Esercitazione n 2. 1 dx = lim e x + e x ω. t dt t=ex = [arctan t]eω 1 = arctan(e ω ) arctan 1. (1 + x) dx = ε ε.

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1 Esercitazione n Integrali impropri Esercizio : Calcolare d. e +e Sol.: Dalla definizione di integrale improprio Allora e + e Dunque e + e ω e e ω e + d e + e t + dt t=e = arctan t]eω = arctane ω arctan e + e ω arctaneω arctan = π arctan = π 4 Esercizio : Calcolare + d. Sol.: Spezziamo l integrale in due parti: + + d + Integriamo separatamente i due termini. Si ha + ] da cui Analogamente = log log log + + d log + + log + ] + = log + log log + + log + log log + = log + + log ω ω + log + log + ω + ω +

2 da cui log ω ω + log + log = log + ω ω + ω + Ne segue che l integrale converge e che log + log = + Esercizio 3: Studiare la convergenza di α log n d al variare del parametro α R ed eventualmente calcolarne il valore. Sol.: Si ha convergenza se e solo se α >. Infatti integrando per parti si ha α log n α+ logn α+ log n+ ] α + α log n+ d n + n + Ora α+ log n+ n + vale se α + >, mentre per α vale + o a seconda della parità di n. Dunque per α non si può avere convergenza. Per α > mostriamo la convergenza e calcoliamo per induzione su n N il valore dell integrale Si ha Inoltre α+ I = α + I n = ] I n := α log n α+ log n+ = n + ] α log n d ] α α+ α + α + α + n + α+ logn = α + α log n+ α + n + I n+ Per ricorrenza si ottiene quindi che I n+ converge se e solo se I n converge dunque in particolare se I converge e che I n+ = n+ n +! α + n+ Esercizio 4: Studiare la convergenza di d ed eventualmente calcolare il valore. Sol.: Spezziamo in due parti l integrale: d + d + d

3 Per il primo termine poniamo t =. Allora = t da cui tdt. Pertanto t t 4 + t tdt = = = arctan t + dt = arctan arctan ] = Per il secondo termine poniamo invece t =. Si ottiene t + + t 4 t tdt = = + = log + dt = t + ] t = log + t t + + t = log + L integrale studiato quindi converge ed il suo valore è arctan + log Esercizio 5: Studiare la convergenza di log + d. Sol.: Dobbiamo studiare l integrabilità della funzione all infinito. Poiché log + y y y = ponendo y = si ha che log + è infinitesimo dello stesso ordine di. Pertanto log + è infinitesima di ordine pari a quello di ed è quindi integrabile. Esercizio 6: Studiare la convergenza di sin d. + Sol.: Mostriamo che l integrale converge assolutamente, quindi converge. sin + d sin + d + π 3

4 Esercizio 7: Studiare la convergenza di π/ tan d. π/ Sol.: Dobbiamo studiare separatamente l integrabilità della funzione in = π e = π. Spezziamo dunque l integrale in due parti: π/ π/ tan π/ tan d + π/ tan d Si ha Poiché tan sin cos logcos ]ω = logcos ω logcos ω = + ω π ed inoltre tan = tan l integrale non esiste, dato che si avrebbe π/ tan tan d + π/ π/ π/ tan + Esercizio 8: Studiare la convergenza di + Sol.: Osserviamo che ponendo f = + + α + α + α d. + + d + α si ha f = f, dunque + + α + α d Poiché f per è infinitesima di ordine α l integrale converge se α > ossia α > 3. Esercizio 9: Stabilire la covergenza di α e d per α. Sol.: Essendo α vicino al punto = non abbiamo problemi di integrabilità, dunque dobbiamo soltanto verificare se la funzione è integrabile per. Confrontiamo la funzione integranda con l infinitesimo campione. La funzione e per va all infinito più velocemente di qualunque potenza di. Dunque α e = α e α β = β α per ogni β. E sufficiente quindi scegliere β tale che β α > per avere l integrabilità per. Pertanto è convergente. α e d Esercizio : Studiare la convergenza di sin α d α >. 4

5 Sol.: Osserviamo anzitutto che, essendo la funzione integrabile in, basta studiare la convergenza di π/ /α sin α d Applichiamo la sostituzione t = α. Allora dt = α α d, da cui π/ /α sin α Con un integrazione per parti troviamo sin t cos t dt = αt /α π/ Ora, per α > si ha αt /α ] ω = cos ω αω /α ω π/ π/ π/ sin t dt αt /α π/ cos ω αω /α = D altra parte si ha anche cos t t /α la quale è integrabile poiché /α <. Altri esercizi svolti t /α Esercizio : Studiare la convergenza di sin d. Sol.: Abbiamo da cui Quindi sin sin cos ] ω + sin ω e l integrale cercato non converge. Esercizio : Studiare la convergenza di e /α cos t α t /α dt = /α cos t αt /α dt cos ω sin ω cos ω sin ω sin ω cos ω sin d ω sin ω cos ω = ω ω sin ω = + d. Sol.: Verifichiamo direttamente che l integrale non converge. Consideriamo dunque e log]ω e = loglog ω 5

6 per ω. Notiamo inoltre che la funzione integranda è infinitesima di ordine superiore ad, poiché / = = ma non esiste alcuna potenza α maggiore di di per cui si possa dire che la funzione è infintesima di ordine α dal momento che per ogni α. / = α α = 6