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1 Esercizio 35 File scaricato da Calcolare: 3 ) 3 + Risulta: 3 ) 3 = + La forma indeterminata può essere rimossa determinando un fattore razionalizzante. In generale, se il fattore razionalizzante è: Per f ) = 3 3 r ) = f ) = N p ) ± N q ), N k= ) k+ N p ) N k q ) k r ) = 3 k= +) k+ N ) 3 k ) k = 3 ) + 3 ) Da ciò segue: 3 ) 3 = + + = + = ) [ 3 ) + 3 ) + 3 ] 4 3 = + ) + 0+ ) = + ) = 3 ) + 3 ) ) + 3 ) ) + 3 )

2 Esercizio 37 Calcolare + 4 ) 4 + Abbiamo: + 4 ) 4 + = +, ) cioè il ite si presenta nella forma indeterminata. In questo caso l indeterminazione si rimuove moltiplicando e dividendo per un fattore razionalizzante r ), che in generale si scrive: r ) = N ) p k+ N ) N k q ) k, per f ) = N p ) ± N q ) ) k= Per poter applicare la ), scriviamo nella ) = 4 4 prendiamo la radice con il segno poichè nel calcolo del ite è ). Quindi: f ) = = ) Con la f ) scritta come in 3) possiamo applicare la ) per ottenere r ): r ) = ) ) ) + 4 4) Abbiamo: Sviluppiamo f )r ): f )r ) f ) = r ) 5) f )r ) = Quindi: ) [ ) ) ) + 4 ] = ) ) f ) = r ) = r ) = r ) 6)

3 Ma per cui: r ) = +, f ) = r ) = + = 0+ 7) Esercizio 43 Determinare l ordine dei seguenti infinitesimi per 0):. f ) = f ) = n + n per 0 + ) 3. f ) = n n 3 per 0 + ) 4. f ) = sin tan. Assumiamo in tutti gli esercizi, la funzione u ) = come infinitesimo di riferimento. f ) u ) α = 0 4 α + Quindi f ) è un infinitesimo di ordine α =.. f ) = n + n R {0} α = + n + n α = + = + n + n αn n αn + n αn R {0} α = n Quindi f ) è un infinitesimo di ordine α = n. Alternativamente: + n + n α = + + /n ) /n α 8) Ma nella 8) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a /n, per cui ) + /n /n /n = R {0} α = 9) + α + α n Inoltre gli infinitesimi n + n e n sono equivalenti, giacchè il ite 9) vale : n + n n 0) 3

4 3. f ) = n n 3 + n n 3 α n = αn n ) 3 αn R {0} α = + n Quindi f ) è un infinitesimo di ordine α = n. Alternativamente: + n n 3 α = + /n 3/n α ) Ma 3/n è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a /n, per cui /n 3/n + α /n = + α R {0} α = n Inoltre gli infinitesimi n n 3 e n sono equivalenti, giacchè il ite vale : n n 3 n ) 4. f ) = sin tan Esercizio 07 Calcolare il ite: sin tan α sin cos ) = α cos sin = cos cos α R {0} α = α = 3 ) Abbiamo: + cos π) + + cos π) + = + cos π) ) = 0 0 π sin π = = π = 0 0 = π 4 ) sin π = π cosπ

5 Esercizio 08 Calcolare il seguente ite: cos ) Il ite si presenta nella forma indeterminata : Calcoliamo il logaritmo del ite: cos ) = [ ] ln cos ) = ln cos ) ln cos) = Abbiamo quindi ricondotto la forma indeterminata alla forma indeterminata 0 0. Possiamo perciò applicare la regola di De L ospital: = 0 0 Perciò: Si conclude che: ln cos) = sin ) cos [ ] ln cos) = = tan = cos ) = e Esercizio 0 Calcolare il seguente ite: arctan arcsin 5

6 Il ite si presenta nella forma indeterminata 0 0 : arctan arcsin = 0 0 Possiamo perciò applicare la regola di De L ospital: Esercizio arctan = arcsin = = ) 4 ) + 4 = Calcolare il seguente ite: sin ) Il ite si presenta nella forma indeterminata : sin ) = Possiamo perciò applicare la regola di De L ospital: sin ) = = = = sin sin + sin = 0 0 cos sin + 4 sin [ + ] cos cos 4 ) sin ) + sin = 3 ) + sin ) + cos 6

7 Esercizio 5 Studiare il comportamento della funzione: f ) = + tan + tan e π ), 3) in un intorno del punto = π. Determiniamo il ite sinistro e destro in tale punto. f ) = 0 π + = π + = π + = 4 = 4 e π + tan + tan ) / e π + tan + tan ) 3/ + tan cos cos e π cos 3 + tan + tan ) 3/ π + π + Calcoliamo a parte i due iti: e π cos + sin cos + sin ) [ cos3 + tan + tan ) 3/ π + ) ] e π π + cos + sin = 4) cos3 + tan + tan ) 3/ π + = 0 = cos3 π + = π + cos 3 cos 3 ) 3/ sin + cos sin + ) 3/ = ) π + sin + = ) 3/ 5) Per cui: 7

8 Passiamo al ite per π : f ) = 6) π + Eseguiamo il cambio di variabile: y = tan f ) = 0 π cioè: f ) = π + y + y e π arctan ) 7) y + = y + = y + = 4 = 4, e π arctan + y + y ) / = 0 0 +y e π arctan + y + y ) 3/ + y) ) [ y + eπ arctan y + + y + y ) 3/ + y ) + y) ] Si conclude che = π f ) = 8) π è un punto di discontinuità di prima specie della funzione f ). y Π 8

9 Esercizio 6 Verificare l inapplicabilità della regola di De L ospital nel calcolo del ite: sin sin Il ite si presenta nella forma indeterminata 0 0 : sin sin = 0 0 Se applichiamo la regola di De L ospital: sin sin = cos sin cos ci ritroviamo con il cacolo del ite: cos, che ovviamente non esiste, per cui in tal caso la regola è inapplicabile. Tuttavia, il ite esiste. Infatti: sin sin = sin sin ) = 0 = 0, poichè è sin = 0. Esercizio 7 Verificare l inapplicabilità della regola di De L ospital nel calcolo del ite: sin + + sin Osserviamo che + sin, nè tantomeno è possibile applicare la regola di De L ospital, in quanto produrrebbe funzioni trigonometriche a numeratore e denominatore e come tali non regolari all infinito. Tuttavia, il ite esiste. Infatti: poichè è + sin = 0. sin + + sin = sin + + sin 9, = =,

10 Esercizio 8 Calcolare il ite: senza applicare la regola di De L ospital. Esercizio 9 Calcolare il ite: 3 + tan sin + tan = 0 0 = π senza applicare la regola di De L ospital. 3 + tan sin + tan, + sin 3 + tan + tan sin sin ), 3 cos = = 4, Quindi: π sin sin ) 3 cos π = 0 0 = π sin cos = π sin 3 π sin cos = 3 π sin sin ) + sin) = sin cos, π sin sin ) 3 cos = 3 Esercizio 0 Calcolare il ite: ln + π 4 arctan), sin ) 0

11 Il ite si presenta nella forma indeterminata 0 0 : Applicando la regola di De L ospital: ln + π 4 arctan) sin ) = 0 0 ln + π 4 arctan) sin ) = 4 Esercizio = 4 = + π 4 arctan Determinare le singolarità della funzione: = ) +π 4 arctan 4) + cos ) + ) cos ) f ) = e/ e / +, 9) La funzione è definita in X = R {0}. Determiniamo il ite sinistro e destro in 0 = 0: e + f ) = + + e + + = = e / e = + + e / + e = = 0) e f ) = + e + = = Si conclude che 0 è un punto di discontinuità di prima specie della funzione f ). Esercizio 30 Studiare il comportamento per 0 della funzione: f ) = sin )

12 y 0 0 La funzione è definita in X = R {0}, ed è manifestamente dispari: f ) = f ). Inoltre è itata su tutto R: sin. Gli zeri sono: Inoltre: f ) = 0 = kπ = π, π, 3π,..., kπ, con k Z f ) = = π + kπ = π, 5π, 9π,..., π + 4kπ, f ) = 0 = 3 π + kπ = 3π, 7π, π,..., 3π + 4kπ, con k Z con k Z Osserviamo che i punti k =, kπ k =, π+4kπ k = si addensano intorno a = 0 al 3π+4kπ crescere indefinito di k), per cui in ogni intorno di = 0, la funzione assume i valori 0,,. Pertanto non può essere verificata la definizione di ite, che in questo caso è: ε > 0, δ ε > 0 0 < < δ ε = f ) l < ε ) In altri termini, l tale che lo scarto f ) l può essere reso arbitrariamente piccolo. Si conclude che la funzione ) non è regolare in = 0. Per quanto riguarda il diagramma cartesiano, osserviamo che in ogni intorno di = 0, la funzione compie infinite oscillazioni, per cui non è possibile completare il grafico intorno a = 0, come mostrato in fig.. Osserviamo infine che all infinito la funzione è infinitesima, avendosi:

13 y Π Π Π Π Π Π Figure : Grafico di f ) = sin sin + = sin t = 0+ + t 0 sin = sin t = 0 t 0 Esercizio 3 Studiare il comportamento per 0 della funzione: f ) = sin 3) La funzione è definita in X = R {0}, ed è manifestamente pari: f ) = f ). Inoltre : X, sin 4) Dalla 4) applicando la definizione di ite: sin = 0, 5) per cui la funzione è convergente in = 0. Sempre per la 4) si ha che il diagramma cartesiano è contenuto nella regione del piano y: R = {,y) R < < +, < y < } Il diagramma cartesiano interseca infinite volte le rette y = e y =. Infatti: 3

14 f ) = k = π + 4k), k Z f ) = k = π 3 + 4k), k Z Gli zeri sono: f ) = 0 = kπ = π, π, 3π,..., kπ, con k Z Come nel caso di sin anche qui la funzione compie infinite oscillazioni intorno al punto = 0, con la differenza che le oscillazioni si smorzano per 0. Il diagramma è riportato in fig.. y y y Π 3Π 3Π Π Π Figure : Diagramma cartesiano di f ) = sin Osserviamo infine che all infinito la funzione converge a, avendosi: Esercizio 3 sin + = sin t t 0 + t sin = sin t t 0 t = = Calcolare il ite: e + ln ) tan 6) 4

15 Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 0 0 : e + ln ) tan per cui possiamo applicare la regola di De L ospital: e + ln ) tan = [ cot e ) = Calcoliamo a parte il secondo ite: e ) tan Dall equazione precedente si ricava: Esercizio 33 = 0 0, e + = 7) cos ] = 0 8) cos e ) 9) tan = 0 e ) e = 0 tan cos = ) e tan cos e + ln ) tan = = Calcolare il ite: e + ln ) tan Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 0 0 : 30) e + ln ) tan per cui possiamo applicare la regola di De L ospital: e + ln ) tan = [ cot e ) = = 0 0, e + = 3) cos ] = 0 3) cos e ) 33) tan 5

16 Calcoliamo a parte il secondo ite: e ) tan Dall equazione precedente si ricava: Esercizio 33 = 0 e ) e = 0 tan cos = ) e tan cos e + ln ) tan = = Calcolare il ite: ln + e ) ) Il rapporto si presenta nella forma indeterminata : ln + e ) + + per cui possiamo applicare la regola di De L ospital: =, Esercizio 34 ln + e ) + + = + = + e +e + + e + = = 35) Calcolare il ite: arcsin ln 36) + Il prodotto si presenta nella forma indeterminata 0 : arcsin ln = 0 + 6

17 Per applicare la regola di De L ospital dobbiamo ricondurre la forma indeterminata 0 a una delle due forme 0,. Ad esempio: 0 ln arcsin ln = + + arcsin) = = + = + arcsin ) arcsin ) arcsin 37) 38) = 0 = 0 39) Esercizio 35 Calcolare il ite: [ file scaricato da ] ) cot La differenza si presenta nella forma indeterminata : ) cot = Tale forma indeterminata può essere rimossa applicando la regola di De L ospital, dopo aver ricondotto la forma alla 0 0 : ) cot = cos ) = 40) sin sin cos = = 0 sin 0 = = sin sin + cos sin + cos sin = 0 + = 0 Esercizio 36 Calcolare il ite: ln tan π ln π 7

18 La differenza si presenta nella forma indeterminata : ln tan π ln π =, per cui possiamo applicare la regola di De L ospital: π = π = π = π ln tan ln π ln tan ln π ) tan cos π π sin = 0 0 Eseguiamo il cambio di variabile t = π = sin = sin t + π) = sin t Si conclude che: π π sin = t t 0 sin t = ln tan π ln π = Esercizio 37 Calcolare il ite: ) cot La differenza si presenta nella forma indeterminata : ) cot =, Per poter applicare la regola di De L ospital, riconduciamo la forma alla forma 0 0 : 8

19 Si conclude che: Esercizio 39 Calcolare il ite: ) cot cot = = 0 0 cot + cot = cos sin cos = sin 3 ) = cos sin sin 3 sin = sin 3 cos = 3 sin cos = 4 cos ) 3 sin cos = 3 ) cot = 3 cos ) sin La differenza si presenta nella forma indeterminata : cos ) =, Per poter applicare la regola di De L ospital, riconduciamo la forma alla forma 0 0 : 9

20 Si conclude che: cos ) + cos = = 0 cos ) 0 sin = cos + sin = 0 0 = = = cos cos + 4 sin + cos cos cos + 4 sin = 6 + cos cos ) = 6 Esercizio 40 Calcolare il ite: Qui abbiamo la forma indeterminata 0 0 : sin Scriviamo: sin = 0 0, sin = Quindi calcoliamo a parte il ite: e ln sin = e ln sin ln sin = sin ln Distinguiamo i casi: 0 +, 0 : ln sin = sin ln = ln = + sin ) sin = + cos = 0 0

21 Quindi: Per 0 : sin = e 0 = 4) + ln sin = sin ln ) = 0 ln ) = + sin ) sin = + cos = 0 + Quindi: Dalle 4)-4) segue: sin = e 0+ = + 4) sin = Esercizio 4 Calcolare il ite: e e + e Qui abbiamo la forma indeterminata : e e + e =, Eseguiamo il cambio di variabile y = e, per cui: Alternativamente: e e + e = e y y + y = + e e + e = ) e e = e + = + +

22 Esercizio 4 Calcolare il ite: + ln ) + π arctan Qui abbiamo la forma indeterminata 0: 0 ln ) + + π arctan = 0 0, Applichiamo la regola di De L ospital: + ln ) + π arctan = + = ) = ) + + Esercizio 43 Calcolare il ite: sin a) a sin b) b Qui abbiamo la forma indeterminata 0 0 : Applichiamo la regola di De L ospital: sin a) a sin b) b = 0 0, Quindi: sin a) a sin b) b = 0 0 = a cos a) a b cos b) b a sin a) = b sin b) = a3 b 3 sina) a sinb) b = a3 b 3 sin a) a sin b) b = a3 b 3

23 Esercizio 44 Calcolare il ite: ln + ) cos Qui abbiamo la forma indeterminata 0 0 : Dividiamo numeratore e denominatore per Calcoliamo separamente i due iti: ln + ) cos = 0 0, ln + ) cos = ln+) cos donde: ln + ) = + = cos =, ln + ) cos = Esercizio 45 Calcolare il ite: [ file scaricato da ] π 4 arctan Qui abbiamo la forma indeterminata 0 0 : Applichiamo la regola di De L ospital: π 4 arctan = 0 0, 3

24 π 4 arctan = = + + ) = 0 Quindi: π 4 arctan = 0 4

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