Matematica con elementi di Informatica

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1 Funzioni Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche Anno Accademico 2018/19 Funzioni Anno Accademico 2018/19 1 / 16

2 Definizione di funzione Una funzione f : A B è una relazione tra gli elementi di due insiemi che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B f : A B Per ogni a A, esiste un b B tale che f (a) = b, f : a b. Funzioni Anno Accademico 2018/19 2 / 16

3 Esempi di funzioni nome, n : {Insieme studenti della classe} {nomi} altezza, h : {Insieme studenti della classe} [100, 190] Appaiamento complementare nel DNA, f : {A, T, C, G } {A, T, C, G } f (A) = T, f (T ) = A, f (C ) = G, f (G ) = C temperatura corporea in un giorno t : [0, 1440] [35, 43] Pressione in un fluido incomprimibile p : [0, + ) [P 0, + ) P(h) = P 0 + ρgh dove P 0 è la pressione atmosferica, ρ è la densità del fluido e g = 9, 8m/s 2 è la l accelerazione di gravità. Funzioni Anno Accademico 2018/19 3 / 16

4 Dominio, codominio, immagine Data una funzione f : A B chiameremo A il dominio della funzione, è l insieme dei punti sui quali è definita la funzione f, in seguito lo indicheremo con dom(f ); B il codominio della funzione, è l insieme dove la funzione f assume i suoi valori; im(f ) l immagine di f è definita come im(f ) = {y B : y = f (x) per qualche x A} è il sottoinsieme di B che contiene i valori realmente assunti dalla funzione f Funzioni Anno Accademico 2018/19 4 / 16

5 Funzioni suriettive e iniettive Data una funzione f : A B diremo che questa funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio (per ogni y B esiste x A tale che f (x) = y), im (f ) = B iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti nel codominio: per ogni x 1, x 2 A se x 1 = x 2 allora f (x 1 ) = f (x 2 ) (oppure equivalentemente: per ogni x 1, x 2 A se f (x 1 ) = f (x 2 ) allora x 1 = x 2 ) Funzioni Anno Accademico 2018/19 5 / 16

6 Funzioni biiettive Data una funzione f : A B diremo che questa funzione è biiettiva quando è contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Una funzione biiettiva è invertibile, ovvero esiste una funzione f 1 : B A tale che f 1 A f B A x f (x) f 1 (f (x)) = x Esempio. f (x) = x 2 può essere iniettiva e/o suriettiva, a seconda di dove viene definita: f : [ 1, 1] [0, 1] suriettiva ma non iniettiva; f : [0, 1] [0, 2] inettiva ma non suriettiva; f : [0, 1] [0, 1] biiettiva. Funzioni Anno Accademico 2018/19 6 / 16

7 Funzioni iniettive e suriettive, esercizio 1 Si consideri la seguente funzione: f (x) = 3 x si determini il dominio (massimo di definizione); 2 si determini l immagine; 3 si dica se è iniettiva; 4 si dica se è suriettiva; 5 se possibile si calcoli l inversa. Funzioni Anno Accademico 2018/19 7 / 16

8 Funzioni monotone Data una funzione f : A B, A R diremo che questa funzione è monotona crescente se per ogni x 1 < x 2 A allora f (x 1 ) f (x 2 ) strettamente monotona crescente se per ogni x 1 < x 2 A allora f (x 1 ) < f (x 2 ) monotona decrescente se per ogni x 1 < x 2 A allora f (x 1 ) f (x 2 ) strettamente monotona decrescente se per ogni x 1 < x 2 A allora f (x 1 ) > f (x 2 ) Funzioni Anno Accademico 2018/19 8 / 16

9 Esempi di funzioni elementari Funzione Costante Funzione Identità Funzione Modulo Funzione Heaviside (neuroni) Funzioni lineari Funzioni affini Funzione Potenza Funzione Esponenziale Funzione Logaritmo Funzioni Anno Accademico 2018/19 9 / 16

10 Potenza (esponente naturale) a R, a = 0, n N Definizione ricorsiva di potenza a n (f (n) = a n, con f : N R) a 0 = 1 a n+1 = a a n n N valgono le proprietà: a n a m = a n+m per ogni n, m N (a n ) m = a nm per ogni n, m N (ab) n = a n b n per ogni n N Funzioni Anno Accademico 2018/19 10 / 16

11 Potenza (esponente intero) Come estendere la potenza al caso a R, a = 0, n Z? Se vogliamo che valga ancora estendiamo f (n) = a n a f : Z R a n a m = a n+m per ogni n, m Z allora dobbiamo porre a n = 1 a n. Le altre due proprietà seguono subito: (a n ) m = a nm per ogni n, m Z (ab) n = a n b n per ogni n Z Funzioni Anno Accademico 2018/19 11 / 16

12 Potenza (esponente razionale) Come estendere la potenza al caso n Q (ma stavolta a R + )? Stavolta partiamo da estendiamo f (n) = a n a f : Q R (a n ) m = a nm per ogni n, m Q allora dobbiamo porre a m n = n a m (ricordiamo: n = 0). Le altre due proprietà seguono subito: a n a m = a n+m (ab) n = a n b n per ogni n, m Q per ogni n Q Funzioni Anno Accademico 2018/19 12 / 16

13 Funzioni pari e dispari Data una funzione f : A B dove A, B R supponiamo che l insieme A sia simmetrico rispetto all origine (ovvero se x A allora anche x A). Possiamo allora affermare che la funzione f è pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all asse y, ovvero se per ogni x A accade che f ( x) = f (x); dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all origine (0, 0), ovvero se per ogni x A accade che f ( x) = f (x). Funzioni Anno Accademico 2018/19 13 / 16

14 Funzioni pari e dispari, esercizi Si considerino le seguenti funzioni g(x) = 3x2 h(x) = x 2 1 2x x 4 16 f (x) = x2 x+1 si dica se sono pari o dispari. Funzioni Anno Accademico 2018/19 14 / 16

15 Composizione di funzioni Date due funzioni f : A B e g : C D se C B è sensato chiedersi se esiste la funzione composta, ovvero la funzione g f. Condizione di esistenza. La funzione composta g f esiste se e solo se l immagine di f è contenuta nel dominio di g (che è C nel nostro caso). In simboli: im(f ) dom(g) Funzioni Anno Accademico 2018/19 15 / 16

16 Funzioni elementari e composizione di funzioni Date le funzioni g(x) = x 1 ; f (x) = 2x + 1 si stabilisca se esistono le funzioni composte h = f g ; k = g f e in caso affermativo le si determini. Grafici delle funzioni: x mx + q, x ax 2 + bx + c Grafici delle funzioni: x x 2, x x 3, x x, x 3 x, x exp(x) = e x, x ln(x), x 1/x, x x Grafico della funzioni: x f (x), x f ( x), x f (x) + c, x f (x + c), x f (x) (una volta noto il grafico di f ) Funzioni Anno Accademico 2018/19 16 / 16