x 3 2x 2 + 6x x 4 3x = lim x(6 2x + x 2 ) x( 3 + x 3 ) (6 2x + x 2 ) ( 3 + x 3 ) = lim = 2

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1 Calcolo di forme indeterminate del tipo 0/0 Quando si deve calcolare il limite di rapporto di funzioni infintesime per x 0, si raccoglie la potenza di x al minimo esponente. Es. lim x 0 x 3 2x 2 + 6x x 4 3x = lim x 0 x(6 2x + x 2 ) x( 3 + x 3 ) = = lim x 0 (6 2x + x 2 ) ( 3 + x 3 ) = 2 Perchè si raccoglie la potenza di grado minimo? x x 2 x 3 x Perché il termine di grado minimo è quello principale, ovvero quello piú grande, quello predominante. Fissato x (0, 1), minore è l esponente n di x e maggiore è il valore x n. Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.1/26

2 Graficamente: x x 2 x 3 x y x x n 0 quando x 0, per ogni n N ed in particolare: x 4 tende a zero piú velocemente di x 3, e si scrive x 4 = o(x 3 ) x 3 tende a zero piú velocemente di x 2, x 3 = o(x 2 ) x 2 tende a zero piú velocemente di x, x 2 = o(x) Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.2/26

3 La scrittura f(x) = o(g(x)) per x 0 vuole dire che: 1. f(x) e g(x) sono entrambe infinitesime per x 0 e 2. f(x) tende a zero piú velocemente di g(x) quando x 0, ovvero f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) per x 0, f(x) ovvero lim x 0 g(x) = 0. La scrittura f(x) = o(1) vuol dire genericamente che f(x) è infintesima per x 0. Per i monomi (potenze di x) vale la regola x n = o(x m ), per x 0, n > m. Infatti lim x 0 x n = 0 solo se n > m. xm Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.3/26

4 Il limite di prima si risolve con l algebra degli infinitesimi come segue: x 3 2x 2 + 6x 6x + o(x) lim x 0 x 4 = lim 3x x 0 3x + o(x) = lim x(6 + o(1)) x 0 x( 3 + o(1)) = 6 + o(1) lim x o(1) = 2 Algebra degli infinitesimi o(x n ) ± o(x n ) = o(x n ) x 0 o(x n ) ± o(x m ) = o(x p ), p = min(n, m) x 0 x m o(x n ) = o(x n+m ) x 0 o(x n )/x n = o(1) x 0 o(x n )/x m = o(x n m ) n m x 0 Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.4/26

5 sin (log(1 + 2x)) e 2x + 1 Se si vuole calcolare il limite lim x 0 tan x 2 = 0 0. Il Teorema di de l Hôpytal non è di molto aiuto L obiettivo è quello di ricondursi ad un rapporto di funzioni di tipo polinomiale, in modo che il confronto di infinitesimi sia immediato. Ovvero voglio riscrivere le funzioni sin, log, tan, exp in termini di potenze di x, ad esempio: sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 + potenze di x di grado > 7 7! }{{} o(x 7 ) Polinomio di Taylor resto di Taylor di sin(x) di grado 7 Per parlare di Polinomi di Taylor correttamente, bisogna però introdurre le derivate di ordine superiore al secondo. Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.5/26

6 Derivata di ordine superiore In maniera analoga a quanto fatto per la derivata seconda, si può definire la derivata terza di f in x 0, se esiste, come la derivata prima in x 0 della derivata seconda di f: f (x 0 ) := (f ) (x 0 ) ed in generale, per k 1, la la derivata di ordine k di f in x 0 è f (k) (x 0 ) := (f (k 1) ) (x 0 ). Per definizione si pone f (0) (x 0 ) := f(x 0 ), ovvero la derivata di ordine zero di una funzione è la funzione stessa. Es. f(x) = x x, f (x) = ( 1x 2 ) = x 2 f (x) = 3 2 ( 2)x 3 = 3x 3, f (x) = f (3) (x) = 3 ( 3)x 4 = 9 x 4. Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.6/26

7 Def. Una funzione f si dice di classe C k (con k 0) su un intervallo I, se essa è derivabile k volte in I e se la funzione derivata k sima di f (f (k) (x)) è un funzione continua su I. L insieme delle funzioni di classe C k su I è denotato con C k (I). C (I) è l insieme delle funzioni che sono derivabili un numero arbitrario ( ) di volte su I. Es. f(x) = e x, f (k) (x) = e x, k = 1, 2,... Qualunque sia k, la derivata f (k) (x) coincide con f che è una funzione continua su R, quindi f C (R). Es. f(x) = x, I = [0, + ): continua, ma non derivabile. f C 0 (I): in x = 0 f è definita, Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.7/26

8 Approssimazione di una funzione con i polinomi di Taylor Consideriamo una funzione f C (I) e sia x 0 I. Il nostro obiettivo è approssimare (cioè sostituire) f(x) con un polinomio p n (x) di grado n in un intorno del punto x 0 con le seguenti proprietà: p n (x 0 ) = f(x 0 ) p n(x 0 ) = f (x 0 ) p n(x 0 ) = f (x 0 ) p (n)... n (x 0 ) = f (n) (x 0 ) Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.8/26

9 se n = 0 ho una sola condizione: p 0 (x 0 ) = f(x 0 ). Il pol. di Taylor di grado n = 0 che approssima f(x) in un intorno del punto x 0 è una retta orizzontale che interseca f(x) nel punto (x 0, f(x 0 )), ovvero: y = p 0 (x) = f(x 0 ) Es. f(x) = log(x) e x 0 = 1. Il pol. di Taylor di grado n = 0 che approssima f(x) = log(x) in un intorno del punto x 0 = 1 è la retta y = y f(x)=log(x) p 0 (x)= x Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.9/26

10 se n = 1, ho due condizioni: p 1 (x 0 ) = f(x 0 ) e p 1(x 0 ) = f (x 0 ). Il pol. di Taylor di grado n = 1 che approssima f(x) in un intorno del punto x 0 è la retta che passa per il punto (x 0, f(x 0 )) e che ha come coefficiente angolare la derivata prima di f in x 0, ovvero la retta tangente: y = p 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Es. f(x) = log(x) e x 0 = 1. Il pol. di Taylor di grado n = 1 che approssima f(x) = log(x) in un intorno del punto x 0 = 1 è la retta y = (x 1) = x y f(x)=log(x) p 1 (x)=x x Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.10/26

11 se n = 2, ho tre condizioni: p 2 (x 0 ) = f(x 0 ), p 2(x 0 ) = f (x 0 ) e p 2(x 0 ) = f (x 0 ). Il pol. di Taylor di grado n = 2 he approssima f(x) in un intorno del punto x 0 è una parabola che passa per il punto (x 0, f(x 0 )), che ha la stessa derivata prima e la stessa derivata seconda di f nel punto x 0, ovvero: p 2 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2 (x x 0 ) 2 Dimostrazione: cerco un polinomio di grado 2: p 2 (x) = ax 2 + bx + c che soddisfa le tre condizioni p 2 (x 0 ) = f(x 0 ), p 2(x 0 ) = f (x 0 ) e p 2(x 0 ) = f (x 0 ), ho: p 2 (x 0 ) = ax bx 0 + c = f(x 0 ) p 2(x 0 ) = 2ax 0 + b = f (x 0 ) p 2(x 0 ) = 2a = f (x 0 ) che è un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite: a, b, c. Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.11/26

12 Risolvo il sistema, partendo dall ultima equazione e ricavo: a = 1 2 f (x 0 ), b = f (x 0 ) f (x 0 )x 0, c = f(x 0 ) (f (x 0 ) f (x 0 )x 0 )x f (x 0 )x 2 0. Risistemando, si ha: p 2 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2. 2 Es. f(x) = log(x) e x 0 = 1. Il pol. di Taylor di grado n = 2 che approssima f(x) = log(x) in un intorno del punto x 0 = 1 è la parabola y = (x 1) 1 2 (x 1)2 = 1 2 x2 + 2x y f(x)=log(x) p 2 (x) x Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.12/26

13 Per n generico: p n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 2 n! n f (k) (x 0 ) oppure p n (x) = (x x 0 ) k k! dove p n soddisfa le condizioni: p (k) n (x 0 ) = f (k) (x 0 ) per ogni k = 0,..., n. N.B. f (0) (x 0 ) = f(x 0 ) e 0! = 1 le derivate del polinomio di Taylor nel punto x 0 coincidono con le corrispondenti derivate di f nel punto x 0, ma in un generico punto x x 0 si ha p n (x) f(x), p n(x) f (x), ecc. k=0 Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.13/26

14 8 7 f(x)=e x, x 0 = y x Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.14/26

15 Es. f(x) = e x con x 0 = 0. Per ogni k N si ha f (k) (0) = e 0 = 1. n = 0 p 0 (x) = f(x 0 ) = f(0) = 1 n = 1 p 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = 1 + x n = 2 n = 3 n p 2 (x) = 1 + x x2 p 3 (x) = 1 + x x ! x3 p n (x) = 1 + x + x2 2 + x3 3! xn n! Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.15/26

16 La differenza f(x) p n (x) è detta resto di ordine n nel punto x e, se f C n (I(x 0 )), si può dimostrare che: f(x) p 0 (x) = o(1) per x x 0 f(x) p 1 (x) = o((x x 0 )) per x x 0 f(x) p 2 (x) = o((x x 0 ) 2 ) per x x 0 f(x) p n (x) = o((x x 0 ) n ) per x x 0. Vediamo graficamente: taylor3 Matematicamente: abbiamo un teorema Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.16/26

17 Teorema. Sia f derivabile n volte in x 0, con n 0. Se n f (k) (x 0 ) p n (x) = (x x 0 ) k è il polinomio di Taylor di grado n k! k=0 approssimante f in I(x 0 ), allora vale la seguente formula: f(x) = p n (x) + o((x x 0 ) n ), x x 0 ovvero f(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + o((x x 0 ) n ), x x 0 Def. Il polinomio di Taylor p n (x) è anche detto sviluppo di Taylor di grado n della funzione f in x 0 La quantità o((x x 0 ) n ) = f(x) p n (x) è detta resto dello sviluppo di Taylor di grado n nella forma di Peano. Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.17/26

18 Si può dimostrare che: Teorema. Se f è derivabile n volte in x 0 ed è derivabile n + 1 volte in un intorno di x 0 allora il resto si può scrivere nella forma di Lagrange, ovvero x tra x e x 0 : f(x) p n (x) = f (n+1) (x) (n + 1)! (x x 0) n+1. Se x 0 = 0 lo sviluppo di Taylor prende il nome di sviluppo di Maclaurin. Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.18/26

19 Sviluppi di Maclaurin notevoli e x = 1 + x + x2 2 + x3 3! xn n! + o(xn ) = n k=0 x k k! + o(xn ) log(1 + x) = x x2 2 + x ( 1)n 1 xn n + o(xn ) sin(x) = x x3 3! + x5 5! ( 1)k x 2k+1 (2k + 1)! + o(x2k+2 ) cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! ( 1)k x2k (2k)! + o(x2k+1 ) sinh(x) = x + x3 3! + x5 5! x2k+1 (2k + 1)! + o(x2k+2 ) cosh(x) = 1 + x2 2! + x4 4! x2k (2k)! + o(x2k+1 ) Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.19/26

20 (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) 2 x x = 1 x + x2 x ( 1) n x n + o(x n ) 1 + x = 1 + x 2 x2 8 + x o(x3 ) tan(x) = x + x x5 + o(x 5 ) ( α n ) x n + o(x n ) arctan(x) = x x3 3 + x ( 1)k x2k+1 2k o(x2k+1 ) Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.20/26

21 (1 + x) 1/3 1 Es. Calcolare il limite: lim sfruttando i polinomi di x 0 sin(x) Taylor. Il limite deve essere calcolato per x 0, quindi posso usare gli sviluppi di MacLaurin. (1 + x) 1/3 = x + 1 3( ) 2 x 2 + o(x 2 ) sin(x) = x x3 3! + o(x3 ) lim x 0 (1 + x) 1/3 1 sin(x) = lim x + x 0 = lim x x + o(x) x o(x) = ( ) 2 x 2 + o(x 2 ) 1 x x3 3! + o(x3 ) Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.21/26

22 Dimostrazione del Teorema Verifico per n = 0 che f(x) T 0 (x) = o(1) per x x 0, o equivalentemente lim x x 0 [f(x) T 0 (x)] = 0. lim [f(x) T 0 (x)] = lim [f(x) f(x 0 )] = 0 x x 0 x x 0 poiché T 0 (x) = f(x 0 ) e f è continua su I. Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.22/26

23 Verifico per n = 1 che f(x) T 1 (x) = o(x x 0 ) per x x 0, o f(x) T 1 (x) equivalentemente lim = 0. x x 0 x x 0 Ricordo che T 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) e che f è derivabile in x 0 : f(x) T 1 (x) lim x x 0 x x 0 = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) x x 0 = = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 x x 0 = = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0 Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.23/26

24 per n = 2, devo verificare che f(x) T 2 (x) = o((x x 0 ) 2 ) per x x 0, f(x) T 2 (x) o equivalentemente lim x x 0 (x x 0 ) 2 = 0. Ricordo che T 2 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 e che f 2 è derivabile 2 volte in x 0 : f(x) T 2 (x) lim x x 0 (x x 0 ) 2 = f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 2 /2 lim = 0 x x 0 (x x 0 ) 2 0 Sono nelle ipotesi di applicare de l Hôpytal: f(x) T 2 (x) (H) f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) lim = lim x x 0 (x x 0 ) 2 x x 0 2(x x 0 ) = 1 [ f (x) f ] (x 0 ) lim f (x 0 ) = 1 2 x x 0 x x 0 2 [f (x 0 ) f (x 0 )] = 0. = Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.24/26

25 Per n > 2 si applica n 1 volte de l Hôpytal e poi si ricorre alla definizione di derivata n-sima. Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.25/26

26 Riferimenti bibliografici: Canuto Tabacco, Cap. 7. Esercizi: Calcolare il Polinomio di Taylor di grado 2 delle seguenti funzioni nell intorno del punto x 0 riportato: 1. f(x) = x, x 0 = 1 2. f(x) = log(x), x 0 = 2 3. f(x) = x log(x), x 0 = 1 4. f(x) = tan(x), x 0 = π/3 5. f(x) = e x2, x 0 = 1 Esercizi: Si possono svolgere tutti i limiti che compaiono nei temi d esame degli anni precedenti. La maggior parte di essi richiede l uso dei polinomi di Taylor. Alcuni limiti richiedono anche l impiego del Teorema di de l Hopytal. Sviluppi di Taylor Cap7.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.26/26