Finora abbiamo considerato una serie potenze, ne abbiamo studiato la convergenza e analizzato le proprietà della somma.

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1 SERIE DI TAYLOR E MacLAURIN Finora abbiamo considerato una serie potenze, ne abbiamo studiato la convergenza e analizzato le proprietà della somma. Adesso ci poniamo il problema inverso : data una funzione f definita nell intorno di un punto x 0,è possibile svilupparla in serie di potenze con centro in x 0? Ci chiediamo cioè se esiste una serie a n (x x 0 ) n tale che: i) la serie ha raggio > 0(cioè converge in Λ {x 0 }); ii) f coincide con la somma della serie in un qualche intorno di x 0. Abbiamo già visto che in certi casi è possibile: ad esempio 1 1 x = e x = log (1+x) = arctan x = x n n=1 x n, x ( 1, 1), x R n 1 xn ( 1), x ( 1, 1] n ( 1) n x2n+1, x [ 1, 1]. 2n +1 Tali esempi giustificano anche il carattere locale della richiesta (ii) di sviluppabilità: la coincidenza può valere in un intervallo più piccolo di dom f (e del Λ della serie).

2 Il problema ha già anche altri connotati precisi: per derivazione termine e termine delle serie di potenze, la richiesta (ii) implica che: f deve essere di classe C nell intorno di x 0 ; lo sviluppo di f deve essere la serie di Taylor di f con centro in x 0 (McLaurin se x 0 = 0): Tale serie esiste se f è C nell intorno di x 0, ma rimangono le questioni: ha raggio > 0? la sua somma coincide localmente con f? La risposta ad entrambe le domande può essere negativa. Tutto ciò giustifica la seguente: Definizione. Una funzione f di classe C nell intorno di x 0 R èdettaanalitica in x 0,osviluppabile in serie di Taylor in x 0 ( MacLaurin se x 0 =0), se I δ (x 0 ), x I δ (x 0 ), f (x) = Il più ampio intervallo contenente x 0 in cui vale l uguaglianza è detto intervallo di sviluppabilità (di f in x 0 ). I polinomi sono ovviamente analitici in ogni x 0 R. La somma di una serie di potenze è analitica nel centro della serie. Abbiamo anche già dimostrato che log(1 + x), arctan x, sinhx, cosh x e altre funzioni sono analitiche in x 0 =0. può esserepiù piccolo di dom f e del Λ della serie di Taylor di f in x 0

3 Teorema (di sviluppabilità). Sia f C nell intorno di x 0 R. Se esistono un intorno I δ (x 0 ), un indice n 0 ed una costante M>0 tali che n n, x I δ (x 0 ), f (n) (x) M (2) ( derivate equilimitate definitivamente), allora x I δ (x 0 ), f (x) = Il teorema vale anche sostituendo la (2) con le condizioni seguenti, via via più generali: n n, x I δ (x 0 ), f (n) (x) M n n n, x I δ (x 0 ), f (n) (x) M δ n. Dimostrazione. Consideriamo il polinomio di Taylor di f in x 0 T N (x) = N (x x 0 ) n con ordine N n 0. Dobbiamo dimostrare che x I δ (x 0 ) (fissato), lim f (x) T N (x) =0. N Per la formula di Taylor-Lagrange, si ha x I δ (x 0 ), f (x) T N (x) = f (N+1) (ξ) (N +1)! (x x 0) N+1 con ξ opportuno tra x e x 0, quindi ξ (x 0 δ, x 0 + δ). Allora f (x) T N (x) = f (N+1) (ξ) x x 0 N+1 (N +1)! da cui segue la tesi, perché x x lim 0 N+1 N (N+1)! M x x 0 N+1 (N +1)! =0.,

4 Esempio notevole (sviluppo di e x su R). Mostriamo che e x è analitica in ogni x 0 R, con sviluppabilità su tutto R. Sia f(x) =e x. Fissiamo δ>0 qualunque. Si ha n 0, x (x 0 δ, x 0 + δ), = e x 0 <e x0+δ (= M) e quindi risulta f (x) = e x 0 (x x 0) n per ogni x I δ (x 0 ). Data l arbitrarietà di δ, l uguaglianza vale per ogni x R. Per x 0 = 0, si ottiene lo sviluppo di MacLaurin notevole: e x = x n, x R. Esempio notevole (sviluppi di sin x e cos x su R). Mostriamo che sin x ecosx sono analitiche in ogni x 0 R, con sviluppabilità sututtor. Sia f(x) = sin x o f(x) =cosx. Fissiamo δ>0 qualunque. Si ha n 0, x I δ (x 0 ), 1 f e quindi risulta f (x) = (n) (x 0 ) (x x 0 ) n per ogni x I δ (x 0 ). Data l arbitrarietà diδ, l uguaglianza vale per ogni x R. Per x 0 = 0, si ottengono gli sviluppi di MacLaurin notevoli: sin x = ( 1) n x2n+1 (2n + 1)!, cos x = ( 1) n x2n (2n)!, x R.

5 Concludiamo segnalando un paio di altri sviluppi notevoli: α R, con un ragionamento di derivazione termine a termine che non approfondiamo, si ottiene (1 + x) α = ( α ) x n, x ( 1, 1) n dove si pone ( ) ( ) α 0 := 1 e α n := α(α 1) (α n+1) se n 1 integrando termine a termine lo sviluppo di sin x x, si ottiene lo sviluppo del seno integrale (non esprimibile elementarmente): x sin t ( 1) n Si (x) := dt = 0 t (2n + 1)!(2n +1) x2n+1, x R. gli estremi risultano inclusi per certi valori non interi di α; inoltre l intervallo di sviluppabilità ètuttor se α N, in quanto la serie si riduce ad un polinomio (binomio di Newton)