41 POLINOMI DI TAYLOR

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1 4 POLINOMI DI TAYLOR DERIVATE DI ORDINI SUCCESSIVI Allo stesso modo della derivata seconda si definiscono per induzione le derivate di ordine k: la funzione derivata 0-ima di f si definisce ponendo f (0 = f; se è definita in ogni punto x I la derivata k-ima f (k R e se ne esiste la derivata in un punto x 0, si definisce f (k+ (x 0 = D(f (k (x 0. Definizione Sia I intervallo. Definiamo per ogni k N l insieme C k (I delle funzioni k volte derivabili su I tali che la derivata k-ima sia una funzione continua. Quindi: C 0 (I è l insieme delle funzioni continue su I; C (I è l insieme delle funzioni derivabili su I la cui derivata è una funzione continua; ecc. Si noti che valgono le inclusioni:... C 2 (I C (I C 0 (I. Definiamo inoltre lo spazio delle funzioni la cui derivata k-ima esiste per ogni k N: C (I = k N C k (I. NOTA: le inclusioni sopra descritte sono strette. PER ESERCIZIO: fornire un esempio di funzione in C k (I ma non in C k+ (I; 2 l esistenza della derivata k-ima implica la continuità della derivata k -ima e quindi, per induzione, di tutte le precedenti; 3 i polinomi, gli esponenziali, i logaritmi, sin, cos,... sono funzioni C. PER ESERCIZIO: calcolarne tutte le derivate; 4 dai teoremi di linearità delle derivate, si ha che per ogni k vale, per induzione, il teorema di linearità per funzioni di classe C k. 5 se f, g C k (I, allora anche fg C k (I, e si ha k ( k (fg (k = f (n g (k n ; n n=0 6 composizione di funzioni C k è ancora C k. POLINOMI DI TAYLOR OSSERVAZIONE: se f è continua nel punto a possiamo scrivere (ricordando la definizione di o piccolo che f(x = f(a + o( per x a; se f è derivabile in a, per la definizione di differenziabilità si ha

2 f(x = f(a + f (a(x a + o(x a per x a; se f è derivabile due volte in a, abbiamo visto che si ha f(x = f(a + f (a(x a + 2 f (a(x a 2 + o((x a 2 per x a; Vogliamo generalizzare questa formula a funzioni n volte derivabili: il problema è trovare un polinomio P di grado n tale che si possa scrivere f(x = P (x + o(x a n per x a, e se possibile esprimere P mediante le derivate di f in a fino all ordine n. Teorema. Siano n N, n e f una funzione definita in un intorno del punto a R e derivabile n volte in a. Allora esiste un unico polinomio P di grado n tale che f(x = P (x + o(x a n per x a. P è caratterizzato da P (k (a = f (k (a per k = 0,..., n, ed è quindi dato dalla formula f (k (a P (x = (x a k. k! Questo polinomio viene detto polinomio di Taylor di f di ordine n e di centro a. Si ha quindi la formula f(x = f (k (a (x a k + o(x a n per x a, k! detta formula di Taylor con il resto di Peano. Questa formula è di ESTREMA UTILITÀ nel calcolo dei iti. Dimostrazione Possiamo supporre, mediante una traslazione, che a = 0. Consideriamo il polinomio f (k (0 P (x = x k, k! f(x P (x e calcoliamo il ite x 0 x n. Questa è una forma indeterminata 0/0 Possiamo applicare l Hôpital, ottenendo l equivalenza con il ite f (x P (x x 0 nx n. Se n = questo ite è uguale a 0 e quindi f P = o(x per x 0. Altrimenti si ha di nuovo una forma indeterminata 0/0, e si può ri-applicare l Hôpital, ottenendo l equivalenza con il ite x 0 f (2 (x P (2 (x n(n x n

3 In generale, si applica l Hôpital n volte, ottenendo alla fine l equivalenza con il ite f (n (x P (n (x x 0 n! Dunque f P = o(x n. = 0. Dalla applicazione dell Hôpital vista sopra si ha che se Q = c k x k è un polinomio di grado n e si ha c k f (k (0/k! per qualche k {0,..., n}, allora, posto m = min{k : c k f (k (0/k!, si ha f(x Q(x f (m (0 c m m! x 0 x n = (H =... = (H = 0. x 0 n(n... (n m + xn m e quindi f Q o(x n. Dunque il polinomio P è univocamente determinato. Criterio della derivata n-ima. Sia f n volte derivabile in a, e supponiamo che f (a = f (2 (a =... = f (n (a = 0. Il Teorema sui polinomi di Taylor ci assicura che f si comporta allora come f (n (a(x a n nel senso che f(x = f(a + f (n (a (x a n + o(x a n. n! Dunque se n è pari e f (n (a < 0 si ha un punto di massimo relativo per f in a; se n è pari e f (n (a > 0 si ha un punto di minimo relativo per f in a. Se n è dispari e f (n (a < 0 f è strettamente decrescente in un intorno di a; se n è dispari e f (n (a > 0 f è strettamente crescente in un intorno di a. L operazione che associa ad una funzione f n-volte derivabile in un punto a il suo polinomio di Taylor di ordine n viene indicata con il simbolo T n a. Il teorema sopra si legge x a f(x (x a n = x a T n a (x (x a n. Per lo più avremo a che fare con a = 0, nel qual caso ci dimenticheremo dell indice 0. Per esempio: T 3 0 (exp = e 0 + e0! x + e0 2! x2 + e0 3! x3 = + x + x2 6 ; T 4 0 (sin = sin 0 + cos 0! x + sin 0 2! x 2 + cos 0 3! x 3 + sin 0 x 4 = x x3 4! 6. 3

4 OSSERVAZIONE IMPORTANTE (per il calcolo: T n a (f + g = T n a f + T n a g; 2 T n a (fg = T n a (T n a f T n a g; 3 T n a (g f = T n a (T n f(a g T n a f. (notare che se P è polinomio in (x a, allora l operazione Ta n corrisponde a troncare P al grado n. Infatti si verifica subito che le derivate k-ime dei secondi membri delle equaglianze sono quelle richieste, per k =,..., n. Polinomi di Taylor elementari (da imparare A MEMORIA, e da verificare calcolando le derivate in 0 T n x k (exp(x = k! ; T 2n (cos(x = T 2n+ (cos(x = T 2n+ (sin(x = T 2n+2 (sin(x = T n (log( + x = ( k+ x k ; k k= T 2n+ (arctan(x = T n (( x = x k ; T (( + x α = + αx; ( k x 2k ; (2k! ( k x 2k+ ; (2k + T 3 tan x = T 4 tan x = x + 3 x3. ( k x 2k+ ; (2k +! ESEMPI: Calcoliamo il polinomio di Taylor di ordine 2 e centro 0 della funzione ( log sin 3x f(x = 3x se x ] 3, 3 [ 0 se x = 0. Ricordando che si ha sin 3x = 3x 9 2 x3 + o(x 3 4

5 e che log( + y = y + o(y, si ha ( sin 3x log = log( 3 3x 2 x2 + o(x 2 = 3 2 x2 + o(x 2, ovvero T 2 f(x = 3 2 x2. bis Calcolare il ite x 0+ ( sin 3x Possiamo scrivere in forma esponenziale 3x x sin 2x. ( sin 3x x sin 2x ( ( sin 3x = exp 3x x sin 2x log. 3x Il ite dell esponente (ricordando il ite fondamentale di sin y/y e l esempio vale ( sin 3x ( x 0+ 2x 2 log = 3 3x x 0+ 2 x2 + o(x 2 2x 2 = 3 4. Dunque il nostro ite vale e 3/4. 2 Calcoliamo il polinomio di Taylor di ordine 6 in 0 della funzione f(x = log( + x 2 x 2 cos x. Ricordiamo che e che per cui e anche Quindi si ha e dunque log( + z = z 2 z2 + 3 z3 + o(z 3 cos x = 2 x x4 + o(x 4 log( + x 2 = x 2 2 x4 + 3 x6 + o(x 6 f(x = x 2 cos x = x 2 2 x x6 + o(x 6. ( 3 24 x 6 + o(x 6 = 7 24 x6 + o(x 6, T 6 f(x = ( 3 24 x 6 = 7 24 x6. 5

6 2bis Calcoliamo il ite Ricordando che il ite è uguale a Per l esempio 2 si ha quindi L = x 0+ tan x 4 x 0 x 4 x 2 cos x log( + x 2 7x 2 tan(x 4. tan x = =, x 0 x x 2 cos x log( + x 2 x 0+ 7x 6. L = x 0+ 7x 6 ( 7 24 x6 + o(x 6 = 24. PER ESERCIZIO: risolvere i iti negli esempi con la regola dell Hôpital. 3 Calcolare il ite L = x x sin(x 3 2 (x sin x 2 x. Per prima cosa semplifichiamo il ite ricordandoci che sin x = x 6 x3 + o(x 3, per cui L = 6 x x sin(x 3 2 x 3 2 x Per avere solo potenze intere cambiamo variabile ponendo y = x. Il ite diventa y 3 sin(y 3 y 0+ y 6 = 6 y y 0+ 3 sin(y 3 y 3 y 6 (abbiamo usato il cambiamento di variabili t = y 3. Si ha sin t t = t 6 t3 + o(t 3 t. 3 sin t t = 6 t 0+ t 2 = 6 t2 + o(t 2 e 3 + z = ( + z /3 = + z + o(z, per cui 3 3 sin t = 3 t 6 t2 + o(t 2 = 8 t2 + o(t 2. Dunque 3 sin t t L = 6 t 0+ t 2 = 6 t 0+ 8 t2 + o(t 2 t 2 = 3. 6

7 42 ESERCIZI SUI POLINOMI DI TAYLOR Calcolare i seguenti polinomi di Taylor con centro in 0, usando ove possibile i polinomi di Taylor noti e le operazioni su polinomi di Taylor.. Calcolare T 3(. cos 2x Usiamo i polinomi di Taylor noti: T 3 y = + y + y2 + y 3, T 3 cos z = 2 z2, per cui T 3 cos 2x = 2x 2, T 3( = T 3( cos 2x 2x 2 = T 3 ( + (2x 2 + (2x (2x 2 3 = + 2x Calcolare T 4( e 2x + e 2x. 2 La domanda si scrive anche: calcolare T 4 cosh 2x. Cogliamo l occasione per calcolare T n cosh y. Dato che T n e z = k! zk, T n e z = k! ( zk = ( k z k, k! calcolando T n e z +T n e z, i termini di grado dispari si elidono, per cui rimangono solo quelli di grado pari. Dividendo per 2 si ottiene T 2n cosh z = T 2n+ cosh z = (2k! z2k (ovvero i termini pari di T 2n e z. Lo stesso tipo di calcolo ci mostra che T 2n+ sinh z = T 2n+2 sinh z = (ovvero i termini dispari di T 2n+ e z. Tornando al nostro esercizio, si ha T 4 cosh 2x = 2 (2k +! z2k+ (2k! (2x2k = + 2 (2x (2x4 = + 2x x4. 7

8 ( + 2x 3. Calcolare T 3 log. 3x Scriviamo ( + 2x log = log( + 2x log( 3x. 3x Usando lo sviluppo T 3 log( + y = y y2 2 + y3 3, otteniamo (y = 2x e (y = 3x T 3 log( + 2x = 2x (2x2 2 + (2x3 3 = 2x 2x x3, Si ha quindi T 3 log( 3x = 3x ( 3x2 2 + ( 3x3 3 = 3x 9 2 x2 9x 3. ( + 2x T 3 log = T 3 log( + 2x T 3 log( 3x 3x = (2x 2x x3 ( 3x 9 2 x2 9x 3 = 5x x x3. 4. Calcolare T 4 (x 5 log(e x x. Si ha T 4 (e x x = + x + x2 24 x = + x2 24. Dato che in questo polinomio non compare x, basta considerare lo sviluppo fino all ordine 2 di log( + y: Abbiamo T 2 log( + y = y y2 2. T 4 log(e x x = T 4 log( + x2 24 = x T 4(( x 2 24 = x x4 = x2 6 x4 2. Moltiplicando per (x 5 otteniamo x x4 6 x5 2 5(x2 6 x

9 = 5 2 x2 3 x x4 x5 2, e quindi il polinomio cercato si ottiene einando il termine in x 5, ovvero T 4 (x 5 log(e x x = 5 2 x2 3 x x4. 5. Calcolare T 3 (2x sin x. Calcoliamoci T 3 + y. Se f(y = + y = ( + y /2 allora si ha f (y = 2 ( + y /2, f (y = 4 ( + y 3/2, f (y = 3 8 ( + y 5/2, e Dunque f(0 =, f (0 = 2, f (0 = 4, f (0 = 3 8. T 3 + y = f(0 + f (0y + 2 f (0y f (0y 3 = + 2 y 8 y2 + 6 y3. Ricordando che T 3 sin x = x 6 x3, si ha T 3 + sin x = + 2 (x 6 x3 8 x2 + 6 x3 (nei termini y 2 e y 3 possiamo tralasciare il termine in x 3 perche viene sempre moltiplicato almeno per x e quindi da termini almeno di grado 4 Moltiplicando per (2x + 5 si ha quindi = + 2 x 8 x2 48 x3. 2x + x 2 4 x x4 + 5 ( + 2 x 8 x x3 = x x x x4. Einando il termine in x 4 si ottiene il polinomio voluto, ovvero. T 3 (2x sin x = x x x3. 9