sostituito al posto della, rende vera l'uguaglianza. Per risolvere un'equazione di primo grado, ad esempio + = si procede portando i termini contenenti la a sinistra dell'uguale ed i numeri a destra dell'uguale. Bisogna ricordare che, quando si sposta un termine dal membro sinistro a quello destro (o viceversa) bisogna cambiargli il segno. Quindi, ritornando alla risoluzione dell'equazione, possiamo scrivere 4 = +6 = = +4 Adesso, per isolare la, bisogna dividere entrambi i membri dell'equazione per il numero che sta davanti alla. Quindi scriviamo = +4 = = La verica Come fare a vericare se hai risolto correttamente l'equazione? Niente di più semplice! Basta sostituire il numero che hai trovato (nel caso di un'equazione determinata) nel testo dell'equazione iniziale. Se ne risulta un'uguaglianza, scriviamo uno smile e siamo sicuri di aver trovato la soluzione, altrimenti, dobbiamo ricontrollare i calcoli. Se ritorniamo all'esempio precedente, abbiamo risolto l'equazione + = trovando la soluzione =. Facciamo la verica sostituendo il numero al posto della : ( ) + = 4 ( ) + 6 = 4 + = = = Quindi abbiamo trovato la soluzione dell'equazione!

2 Le equazioni di II grado Per risolvere, invece, un'equazione di secondo grado, ovvero un'equazione che, dopo aver fatto tutti i calcoli, si porta nella forma bisogna seguire i 3 passi:. Individuare i coecienti a, b, c; a + b + c = 0. Calcolare il discriminante o con la formula = b 4ac; 3. Trovare le soluzioni mediante la formula risolutiva / = b ± a Lavoriamo su un esempio: Immaginiamo di voler risolvere = 0. Allora seguiamo il procedimento indicato sopra e scriviamo:. a =, b = 5, c = 6;. = b 4ac = ( 5) 4()(6) = 5 4 = ; ; 3. Usiamo la formula risolutiva / = b ± a = / = ( 5) ± = / = 5 ± quindi = 5 + = 6 = 3 e = 5 = 4 = Ricorda inne che se < 0 l'equazione è impossibile; se = 0 l'equazione ha due soluzioni che coincidono; se > 0 l'equazione ha due soluzioni distinte. Le equazioni frazionarie Le equazioni frazionarie (per gli amici, equazioni fratte) sono equazioni in cui l'incognita compare in almeno uno dei denominatori. Per risolverle occorre seguire i seguenti passi: Procedimemto risolutivo. Scomposizione dei denominatori. Calcolo del mcm 3. Calcolo del Campo di esistenza 4. Risoluzione dell'equazione 5. Verica dell'accettabilità delle soluzioni trovate

3 Osservazione importante (Il cambio di segno). Per calcolare il mcm tra i denominatori di una equazione fratta, dobbiamo scegliere i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con l'esponente più grande. Per non avere dei mcm di grado eccessivamente alto, con conseguente aumento della dicoltà dei calcoli, bisogna sviluppare l'abilità di saper cambiare opportunamente il segno ai fattori di un polinomio. Cambiare di segno ad un fattore è un operazione lecita, a patto che si faccia correttamente. Per farlo bisogna tener presente che possiamo cambiare la forma ma non la sostanza di un polinomio. Quindi dobbiamo saperlo riscrivere in una forma che sia equivalente alla prima ma che sia utile per i nostri scopi. Sappiamo dall'algebra dei numeri interi che ( ) ( ) = + quindi se cambiamo volte il segno ad un fattore (ovvero lo moltiplichiamo volte per ) il fattore che otteniamo sarà equivalente a quello di partenza mentre se cambiamo il segno un numero dispari di volte,,3, etc. abbiamo snaturato il polinomio di partenza. Per dirla con un esempio, 3 = 3 + [cambio il segno ) al numeratore e ) al denominatore] 3 = 3 + [cambio il segno ) davanti alla frazione e ) al denom.] Esempio Risolviamo la seguente equazione fratta: = 3 + Iniziamo col primo passo, ovvero scomponiamo i denominatori. = ( )( ) Osserviamo che cambiando il segno al fattore ( ) possiamo risparmiare un fattore nel calcolo del mcm. Quindi scriviamo + = ( )( ) Ora il passo, ovvero il calcolo del mcm che risulta essere ( )( ) 3

4 Ponendo entrambi i fattori diversi da 0 otteniamo il Campo di Esistenza. Nel caso specico potremo accettare tutte le soluzioni diverse da e da, perché esse renderebbero nullo un denominatore dell'equazione facendole perdere il suo signicato (non ha senso in matematica la divisione per 0.) Abbiamo quindi raggiunto anche il passo 3. Ora procediamo con la risoluzione vera e propria, ovvero il passo 4: continuando si ha ( ) ( ) + ( )( ) ( )( ) = ( )( ) + ( )( ) = ( )( ) Siccome quelle che abbiamo scritto sono due frazioni che hanno lo stesso denominatore, esse saranno uguali solo quando anche i loro numeratori saranno uguali. Quindi possiamo tralasciare i denominatori e concentrarci solo sui numeratori, scrivendo: 4 = 0 = = = e = + Passiamo ora all'ultimo punto ovvero, verichiamo se possiamo accettare le soluzioni trovate guardando il Campo di Esistenza. In denitiva, solo la soluzione è accettabile mentre la soluzione non èuò essere accettata perché non rispetta le condizioni del CE. 4

5 Esercizi Esercizio - (Risoluzione di equazioni di I grado) Risolvi le seguenti equazioni di primo grado eettuando la discussione del numero di soluzioni in base alla forma canonica e verica se la soluzione che hai trovato è quella giusta (nel caso delle equazioni determinate). a) ( + 3) 4( ) = 4( + 4) b) ( + ) = ( )( + ) c) ( + ) + 4( )( + ) = ( + 4) Esercizio - (Risoluzione di equazioni di II grado) Risolvi le seguenti equazioni di II grado : a) 4 = 0 + = 0 b) = 0 9 = 0 c) = = 0 Esercizio 3 - Equazioni di II grado fratte Seguendo il procedimento esaminato a lezione, risolvi le seguenti equazioni fratte: a) + = 6 4 b) c) + 3 = = d) e) 3 + = = Per vericare se hai svolto correttamente i tuoi calcoli, puoi utilizzare il programma Minimath che è gratuitamente disponibile in rete. 5