POTENZA CON ESPONENTE REALE

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1 Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso Zero di Matematica Gruppi: MC-MF / PS-MF V Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. E. Modica erasmo@galois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dati un numero reale a > 0 ed un numero reale qualunque, si definisce potenza con esponente reale del numero a il numero reale a. Osservazione: Questa potenza risulta essere sempre un numero reale positivo! PROPRIETÀ DELLE POTENZE CON ESPONENTE REALE. Se a > e < y, allora a < a y.. Se 0 < a < e < y, allora a > a y.. a b = a, b R +, y R 4. a b y = a +y a, b R +, y R 5. a y = a y a R +, y R 6. a : b = a y a R +, y R 7. a : b = a: b a, b R +, y R Esempi: : 7 5 : Teorema: Se a è un numero positivo diverso da, allora la potenza a assume una sola volta tutti i valori positivi. Cioè: qualunque sia a 0, a, e qualunque sia b 0, esiste un (unico) numero tale che a b. Erasmo Modica, 009/00

2 GRAFICO ESPONENZIALE Vogliamo studiare il comportamento della relazione di dipendenza fare ciò distinguiamo i due seguenti casi. y a al variare di a R +. Per I CASO: a Per fissare le idee consideriamo a. y - 0,5-0,5-0, Dall analisi della tella e del grafico possiamo dedurre che: ogni valore di ha un corrispondente y; i valori del corrispondente y sono tutti positivi, cioè a 0; vale la proprietà di crescenza, cioè:, R, con < a < a. II CASO: 0 a Per fissare le idee consideriamo y ,5 0,5 a. 0,5 Erasmo Modica, 009/00

3 Dall analisi della tella e del grafico possiamo dedurre che: ogni valore di ha un corrispondente y; i valori del corrispondente y sono tutti positivi, cioè a 0; vale la proprietà di decrescenza, cioè:, R, con < a > a. LOGARITMI Il teorema precedente ci permette di stilire che dati due numeri reali positivi a e b, con a, l equazione a b ammette una e una sola soluzione. Tale soluzione si chiama aritmo di b in base a e si indica con: a b Definizione: Dati due numeri reali positivi a e b, con a, si chiama aritmo in base a del numero b l unica soluzione dell equazione a b, cioè quell unico numero, che dato come esponente ad a, rende la potenza a uguale a b. Pertanto le scritture: sono equivalenti. α = a b e a α = b Il numero b si chiama argomento del aritmo e deve essere un numero positivo. Osservazione: La definizione di aritmo permette di affermare che ogni numero reale positivo b si può scrivere, in modo unico, come potenza di un altro qualsiasi numero a positivo, diverso da. È infatti: b = a a b In altre parole ogni numero b 0 si può pensare come potenza di base prefissata, qualsiasi, positiva e diversa da. Esempi: = 8, perché è.. 5 = 0 perché è. 7 7 = perché è 0 5 =. 7 = 7. = =? non esiste perché b 7 non è positivo non ha significato perché, secondo la definizione, la base deve essere diversa da. Infatti l equazione b è impossibile (se b ), indeterminata (se b ), inoltre la potenza a è definita per a 0 ; l equazione 0 b, come sappiamo è impossibile se b 0 reale ed indeterminata se b 0. Erasmo Modica, 009/00

4 e 07 non hanno significato perché, secondo la definizione, la base deve essere positiva (i aritmi di numeri negativi sono numeri immaginari). PROPRIETÀ GENERALI. Il a b è positivo se:. Il a b è negativo se: a > 0 < a < e b > 0 < b < a > 0 < a < e 0 < b < b >. a a perché è a = a a 0 perché è a =. 5. Se due numeri sono eguali, anche i loro aritmi (rispetto alla stessa base) sono eguali; e viceversa. 6. Se la base a è maggiore di, al crescere del numero b, cresce anche il aritmo di questo. 7. Se la base a è minore di, al crescere del numero b, il aritmo decresce. PROPRIETÀ FONDAMENTALI DEL LOGARITMO y y. a a a. y n n. a a a a n m m 4. a b n a a b y Queste regole trasformano le quattro operazioni di moltiplicazione, di divisione, di elevazione a potenza di esponente n e di estrazione di radice di indice n sopra numeri positivi assegnati, rispettivamente, nelle operazioni di addizione, di sottrazione, moltiplicazione per n e divisione per n sopra i aritmi dei numeri assegnati. Si tenga presente che per poter applicare le proprietà e i singoli numeri e y, dei quali si considerano i aritmi, devono essere positivi, e non soltanto deve essere positivo il loro prodotto y o il loro quoziente y. Osservazione: Non vi sono, invece, regole anahe riguardo alla somma e alla differenza: il aritmo di una somma o di una differenza non è esprimibile mediante i aritmi dei suoi singoli termini. Erasmo Modica, 009/00 4

5 SIMBOLISMO e numero di Nepero è un numero irrazionale che vale (a meno di 0-5 ),788 lnn LogN aritmo naturale o neperiano (cioè a base e) di un numero positivo N aritmo decimale (cioè in base 0) di un numero positivo N Siccome esistono infiniti sistemi di aritmi (poiché infinite sono le possibili basi a ), per passare da una base a ad un altra b basta applicare la seguente formula: b a B N b a Esercizio: Sapendo che a 4, calcolare a b. Si ha: a 4 a b b. b Resta da calcolare b. Poiché: segue che b ; pertanto: a b 4 b a b b Erasmo Modica, 009/00 5

6 GRAFICO DEL LOGARITMO Vogliamo studiare il comportamento della relazione di dipendenza Per fare ciò distinguiamo i due seguenti casi. y a al variare di a R +. I CASO: a Per fissare le idee consideriamo a. y 0 0,5-0,5 -, ,9 6,58496 Dall analisi della tella e del grafico possiamo dedurre che: i valori di che ammettono un corrispondente sono solo 0, + ; i valori della y sono positivi per e negativi per 0 ; vale la proprietà di crescenza, cioè:, 0, +, con < a < a. II CASO: 0 a Per fissare le idee consideriamo y 0 0,5 0,5 - -, ,9 a. 6 -,585 Erasmo Modica, 009/00 6

7 Dall analisi della tella e del grafico possiamo dedurre che: i valori di che ammettono un corrispondente sono solo 0, + ; i valori della y sono negativi per e positivi per 0 ; vale la proprietà di decrescenza, cioè:, 0, +, con < a > a. Erasmo Modica, 009/00 7