Corso di Matematica Generale

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Marianna Colombo
5 anni fa
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1 Corso di Matematica Generale Università degli Studi della Basilicata Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale A.A. 2015/16 dott.ssa Vita Leonessa Funzioni elementari: funzione potenza 20 ottobre 2015

2 Potenze con esponente naturale Sia n N, n 0. Si definisce potenza n-esima di un numero reale a la seguente espressione: a n = a... a }{{} n volte Per convenzione si pone a 1 = a. Inoltre se n = 0 si definisce a 0 = 1, a R, a 0. (L espressione 0 0 non ha significato!) Esempi: = = 64 ( ) = = ( 3) 2 = ( 3) ( 3) = 9 4 ( π) 0 = 1

3 Potenze con esponente intero negativo Sia n N. Si definisce ( ) 1 n a n = = 1, a R, a 0. a an Esempi: = = 1 64 ( ) ( ) = = 2 2 = ( 3) 2 = 4 ( ) 5 2 = ( 1 3 ( ) ) 2 = 1 9

4 Potenze con esponente intero Proprietà algebriche fondamentali Per ogni n, m Z e per ogni a R si ha a n a m = a n+m (a n ) m = a nm Esempi: = = (5 3 ) 4 = = = = (π 2 ) 3 = π 2 ( 3) = π 6 = 1 π 6

5 Potenze con esponente intero Corollario Per ogni n, m Z e per ogni a R si ha Esempi: = 32 7 = 3 5 = = 52 = 25 a n : a m = an a m = an m.

6 Potenze con esponente intero Ulteriori proprietà Per ogni n Z si ha (ab) n = a n b n, a, b R (con ab 0 qualora n = 0) ( a ) n a n =, a, b R, b 0 b bn Queste regole si possono estendere al caso di più di due potenze. Esempio: (abcdef) n = a n b n c n d n e n f n ATTENZIONE (a + b) n a n + b n Esempio: (2 + 5) 2 = 7 2 = 49, ma = = 29.

7 Potenze con esponente intero Applicazione: interesse composto Supponiamo di depositare 1000 euro su un conto bancario che paga un interesse al tasso dell 5%. Dopo un anno avremo guadagnato interessi per 50 euro, avendo il saldo del conto corrente pari a 1050 euro. Tale saldo può essere calcolato nel modo seguente: = 1000 ( ) = , 05. Supponiamo che questo nuovo importo , 05 euro venga lasciato in deposito per un altro anno al tasso di interesse sempre del 5%. Alla fine del secondo anno il saldo del conto corrente sarà: , , = , 05 ( ) = 1000 (1, 05) 2. Se ogni anno il saldo cresce in base al fattore 1, 05, dopo t anni esso sarà pari a 1000 (1, 05) t euro.

8 Potenze con esponente intero Applicazione: interesse composto Generalizzando... C capitale i tasso annuo di interesse t numero di anni allora otteniamo il seguente principio generale: Una quantità C che cresce del i% all anno varrà, dopo t anni C ( 1 + i ) t i 100 i%. è detto fattore di crescita per un tasso di crescita del

9 Potenze con esponente intero Applicazione: interesse composto Una quantità C che decresce del i% all anno varrà, dopo t anni C ( 1 i ) t i è detto fattore di decrescita per un tasso di decrescita 100 del i%.

10 Potenze con esponente razionale Siano m Z, n N \ {0} e sia a 0. Si definisce a m/n = ( n a) m. Valgono ancora le proprietà algebriche fondamentali. Esempi: 1 a 1/2 = a radice quadrata di a che gode delle seguenti proprietà: ab = a b (a, b 0) a b = a b (a 0, b > 0) ATTENZIONE a + b a + b 2 a 1/n = n a radice n-esima di a Osserviamo che a 1/n avrebbe senso anche se a < 0, purché n sia un numero dispari.

11 Potenze con esponente razionale Esempi: 1 4 7/2 = (4 7 ) 1/2 = /2 = 128 oppure 4 7/2 = (4 1/2 ) 7 = 2 7 = ( 8) 1/3 = 3 8 = 2 perché ( 2) 3 = 8 3 (5 2 ) 3/2 = 5 3 = = 22 (1 + 2) 2 3 = = 3/2

12 Potenze con esponente reale La potenza x r con r R e x > 0 si calcola approssimando in modi via via più accurati l esponente. Calcoliamo per esempio 5 π. Sapendo che π è vicino a 3.1, 5 π sarà circa = 5 31/10 = Un approssimazione migliore è data da 5 π = 5 314/100 = 5 157/

13 Esponente naturale Sia n N, n 0. La funzione potenza con esponente n è definita ponendo f(x) = x n, x R.

14 n pari: proprietà f(0) = 0 f : x R x n [0, + ) }{{} f(x) 0 (f positiva) f( x) = ( x) n = ( 1) n x n = x n = f(x) = f è pari Siano x 1, x 2 R. Si ha (si dimostra per induzione) 0 x 1 < x 2 = 0 x n 1 < x n 2 e quindi f(x 1 ) < f(x 2 ) = f è strettamente crescente in [0, + ). Visto che la f è pari, f è strettamente decrescente in (, 0].

15 n pari: grafico x 2

16 n pari: grafico x 2, x 4

17 n pari: grafico x 2, x 4, x 6

18 n pari: funzione inversa f(x) = x n è strettamente monotona in [0, + ) = f è invertibile in tale insieme.si può pertanto definire la funzione inversa di f(x) = x n (x 0) detta funzione radice n-sima, in simboli f 1 : [0, + ) [0, + ), come segue x f 1 (x) = n x = x 1/n x 0.

19 n pari: funzione inversa f(x) = x n è strettamente monotona in [0, + ) = f è invertibile in tale insieme. Si può pertanto definire la funzione inversa di f(x) = x n (x 0) detta radice n-sima, in simboli f 1 : [0, + ) [0, + ), come segue x, 4 x f 1 (x) = n x = x 1/n x 0.

20 n pari: funzione inversa f(x) = x n è strettamente monotona in [0, + ) = f è invertibile in tale insieme. Si può pertanto definire la funzione inversa di f(x) = x n (x 0) detta funzione radice n-sima, in simboli f 1 : [0, + ) [0, + ), come segue x, 4 x, 6 x f 1 (x) = n x = x 1/n x 0.

21 n dispari: proprietà f : x R x n R f(x) > 0 per x > 0; f(x) < 0 per x < 0 f(0) = 0 f( x) = ( x) n = ( 1) n x n = x n = f(x) = f è dispari Siano x 1, x 2 R. Si è già visto che se 0 x 1 < x 2, allora 0 x n 1 < xn 2 f(x 1) < f(x 2 ) = f è strettamente crescente in [0, + ). Visto che la f è dispari, f è strettamente crescente anche in (, 0], per cui f è strettamente crescente in tutto R.

22 n dispari: grafico x

23 n dispari: grafico x, x 3

24 n dispari: grafico x, x 3, x 5

25 n dispari: funzione inversa f(x) = x n è strettamente monotona in tutto R, da cui si deduce che f è invertibile in tutto R.Si può pertanto definire la funzione inversa di f(x) = x n (x R) detta funzione radice n-sima con n dispari e si indica con 3 x f 1 (x) = n x = x 1/n x R.

26 n dispari: funzione inversa f(x) = x n è strettamente monotona in tutto R, da cui si deduce che f è invertibile in tutto R. Si può pertanto definire la funzione inversa di f(x) = x n (x R) detta funzione radice n-sima con n dispari e si indica con 3 x, 5 x f 1 (x) = n x = x 1/n x R.

27 Esponente reale Si definisce funzione potenza con esponente reale oppure la funzione f : (0, + ) R (se r 0) definita come f(x) = x r per ogni x > 0 la funzione f : [0, + ) R (se r > 0) definita ponendo f(x) = x r per ogni x > 0 e f(0) = 0. Valgono ancora le proprietà algebriche fondamentali. Non ha senso 0 0!

28 Esponente reale: grafici Si ottengono grafici con il seguente andamento quando r > 1

29 Esponente reale: grafici Si ottengono grafici con il seguente andamento quando r > 1, 0 < r < 1

30 Esponente reale: grafici Si ottengono grafici con il seguente andamento quando r > 1, 0 < r < 1, r < 0

31 Esponente razionale: applicazioni 1 S 4, 84V 2/3 area approssimata S della superficie di una sfera come funzione del suo volume V. 2 Il flusso di sangue (in litri al secondo) attraverso il cuore di un individuo dal peso x è approssimativamente proporzionale a x Se Y prodotto interno netto K stock di capitale L lavoro t tempo la formula Y = 2, 262K 0,203 L 0,763 (1, 02) t appare in uno studio sulla crescita del prodotto interno.

32 Esercizi svolti a lezione Determinare il dominio, eventuali simmetrie, intersezione con gli assi e lo studio del segno delle seguenti funzioni: 1 f(x) = x 1 2 f(x) = 3 x(x 2 + 1) x 3 f(x) = x x 1 f(x) = x 2 2x 3

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