Infinitesimi ed infiniti

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1 Matematica Open Source Quaderni di Analisi Matematica 07 Infinitesimi ed infiniti Marcello Colozzo y y 4 y cos y sin Π Π Π Π

2 INDICE Indice Definizioni Infinitesimi confrontabili. Il concetto di ordine 3 Infiniti confrontabili. Il concetto di ordine 6 4 Principio di sostituzione degli infinitesimi [infiniti] 0 5 Infinitesimi ed infiniti non dotati di ordine 4 5. Ordine indeterminato Scala di infiniti di ordine indeterminato Scala di infinitesimi di ordine indeterminato Parte principale di un infinitesimo 3 7 Parte principale di un infinito 7 8 Proprietà e teoremi 3 9 Calcolo di iti con il Principio di sostituzione degli infinitesimi [infiniti]

3 INFINITESIMI CONFRONTABILI. IL CONCETTO DI ORDINE Definizioni Sia f una funzione reale di una variabile reale definita in X R: f : X R () Se 0 è un punto di accumulazione per X, sussistono le seguenti definizioni: Definizione f è un infinitesimo in 0 (o per 0 ) se Definizione f è un infinito in 0 (o per 0 ) se Alcuni esempi di infinitesimi: f () = 0 () 0 f () = + (3) 0 Esempio 3 La funzione f () = sin è un infinitesimo negli infiniti punti k = kπ, (k Z) (4) Esempio 4 La funzione f () = sin non è definita in = 0, tuttavia: 0 sin = 0, (5) per cui sin è un infinitesimo nel predetto punto. Esempio 5 La funzione f () = / è un infinitesimo per + e per, giacché: Alcuni esempi di infiniti: f () = 0 (6) ± Esempio 6 La funzione f () = csc è un infinito negli infiniti punti (4). Esempio 7 La funzione f () = / è un infinito in = 0. Infinitesimi confrontabili. Il concetto di ordine Se 0 è un qualunque punto di accumulazione per X R, resta definito l insieme { I( 0 ) = f : X R 0 f () = 0 I δ ( 0 ) = ( 0 δ, 0 +δ) X I δ ( 0 ) { 0 } = f () = 0 }, (7) che si identifica con la classe degli infinitesimi in 0 non definitivamente nulli intorno a tale punto. Ciò premesso, comunque prendiamo f,g I( 0 ) il confronto tra f e g si realizza calcolando il ite del rapporto f/g: f () 0 g() = 0 (8) 0 Si presentano i seguenti casi:

4 INFINITESIMI CONFRONTABILI. IL CONCETTO DI ORDINE. Il rapporto è un infinitesimo: f () 0 g() = 0 (9) Significa che f () tende a zero più rapidamente di g(). Diremo allora che f () è un infinitesimo di ordine superiore a g().. Il rapporto è un infinito: f () 0 g() = ± (0) Significa che g() tende a zero più rapidamente di g(). Diremo allora che f () è un infinitesimo di ordine inferiore a g(). 3. Il rapporto converge a un ite non nullo: f () 0 g() = l R {0} () Significa che f () e g() tendono a zero con la medesima rapidità. Diremo allora che f () e g() sono infinitesimi dello stesso ordine. Se l = gli infinitesimi si dicono equivalenti e si scrive: f g, ( 0 ) () 4. Il rapporto è non regolare Esempio 8 Siano elementi di I(0). Abbiamo: e tale ite non esiste. 0 f () g() f () = sin, g() =, f () 0 g() = sin 0 (3) In casi come questi spostiamo la nostra attenzione sul rapporto f () / g(), calcolando: per cui si presenta uno dei seguenti sottocasi: f () 0 g(), (4) 4a. 4b. Qui f () e g() sono infinitesimi dello stesso ordine. f () 0 g() = λ > 0 (5) f () 0 g() e diremo che f () è un infinitesimo di ordine inferiore a g(). = + (6) 3

5 INFINITESIMI CONFRONTABILI. IL CONCETTO DI ORDINE 4c. Il rapporto f () / g() è non regolare 0 f () g(), (7) ma è definitivamente itato tra ε,ε > ε > 0 intorno a 0. Cioè ε,ε > 0 δ ε,ε > 0 X ( 0 δ ε,ε, 0 +δ ε,ε ) { 0 } (8) = ε f () g() ε In tale circostanza diremo che f () e g() sono infinitesimi dello stesso ordine. In tutti i casi esaminati gli infinitesimi assegnati si dicono confrontabili. Viceversa, si dicono non confrontabilisesiverificalanegazionedella(8)i.e. ilrapporto f () / g() nonèdefinitivamente itato intorno a 0 : Fa eccezione il seguente caso: ε,ε > 0 δ ε,ε > 0 X ( 0 δ ε,ε, 0 +δ ε,ε ) { 0 } (9) = ε f () g() ε ε > 0 δ ε > 0 X ( 0 δ ε, 0 +δ ε ) { 0 } = 0 f () g() ε (0) Cioè se il rapporto f () / g() ha, intorno a 0, per estremo inferiore lo zero ed è itato superiormente. In tale circostanza si dice che f () è un infinitesimo di ordine non inferiore a g(). In maniera simile: ε > 0 δ ε > 0 X ( 0 δ ε, 0 +δ ε ) { 0 } = ε f () g() < +, () ovvero il rapporto f () / g() è definitivamente itato inferiormente ma non superiormente. Ne consegue che f () è un infinitesimo di ordine non superiore a g(). Esempio 9 Riprendiamo l esempio 8: *** f () = sin, g() = () Il rapporto è non regolare f () g() = sin (3) Passando ai valori assoluti di singolo infinitesimo, constatiamo che nemmeno ora il rapporto è regolare, giacché: Tuttavia: f () g() = sin (4) 0 sin, R {0} (5) Ne consegue che f () = sin è (in = 0) un infinitesimo di ordine non inferiore a g() =. In fig. riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di = 0. 4

6 INFINITESIMI CONFRONTABILI. IL CONCETTO DI ORDINE 0.0 y y g 0.05 y f Figura : Grafico delle funzioni f () = sin e g() = entrambe infinitesime per 0. Il rapporto f() è itato tra 0 e, per cui f () è di ordine non inferiore a g(). g() Esempio 0 Siano f () = sin, g() = sin (6) Si tratta di infinitesimi in = 0. Il primo ite è ben noto: sin 0 = 0 (7) Il secondo è meno immediato, ma facilmente dimostrabile applicando il teorema??: Confrontiamo i due infinitesimi eseguendo il rapporto: 0 sin = 0 (8) f () g() = sin, (9) che è manifestamente non regolare in = 0. Altrettanto non regolare è il rapporto dei valori assoluti di singolo infinitesimo: f () g() = sin (30) Ma sin < +, R {0} (3) Ne consegue che f () = sin è (in = 0) un infinitesimo di ordine non superiore a g() = sin. In fig. riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di = 0. Un esempio immediato per ciò che riguarda la confrontabilità di infinitesimi è offerto dalla coppia di iti fondamentali: sin cos =, =

7 3 INFINITI CONFRONTABILI. IL CONCETTO DI ORDINE y y g y f 0.05 Figura : Grafico delle funzioni f () = sin e g() = sin entrambe infinitesime per 0. Il rapporto f() è itato inferiormente ma non superiormente, per cui f () è di ordine non superiore g() a g(). Ne consegue che sin e sono (per 0) infinitesimi dello stesso ordine. Per quanto precede sin e sono infinitesimi equivalenti: sin ( 0), (3) mentre cos è un infinitesimo di ordine superiore a. Tali risultati hanno una notevole interpretazione geometrica che può essere dedotta dall esame della fig. 3. Dal momento che sin è la lunghezza della corda PP sottesa dall arco di estremi P e P (la cui lunghezza è ), si ha che per 0 la lunghezza della corda è un infinitesimo dello stesso ordine della lunghezza dell arco. Diversamente, cos è la lunghezza della freccia QA dell arco di estremi P e P e per quanto precede, è un infinitesimo di ordine superiore a (per 0). In parole povere, mentre la lunghezza della corda tende a zero con la stessa rapidità con cui si annulla la lunghezza dell arco, la lunghezza della freccia va a zero più rapidamente. 3 Infiniti confrontabili. Il concetto di ordine Se 0 è un qualunque punto di accumulazione per X R, resta definito l insieme { } J ( 0 ) = f : X R f () = +, (33) 0 che si identifica con la classe degli infiniti in 0. Ciò premesso, comunque prendiamo f,g J ( 0 ) il confronto tra f e g si realizza calcolando il ite del rapporto f/g: f () 0 g() = (34) Si presentano i seguenti casi: 6

8 3 INFINITI CONFRONTABILI. IL CONCETTO DI ORDINE Η M P Q A Ξ P' M' Figura 3: Circonferenza trigonometrica.. Il rapporto è un infinitesimo: f () 0 g() = 0 (35) Significa che g() tende a + più rapidamente di f (). Diremo allora che f () è un infinito di ordine inferiore a g().. Il rapporto è un infinito: f () 0 g() = ± (36) Significa che f () tende + più rapidamente di g(). Diremo allora che f () è un infinito di ordine superiore a g(). 3. Il rapporto converge a un ite non nullo: f () 0 g() = l R {0} (37) Significa che f () e g() tendono a + con la medesima rapidità. Diremo allora che f () e g() sono infiniti dello stesso ordine. 4. Il rapporto è non regolare 0 f () g() (38) 7

9 3 INFINITI CONFRONTABILI. IL CONCETTO DI ORDINE Esempio Siano elementi di J (0). Abbiamo: e tale ite non esiste. f () = sin, g() =, f () 0 g() = 0 sin In casi come questi spostiamo la nostra attenzione sul rapporto f () / g(), calcolando: per cui si presenta uno dei seguenti sottocasi: 4a. 4b. Qui f () e g() sono infiniti dello stesso ordine. f () 0 g(), (39) f () 0 g() = λ > 0 (40) f () 0 g() e diremo che f () è un infinito di ordine superiore a g(). 4c. Il rapporto f () / g() è non regolare ma è definitivamente itato intorno a 0. Più precisamente = + (4) 0 f () g(), (4) ε,ε > 0 δ ε,ε > 0 X ( 0 δ ε,ε, 0 +δ ε,ε ) { 0 } (43) = ε f () g() ε In tale circostanza diremo che f () e g() sono infiniti dello stesso ordine. In tutti i casi esaminati gli infiniti assegnati si dicono confrontabili. Viceversa, si dicono non confrontabilisesiverificalanegazionedella(8)i.e. ilrapporto f () / g() nonèdefinitivamente itato intorno a 0 : Fa eccezione il seguente caso: ε,ε > 0 δ ε,ε > 0 X ( 0 δ ε,ε, 0 +δ ε,ε ) { 0 } (44) = ε f () g() ε ε > 0 δ ε > 0 X ( 0 δ ε, 0 +δ ε ) { 0 } = 0 8 f () g() ε (45)

10 3 INFINITI CONFRONTABILI. IL CONCETTO DI ORDINE Cioè se il rapporto f () / g() ha, intorno a 0, per estremo inferiore lo zero ed è itato superiormente. In tale circostanza si dice che f () è un infinito di ordine non superiore a g(). In maniera simile: ε > 0 δ ε > 0 X ( 0 δ ε, 0 +δ ε ) { 0 } = ε f () g() < +, (46) ovvero il rapporto f () / g() è definitivamente itato inferiormente ma non superiormente. Ne consegue che f () è un infinito di ordine non inferiore a g(). Esempio Riprendiamo l esempio : f () = sin, g() = (47) Il rapporto è non regolare f () g() = sin (48) Passando ai valori assoluti di singolo infinitesimo, constatiamo che nemmeno ora il rapporto è regolare, giacché: f () g() = sin (49) Tuttavia: 0 < sin +, R {0} (50) Ne consegue che f () = ( sin ) è (in = 0) un infinito di ordine non inferiore a g() =. In fig. 4 riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di = 0. y Figura 4: Grafico delle funzioni f () = e g() = entrambe infinite per 0. Il rapporto sin f() non è itato superiormente, per cui f () è di ordine non inferiore a g(). g() 9

11 4 PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI [INFINITI] Esempio 3 Siano dati gli infiniti (per 0): f () = sin, g() = sin (5) Eseguiamo il rapporto: f () g() = sin, (5) che è manifestamente non regolare in = 0. Altrettanto non regolare è il rapporto dei valori assoluti di singolo infinitesimo: f () g() = sin (53) Ma 0 sin <, R {0} (54) Ne consegue che f () = ( sin ) è (in = 0) un infinitesimo di ordine non superiore a g() = ( sin ). In fig. 5 riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di = y Figura 5: Grafico delle funzioni f () = ( sin ) ( e g() = sin ) entrambe infinite per 0. Il rapporto f() è itato tra 0 e, per cui f () è di ordine non superiore a g(). g() 4 Principio di sostituzione degli infinitesimi [infiniti] Dimostriamo il seguente teorema: Teorema 4 (Principio di sostituzione degli infinitesimi) Ipotesi: 0

12 4 PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI [INFINITI]. Siano f () e g() infinitesimi (per 0 ) che ammettono una decomposizione del tipo f () = f ()+f (), g() = g ()+g (), (55) con f (), f (), g (), g () tali che f () è di ordine superiore a f (), e g () è di ordine superiore a g ().. Il rapporto f ()/g() è regolare in 0. Tesi: Il rapporto f ()/g () è regolare in 0 e si ha f () 0 g() = f () 0 g () (56) Dimostrazione. Per ipotesi esiste il ite (finito o infinito): Segue f () 0 g() [ f () 0 g() = f ()+f () 0 g ()+g () = f () 0 f () + = 0 f () f () + f() f () 0 + g () g () f () f () + g () g () ] (57) (58) Per ipotesi f () 0 f () onde l asserto. Da tale teorema segue che nel calcolo del ite = 0, 0 g () g (), f ()+f () 0 g ()+g () è lecito trascurare a numeratore e a denominatore gli infinitesimi di ordine superiore. Per quanto riguarda gli infiniti si dimostra immediatamente il seguente teorema: Teorema 5 (Principio di sostituzione degli infiniti) Ipotesi:. Siano f () e g() infiniti (per 0 ) che ammettono una decomposizione del tipo f () = f ()+f (), g() = g ()+g (), (59) con f (), f (), g (), g () tali che f () è di ordine inferiore a f (), e g () è di ordine inferiore a g ().. Il rapporto f ()/g() è regolare in 0.

13 4 PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI [INFINITI] Tesi: Il rapporto f ()/g () è regolare in 0 e si ha f () 0 g() = f () 0 g () Da tale teorema segue che nel calcolo del ite f ()+f () 0 g ()+g () è lecito trascurare a numeratore e a denominatore gli infiniti di ordine inferiore. (60) *** Per poter quantificare il concetto di ordine di un infinitesimo(o di un infinito) è necessario definire un infinitesimo (o un infinito) di riferimento. Per fissare le idee, iniziamo con gli infinitesimi. Nella classe I( 0 ) di tutti e soli gli infinitesimi in 0, scegliamo ad arbitrio un infinitesimo di riferimento (o infinitesimo campione) u(). La scelta più semplice è { 0, se 0 < + u() =, se 0 = + Osserviamo che comunque prendiamo α > 0, riesce: (6) Cioè Inoltre, per ogni β > 0 [u()] α = 0 α = 0 (6) 0 0 [u()] α I( 0 ), α > 0 (63) [u()] α 0 [u()] = β 0 α β = 0 0, se α > β, se α = β +, se α < β In altri termini, se α > β l infinitesimo [u()] α è di ordine superiore a [u()] β, e viceversa se α < β. Se α = β gli infinitesimi [u()] α e [u()] β sono equivalenti. Ne consegue: Definizione 6 Il numero reale α > 0 si dice ordine dell infinitesimo [u()] α. Ciò premesso, sussiste la seguente definizione: Definizione 7 f () è un infinitesimo dotato di ordine ) (64) def f () α > 0 0 [u()] α = l R {0} (65) Il numero reale α > 0 si dice ordine di f () rispetto all infinitesimo di riferimento u(). In maniera del tutto analoga si definisce l ordine di un infinito f J ( 0 ). Più precisamente, se u() è l infinitesimo di riferimento nella classe I( 0 ), si assume come infinito di riferimento nella classe J ( 0 ), l infinito: v() = { u() =, se 0 0 < + (66), se 0 = + Naturalmente:

14 4 PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI [INFINITI] Definizione 8 f () è un infinito dotato di ordine ) def f () α > 0 0 [v()] α = l R {0} (67) Il numero reale α > 0 si dice ordine di f () rispetto all infinito di riferimento v(). Per quanto visto in precedenza, esempi immediati di infinitesimi confrontabili sono offerti dai iti fondamentali: sin cos =, = 0 0, (68) da cui vediamo che per 0, l infinitesimo sin è del primo ordine rispetto all infinitesimo di riferimento u() =, mentre l infinitesimo cos è del secondo ordine. Graficamente ciò equivale adirecheinunintornodi = 0idiagrammicartesianidisine cospossonoessereapprossimati rispettivamente dalla retta y = e dall arco di parabola y =, come illustrato nelle figg. 6 y 3 y y sin Π Π Π Π 3 Figura 6: In un intorno di = 0 la funzione f () = sin può essere approssimata dalla funzione lineare g() =. Esercizio 9 Determiniamo i valori del parametro reale λ per i quali la funzione f () = arctan cos λ (69) è un infinitesimo (in = 0) del primo ordine rispetto all infinitesimo di riferimento u() =. Soluzione Dobbiamo imporre arctan 0 (cos λ) = l R {0} (70) 3

15 5 INFINITESIMI ED INFINITI NON DOTATI DI ORDINE 0 y y y cos Π Π Π Π Figura 7: In un intorno di = 0 la funzione f () = cos può essere approssimata dalla funzione potenza di esponente reale g() =. Il ite restitusce la forma indeterminata 0/0 per cui applichiamo la regola di De L Hospital: Il ite interessante è il secondo: 0 arctan 0 (cos λ) cos λ sin = Conclusione: deve essere λ =. H = 0 + cos λ sin = 0 (+ )(cos λ sin) = cos λ sin { 0 cos = = sin, se λ = 3 0 = 0, se λ (7) λ 5 Infinitesimi ed infiniti non dotati di ordine Nei paragrafi precedenti abbiamo introdotto la nozione di infinitesimo [infinito] dotato di ordine. Osserviamo ora che non tutti gli infinitesimi [infiniti] sono dotati di ordine. Ad esempio nel caso degli infinitesimi, assegnata la classe I( 0 ) degli infinitesimi in 0 e non definitivamente nulli intorno a tale punto, e l infinitesimo di riferimento: { 0, se 0 < + può accadere u() =, se 0 = +, (7) f () f I( 0 ) 0 [u()] α = 0, α > 0 (73) 4

16 5 INFINITESIMI ED INFINITI NON DOTATI DI ORDINE In tale circostanza diremo che f () è un infinitesimo di ordine infinitamente grande (rispetto a u()). Si badi che f () e u() α sono comunque confrontabili. Pertanto, la confrontabilità è una condizione necessaria ma non sufficiente per l esistenza dell ordine di infinitesimo. Se invece: f () f I( 0 ) 0 [u()] α = ±, α > 0, (74) diremo che f () è un infinitesimo di ordine infinitamente piccolo (rispetto a u()). Esempio 0 Assegnata la funzione si ha f () = e (75) + e = 0 = f I(+ ), (76) essendo I(+ ) la classe degli infinitesimi per +, non identicamente nulli intorno a = +. Assumiamo come infinitesimo di riferimento la funzione: u() =, (77) per cui calcoliamo + e ( α = + ) α e = Applicando ripetutamente la regola di De L Hospital: (78) Cioè α H α α = + e + e = + H α(α ) α = + e e [u()] α = 0, α > 0, onde e è (per + ) un infinitesimo di ordine infinitamente grande. Esempio Assegnata la funzione =... = α! + e = 0 f () = e / (79) riesce = 0 = f I(0) (80) 0 +e / Assumendo come infinitesimo di riferimento u() =, (8) si ha e / = α 0 Eseguendo il cambio di variabile t = / e tenendo conto del risultato dell esempio precedente. (8) e / t α = = 0, α > α t + et Ne concludiamo che la funzione assegnata è un infinitesimo (per 0 + ) di ordine infinitamente grande. La funzione è graficata in fig. 8. 5

17 5 INFINITESIMI ED INFINITI NON DOTATI DI ORDINE y Figura 8: Grafico di f () = e / in un intorno destro di = 0. Per 0 + la funzione si annulla più rapidamente di qualsiasi potenza α. Esempio Sia data la funzione Calcoliamo 0 f () = ln (83) ln = ln(0 + ) = = 0, (84) cosicché f è un infinitesimo in = 0. Per determinare l eventuale ordine assumiamo come infinitesimo di riferimento la seguente funzione: Quindi 0 u() = (85) f () [u()] α = 0 α ln Dal momento che la funzione è pari, itiamoci a calcolare il ite destro: Applicando la regola di De L Hospital: Ne consegue 0 + α ln = 0 + α ln = 0 = α 0 + ln = α 0 + ln H = ( α) α f () [u()] α =, α > 0 (86) (87) = α 0 + = (88) α α>0 Abbiamo così stabilito che la funzione assegnata è un infinitesimo (in = 0) di ordine infinitamente piccolo. Ciò implica che detta funzione si annulla (per 0) meno rapidamente di ogni potenza α. In fig. 9 riportiamo il grafico della funzione in un intorno di = 0. 6

18 5 INFINITESIMI ED INFINITI NON DOTATI DI ORDINE y Figura 9: Grafico di f () = ln in un intorno destro di = 0. Per 0 la funzione si annulla meno rapidamente di qualsiasi potenza α. Definizioni analoghe per quanto riguarda gli infiniti. Precisamente, assegnata la classe J ( 0 ) degli infiniti in 0 e l infinito di riferimento: { v() =, se 0 0 < +, se 0 = +, (89) può accadere f () f J ( 0 ) 0 [v()] α = ±, α > 0 (90) In tale circostanza diremo che f () è un infinito di ordine infinitamente grande (rispetto a v()). Si badi che f () e v() α sono comunque confrontabili. Pertanto, la confrontabilità è una condizione necessaria ma non sufficiente per l esistenza dell ordine di infinito. Se invece: f () f J ( 0 ) 0 [v()] α = 0, α > 0, (9) diremo che f () è un infinito di ordine infinitamente piccolo (rispetto a v()). Esempio 3 Consideriamo la funzione esponenziale: f () = e (9) Segue: + e = + = f J (+ ), (93) essendo J (+ ) la classe degli infiniti per +. Assumiamo come infinito di riferimento la funzione: v() = (94) 7

19 5 INFINITESIMI ED INFINITI NON DOTATI DI ORDINE Quindi calcoliamo + Applicando ripetutamente la regola di De L Hospital: f () e [v()] α = + = α (95) Cioè e = H + α + e α α = + H = + e α(α ) α =... = α! onde e è (per + ) un infinito di ordine infinitamente grande. Esempio 4 Consideriamo la funzione logaritmo: Segue + e = + (96) e [v()] α = 0, α > 0, (97) f () = ln (98) 0 +ln =, ln = + = f J (0) J (+ ) (99) + Determiniamo l eventuale ordine di infinito. Per 0 + assumiamo come infinito di riferimento la funzione Quindi calcoliamo v() = (00) 0 + f () [v()] α = ln 0 + α = H = 0 + ( α) = α α = 0, α > 0 (0) 0 +α Ne consegue che la funzione logaritmo è per 0 + un infinito di ordine infinitamente piccolo. Per + assumiamo come infinito di riferimento la seguente funzione: Quindi calcoliamo + f () ln [w()] α = + = α w() = (0) H = + α α = α + = 0, α > 0 (03) α Da ciò segue che la funzione logaritmo è per 0 + e per + un infinito di ordine infinitamente piccolo. Ciò è simboleggiato in fig. 0. Osservazione 5 Gli esempi?? e 3 si generalizzano nel modo seguente: assegnato λ > 0, le funzioni e λ, e λ (04) sono per +, rispettivamente un infinito di ordine infinitamente grande e un infinitesimo di ordine infinitamente grande. 8

20 5 INFINITESIMI ED INFINITI NON DOTATI DI ORDINE y Figura 0: Per 0 + e per +, la funzione log è un infinito di ordine infinitamente piccolo. 5. Ordine indeterminato Sussiste la seguente definizione Definizione 6 Se u() I( 0 ) è l infinitesimo di riferimento, diremo che f I( 0 ) non ha un ordine determinato, se il rapporto f() α è regolare per ogni α > 0, riuscendo convergente per [u()] alcuni valori di α, divergente per i rimanenti. Esempio 7 Consideriamo la funzione Risulta 0 +ln = 0 = ln 0 + f () = ln (05) = H = 0 + = 0 + = 0, onde f () è un infinitesimo in = 0. Dal momento che 0 +, assumiamo come infinitesimo di riferimento la funzione: u() = (06) Quindi Distinguiamo i casi:. 0 < α < 0 + ln = 0 + α 0 + f () ln [u()] α = (07) 0 + α ln ( α) = H = 0 + ( α) +α = α 0 + = α α = 0, 0 + α onde f () è un infinitesimo di ordine superiore ad α per ogni 0 < α <. 9

21 5 INFINITESIMI ED INFINITI NON DOTATI DI ORDINE. α { ln 0 + = =, se α > α ln =, se α = Cioè f () è un infinito di ordine inferiore a. (08) Ne consegue che ln è un infinitesimo (in = 0) di ordine inferiore a, ma maggiore di un qualunque 0 < α <. Studiamo ora il comportamento per + : ln = +, (09) + onde ln è un infinito per +. Determiniamone l ordine, assumendo come infinito di riferimento la funzione v() = (0) Ciò implica il calcolo del ite Distinguiamo i casi:. 0 < α <. α = 3. α > + + ln α = + f () [v()] α = + ln = α + + H = + ln ln α () + = = + () ( α) 0 + ln = ln = + (3) α + (α ) α = α + = 0 (4) α Ne consegue che ln è un infinito (per + ) di ordine superiore a, ma minore di un qualunque α >. In fig. riportiamo il grafico della funzione. 5. Scala di infiniti di ordine indeterminato In questo numero introduciamo la nozione di scala di infiniti [?]. Per quanto precede, per + la funzione ln è un infinito di ordine indeterminato. Precisamente, è un infinito di ordine superiore a, ma minore di un qualunque α >. Consideriamo ora la seguente funzione f () = ln lnln (5) Risulta ln lnln = + (6) + Al solito, determiniamo l ordine di infinito assumendo come infinito di riferimento la funzione v() =. Pertanto f () ln lnln + [v()] α = (7) + α Per calcolare tale ite distinguiamo i casi: 0

22 5 INFINITESIMI ED INFINITI NON DOTATI DI ORDINE y Figura : Per 0 + la funzione ln è un infinitesimo di ordine inferiore a, ma maggiore di un qualunque 0 < α <. Per + è un infinito di ordine superiore a, ma minore di un qualunque α >.. 0 < α <. α = 3. α > ln lnln + α ln lnln + α Eseguiamo il cambio di variabile t = ln, per cui Segue ln lnln = = + = + (8) + ( α) 0 + = ln lnln = + (9) + = e t = α = e λt, (λ = α > 0) (0) ln lnln + α giacché e λt è un infinito di ordine infinitamente grande. tlnt = = 0, () t + e λt Ne consegue che ln lnln è un infinito (per + ) di ordine superiore a, ma minore di un qualunque α >. È istruttivo confrontare gli infiniti Risulta ln lnln, ln () ln lnln + ln cosicché ln lnln è di ordine superiore a ln. Lo step successivo consiste nel costruire l infinito: = lnln = +, (3) + ln lnln lnlnln, (4)

23 5 INFINITESIMI ED INFINITI NON DOTATI DI ORDINE giungendo ai medesimi risultati precedente. Inoltre: onde è di ordine superiore a ln lnln lnlnln + ln lnln = lnlnln = +, (5) + ln lnln lnlnln (6) ln lnln (7) L iterazione del procedimento restituisce la seguente scala di infiniti di ordine indeterminato: { ln, ln lnln, ln lnln lnlnln,...} (8) Tale insieme è infinito numerabile e ogni suo elemento è un infinito di ordine superiore al precedente. 5.3 Scala di infinitesimi di ordine indeterminato In questo numero introduciamo la nozione di scala di infinitesimi [?]. Premettiamo il teorema: Teorema 8 f () è un infinitesimo (in 0 ) di ordine α rispetto a u() ) ( f() è un infinito di ordine α rispetto a u() (9) Dimostrazione. 0 f () [u()] α = l R {0} 0 f() [u()] α = 0 = f() l R {0}, [u()] α onde l asserto. Consideriamo ora l insieme i cui elementi sono le funzioni reciproche delle funzioni appartenenti alla scala di infiniti (??): { } ln, ln lnln, ln lnln lnlnln,... (30) Per il teorema appena dimostrato si ha che ogni elemento di (30) è un infinitesimo (per + ) di ordine superiore a, ma minore di un qualunque α >. Inoltre: + ln lnln ln = + lnln = 0, che si generalizza a ogni coppia di elementi successivi di (30). Ne consegue che ogni infinitesimo del predetto insieme è di ordine superiore al precedente. Chiamiamo tale insieme scala di infinitesimi di ordine indeterminato.

24 6 PARTE PRINCIPALE DI UN INFINITESIMO 6 Parte principale di un infinitesimo Siano dati gli infinitesimi (in 0 ) f () e g() non identicamente nulli intorno a tale punto. Se f () è di ordine α rispetto a g(): f () 0 [g()] α = l R {0} (3) In tale ipotesi poniamo Riesce ε() def = f () [g()] α l (3) f () ε() = 0 0 [g()] α l = l l = 0, (33) 0 cosicché ε() è un infinitesimo (in 0 ). Da ciò segue che la funzione è un infinitesimo di ordine maggiore di α rispetto a g(). Infatti: Tenendo conto della (3): da cui 0 r() def = ε()[g()] α (34) r() [g()] α = 0 ε() = 0 (35) r() = f () l[g()] α, (36) f () = l[g()] α +r() (37) Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinitesimo. Sussiste la definizione l[g()] α def = ( parte principale dell infinitesimo f () rispetto a g() (38) In particolare se g() è l infinitesimo di riferimento u(), la formula di decomposizione diventa: f () = l[u()] α +r() (39) Proposizione 9 La parte principale di un infinitesimo di ordine α è a sua volta un infinitesimo di ordine α. Dimostrazione. Segue immediatamente dalla definizione di parte principale. Ne consegue che un qualunque infinitesimo di ordine α si decompone nella somma di una parte principale (di ordine α) e di un termine di ordine maggiore di α. In un intorno sufficientemente piccolo di 0 è lecito trascurare il termine di ordine superiore r(). Cioè f () l[u()] α, X ( 0 δ, 0 +δ), (40) essendo X l insieme di definizione della funzione f (). Se f () e u() sono equivalenti, ovvero se f () 0 u() = = α =, l =, (4) 3

25 6 PARTE PRINCIPALE DI UN INFINITESIMO la formula di decomposizione si scrive: onde f () = u()+r(), f () u(), X ( 0 δ, 0 +δ) (4) In tal caso è consuetudine (specie nelle applicazioni) asserire che in un intorno di 0 la funzione f () va come u(). Esempio 30 Consideriamo la funzione ( ) + f () = ln, (43) il cui insieme di definizione è Riesce X = (, ) (0,+ ) (44) ln ( ) + = ln = 0, (45) onde f () è un infinitesimo in =. Ricerchiamone l ordine assumendo come infinitesimo di riferimento la funzione u() = : ( Segue f () [u()] α = ln ) + ( ) α = 0 0 H = α + ( +)( ) α + ( α = l R {0} α = 0 +)( ) Cioè f () è un infinitesimo di ordine. Abbiamo poi: + ( +)( ) α = α= + ( +) = 3, cosicché gli infinitesimi f () e u() non sono equivalenti. L infinitesimo assegnato si decompone in ( ) + ln = 3 ( )+r(), dove r() è un termine di ordine superiore. Inoltre: ( ) + ln 3 ( ), ( δ,+δ) Geometricamente significa che in un intorno del punto del diagramma cartesiano di f (), di ascissa ( δ,+δ), il diagramma medesimo può essere approssimato dalla retta di equazione y = 3 ( ), come illustrato in fig.. 4

26 6 PARTE PRINCIPALE DI UN INFINITESIMO y ( Figura : Per ( δ,+δ) il diagramma cartesiano di f () = ln approssimato dalla retta y = 3 ( ). ) + può essere Esempio 3 Consideriamo la funzione Riesce f () = sin (46) sin = 0, (47) 0 onde f () è un infinitesimo in = 0. Ricerchiamone l ordine assumendo come infinitesimo di riferimento la funzione u() = : 0 f () [u()] α = Quindi f () è un infinitesimo del second ordine. Risulta: per cui la parte principale è sin = l R {0} α = α = (48) 0 α α = = l = 0 sin Pertanto l infinitesimo assegnato si decompone in =, (49) l[u()] α = (50) sin = +r(), (5) ove r() è un infinitesimo di ordine maggiore di. La predetta decomposizione ha un immediata interpretazione geometrica: in un intorno dell origine il diagramma cartesiano della funzione è approssimato dalla parabola y =, come illustrato in fig. 3 Esempio 3 Consideriamo la funzione f () = cos + (5) 5

27 6 PARTE PRINCIPALE DI UN INFINITESIMO y.0.5 y y sin Π Π Π Π Figura 3: Per ( δ,δ) il diagramma cartesiano di f () = sin può essere approssimato dalla parabola y =. Riesce ( cos + ) = 0, (53) 0 onde f () è un infinitesimo in = 0. Ricerchiamone l ordine assumendo come infinitesimo di riferimento la funzione u() = : 0 f () [u()] α = 0 cos + = α(α ) 0 = 0 α 0 cos α Eseguiamo il cambio di variabile t = : 0 H sin+ = 0 0 α α 0 H = 0 cos+ α(α ) α (54) f () [u()] α = α α(α ) cost = l R {0} α = α = 4 t 0 t α Quindi f () è un infinitesimo del quart ordine. Risulta: per cui la parte principale è Pertanto l infinitesimo assegnato si decompone in α = 4 = l = = 3, (55) l[u()] α = 3 4 (56) cos + = 3 4 +r(), (57) ove r() è un infinitesimo di ordine maggiore di 4. La predetta decomposizione ha un immediata interpretazione geometrica: in un intorno dell origine il diagramma cartesiano della funzione è approssimato dalla curva y = 3 4, come illustrato in fig. 4 6

28 7 PARTE PRINCIPALE DI UN INFINITO y.5 y y cos Π Π Figura 4: Per ( δ,δ) il diagramma cartesiano di f () = sin può essere approssimato dalla curva y = 4. 7 Parte principale di un infinito Siano dati gli infiniti (in 0 ) f () e g(). Se f () è di ordine α rispetto a g(): In tale ipotesi poniamo Riesce 0 cosicché ε() è un infinitesimo (in 0 ). Definiamo Quindi Se f () [g()] α = l R {0} (58) ε() def = f () [g()] α l (59) ε() = 0, (60) 0 r() def = ε()[g()] α (6) r() = 0 (6) 0 r() = + (63) 0 segue che r() è un infinito di ordine minore di α (rispetto a g()). Infatti: 0 r() [g()] α = 0 ε() = 0 Tenendo conto della (59): r() = f () l[g()] α, (64) 7

29 7 PARTE PRINCIPALE DI UN INFINITO da cui f () = l[g()] α +r() (65) Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinito. Sussiste la definizione l[g()] α def = ( parte principale dell infinito f () rispetto a g() (66) In particolare se g() è l infinito di riferimento v(), la formula di decomposizione diventa: f () = l[v()] α +r() (67) Proposizione 33 La parte principale di un infinito di ordine α è a sua volta un infinito di ordine α. Dimostrazione. Abbiamo Per la (58): l[v()] α 0 [v()] α = l (68) l R {0}, onde l asserto. Ne consegue che un qualunque infinito di ordine α si decompone nella somma di una parte principale (di ordine α) e di un termine r() che se è un infinito, è di ordine maggiore di α. Se f () e v() sono equivalenti, ovvero se la formula di decomposizione si scrive: f () 0 v() = = α =, l =, (69) f () = v()+r() (70) Esempio 34 Consideriamo la funzione f () = (7) Riesce f () = +, (7) 0 onde f () è un infinito in = 0. Ricerchiamone l ordine assumendo come infinito di riferimento la funzione v() = /. Sfruttando la parità (+) di f () e u() riferiamoci al ite destro: 0 + f () [v()] α = 0 + Cioé f () è un infinito del second ordine. Risulta: per cui la parte principale è α = 0 +α = l R {0} α = (73) α = = l = 0 + =, (74) l[v()] α =, (75) cosicchè la parte principale di f () è la funzione medesima. Ciò implica che il termine r() è la funzione identicamente nulla, come illustrato in fig. 5. 8

30 7 PARTE PRINCIPALE DI UN INFINITO y 0 5 y 0 5 p.p. r 0 Figura 5: La parte principale dell infinito f () = / è la funzione medesima. Esempio 35 Consideriamo la funzione Riesce f () = tan (76) tan = +, (77) π onde f () è un infinito per π. Ricerchiamone l ordine assumendo come infinito di riferimento la funzione v() = π. Abbiamo π f () [v()] α = π ( π ) α cot (78) Anziché applicare la regola di De L Hospital, eseguiamo il cambio di variabile: t = π 0+, π cosicché π Studiamone il comportamento al variare di α: ( π ) α cot t α = t 0 + tant (79) α = = t 0 + α > = t 0 + t α 0 < α < = t 0 + tant = (80) ( ) t α tant = t α t = 0 = 0 t 0 + tant ( ) ( ) t α tant = t α t t = = (+ ) = + t 0 + tant t 0 + t α tant 9

31 7 PARTE PRINCIPALE DI UN INFINITO Ne consegue che deve essere α = i.e. la funzione assegnata è un infinito del primo ordine, riuscendo: f () α = = π [v()] α =, (8) onde f () e u() sono infiniti equivalenti. La parte principale di f () è per cui la decomposizione si scrive l[v()] α = (8), tan = π + }{{} p.p. π ( tan π ) }{{} =r() (83) Segue tan ( π π, δ, π ) L andamento dei vari termini della decomposizione è illustrato in fig. 6. (84) y 4 p.p. Π y tan r tan Π Π 4 Figura 6: In un intorno sinistro di = π principale π. la funzione f () = tan è approssimata dalla sua parte Esempio 36 Consideriamo la funzione f () = π arctan (85) Riesce + π arctan = = + (86)

32 8 PROPRIETÀ E TEOREMI onde f () è un infinito per +. Ricerchiamone l ordine assumendo come infinito di riferimento la funzione v() =. Abbiamo + Eseguiamo il cambio di variabile f () [v()] α = α π arctan = (87) t = π arctan + 0+, (88) da cui ( π ) = tan t = cott, (89) onde + f () (tant) α [v()] α = = l R {0} α = t 0 + t / Ciò implica che f () è un infinito di ordine /. Inoltre (90) α = = l = (9) Quindi la parte principale è Segue r() = f () l[v()] α = che è un infinito di ordine minore di /. Infatti: r() = + / + ( π l[v()] α = (9) π arctan, (93) = 0 (94) arctan) La formula di decomposizione si scrive: π arctan = + }{{} p.p. ( ) π arctan } {{ } r() (95) Quindi π arctan, (δ,+ ) (96) In altri termini, per la funzione va come. Ciò è illustrato in fig Proprietà e teoremi Proposizione 37 Siano f () e f () due infinitesimi equivalenti (per 0 ). Se f k () (k =,) è dotato di parte principale rispetto a g(), si ha che f h k () è dotato di parte principale (rispetto a g()) e le due parti principali coincidono. 3

33 8 PROPRIETÀ E TEOREMI y.4..0 y Π arctan y y Π arctan Figura 7: Decomposizione dell infinito π per +. arctan Dimostrazione. Sia cosicché f () = l [g()] α +r (), (97) 0 Per ipotesi f () e f () sono equivalenti: Segue Pertanto onde l asserto. 0 { f () [g()] α = f () 0 f () Esempio 38 Consideriamo gli infinitesimi in = 0: Tenendo conto del ite fondamentale f () [g()] α = l R {0} (98) f () 0 f () = (99) } f () f () [g()] α = 0 f () 0 f () [g()] α = l (00) f () = l [g()] α +r (), (0) f () = ( cos), f () = (0) segue immediatamente cos = 0, f () 0 f () =, (03) 3

34 8 PROPRIETÀ E TEOREMI onde l equivalenza degli infinitesimi assegnati. Determiniamo la parte principale di f () rispetto all infinitesimo g() = sin. Innanzitutto calcoliamone l ordine: [ ] f () 0 [g()] α = cos cos 0 (sin) α = 0 (sin) α ( cos /α ) α = 0 }{{ } 0 sin =/ = l R {0} α =, cosicché f () è del second ordine rispetto a g(), ed ammette la seguente decomposizione: per cui Per la proposizione precedente: Cioè I vari andamenti sono illustrati in fig. 8. ( cos) = sin +r (), (04) ( cos) sin, ( δ,δ) (05) = sin +r () (06) sin sin, ( δ,δ) (07) y y 4 y cos y sin Π Π Π Π Figura 8: Le funzioni f () = ( cos) e f () = sono infinitesimi equivalenti per 0. Pertanto hanno la stessa parte principale rispetto all infinitesimo g() = sin. Geometricamente significa che i rispettivi grafici tendono a sovrapporsi in un intorno di = 0. *** Per gli infiniti si dimostra una proposizione analoga: 33

35 8 PROPRIETÀ E TEOREMI Proposizione 39 Siano f () e f () due infiniti equivalenti (per 0 ). Se f k () (k =,) è dotato di parte principale rispetto a g(), si ha che f h k () è dotato di parte principale (rispetto a g()) e le due parti principali coincidono. Esempio 40 Consideriamo gli infiniti per + f () = π arctan, f () = (08) Per quanto visto nell esempio 36: f () + f () =, onde l equivalenza degli infiniti assegnati. Determiniamo la parte principale di f () rispetto all infinito Innanzitutto calcoliamone l ordine: + f () [g()] α = + ( +sin g() = +sin cosicché f () è di ordine / rispetto a g(), riuscendo Abbiamo pertanto la decomposizione: ) α π arctan = l R {0} α =, α = = l = (09) π arctan = +sin +r (), (0) con Ciò implica r () = 0 () + π +sin arctan, (δ,+ ) () Per la proposizione precedente: con Cioè = +sin +r (), (3) r () = 0 (4) + +sin, (δ,+ ) (5) I vari andamenti sono illustrati in fig. 9. *** 34

36 8 PROPRIETÀ E TEOREMI y.5 y sin.0 y y Π arctan Figura 9: Le funzioni f () = e f π () = sono infiniti equivalenti per +. arctan Pertanto hanno la stessa parte principale rispetto all infinito g() = +sin. Geometricamente significa che i rispettivi grafici tendono a sovrapporsi in un intorno di +. Proposizione 4 Sianodati f (), f (),...,f n () infinitesimi(in 0 ) di ordinedifferenteα,α,...,α n rispetto a un infinitesimo di riferimento u(). La funzione è un infinitesimo (in 0 ) di ordine f () = n f k () (6) k= α = min{α,α,...,α n } (7) Dimostrazione. La prima parte della proposizione è una conseguenza del teorema sul ite della somma di funzioni: n n f k () = 0 = f () = f k () = f k () = 0, (8) k= k=}{{} =0 per cui f () è un infinitesimo in 0. Per dimostrare la seconda parte poniamo min{α,α,...,α n } = α h, h {,,...,n} Segue Ma 0 0 n f k () n k= [u()] α = h 0 k= { f k () [u()] α = lh R {0}, se k = h h 0, se k h f k () [u()] α h (9), (0) 35

37 8 PROPRIETÀ E TEOREMI giacché f k h () è di ordine maggiore di α h. L equazione precedente può essere inglobata nella delta di Kronecker: {, se k = h δ hk = 0, se k h, () ottenendo Quindi onde l asserto. Siano 0 0 f k () [u()] α h = l kδ hk () f () n [u()] α = l h k δ hk = l h R {0}, k= f () = sin, f () = tan Come è noto, si tratta di infinitesimi di ordine α = e α = rispettivamente. Per la proposizione appena dimostrata si ha che f () = sin+tan è un infinitesimo di ordine α =. La fig. 0 riporta i vari andamenti. y 3 y tan y sin tan y sin Figura 0: Le funzioni f () = sin e f () = tan sono iinfinitesimi in = 0, di ordine rispettivamente e. Pertanto la somma f ()+f () è un infinitesimo di ordine. Si badi che l ipotesi del teorema precedente richiede α k = α k, k,k {,,...,n}, k k (3) In altri termini gli infinitesimi f (),...,f n () hanno tutti ordine diverso. Ciò implica il seguente corollario: Corollario 4 La somma di n infinitesimi dello stesso ordine α è un infinitesimo di ordine non minore di α. 36

38 8 PROPRIETÀ E TEOREMI Dimostrazione. Siano f (),...,f n () infinitesimi in 0, per cui: f k () f k () = 0, 0 0 [u()] α = l k R {0}, (k =,...,n), (4) dove u() è l infinitesimo di riferimento. Posto si ha Ne consegue onde l asserto. 0 f () [u()] α = 0 f () = n f k (), (5) k= n f k () k= [u()] α = n f k () 0 [u()] α = k= n l k 0 = f () è di ordine α k= n l k = 0 = f () è di ordine β > α, k= Esempio 43 Siano dati gli infinitesimi (in = 0) entrambi di ordine α =. Consideriamo la loro somma Calcoliamo f () = ( cos), f () = sin, (6) f () ( cos)+sin = 0 0 = + =, f () = ( cos)+sin (7) n k= l k cos sin = onde f () è dello stesso ordine di f () e f (). Se invece eseguiamo la differenza (8) g() = f () f (), (9) si ha g() cos sin = = 0, per cui f () f () è di ordine maggiore di. Per esplicitare l ordine calcoliamo g() ( cos) sin = = 0 0 β 0 β 0 = 0 H = 0 0 = β(β ) 0 sin β(β ) β H = 0 sin cos β β (30) sin = l R {0} β 3 =, β 3 onde g() è di ordine β = 4. Tali risultati sono graficati in fig.. 37

39 8 PROPRIETÀ E TEOREMI y Π Π Figura : Le curve in tratteggio sono i grafici di f () = ( cos) e f () = sin. La curva in blue è il grafico della somma f () + f (), da cui vediamo che tale funzione è un infinitesimo dello stesso ordine di f e f. La curva in rosso, invece, è il grafico della differenza, e vediamo che si tratta di un infinitesimo di ordine superiore a f e f. Proposizione 44 Assegnate le funzioni f (),...,f n () tali che si ha f k () f k () = 0, 0 0 [u()] α = l k k R {0}, (k =,...,n), (3) f () = n f k () = α = k= n α k, (3) essendo α l ordine di infinitesimo di f (). In altri termini, l ordine del prodotto di n infinitesimi è pari alla somma degli ordini dei singoli fattori. k= Dimostrazione. Abbiamo 0 f () [u()] α = 0 = n n f k () k= [u()] n k= α k 0 k= = 0 n f k () k= n [u()] α k k= f k () [u()] α = n l k k 0, k= (33) onde l asserto. Esempio 45 Siano f () = 3, f () = cos, (34) 38

40 9 CALCOLO DI LIMITI CON IL PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI [INFINITI] per cui rispetto all infinitesimo di riferimento u() =, f () è un infinitesimo (in = 0) di ordine α = 3, mentre f () è un infinitesimo di ordine α =. Per la proposizione precedente, l infinitesimo f () = f ()f () = 3 ( cos) (35) è di ordine α = α +α = 5. 9 Calcolo di iti con il Principio di sostituzione degli infinitesimi [infiniti] Il Principio di sostituzione degli infinitesimi può essere utilizzato nel calcolo di iti di funzioni che presentano indeterminazione. Esempio 46 Calcoliamo 0 arctan 5 +( cos 3 ) ] tan 3 (arcsin)+ [ (+) 5 4 ln(+3) (36) Numeratore e denominatore sono manifestamente infinitesimi in = 0, onde il loro rapporto da luogo alla forma indeterminata 0/0. Determiniamo l ordine dei singoli addendi. A tale scopo osserviamo che tenendo conto del ite fondamentale si ha 5 0 a 0 = 5 t t= t 0 t = lna, (37) = ln5, (38) per cui 5 è del primo ordine rispetto a. Più specificatamente, sussiste l equivalenza tra infinitesimi: 5 ln5 (39) Per quanto riguarda la funzione arctan sappiamo che Perciò Segue arctan 0 = = arctan (40) arctan 5 = t= (arctant) t = 5 ln5 (4) 5 arctan 5 ln5 (4) In altri termini il primo addendo a numeratore è un infinitesimo del secondo ordine. Passiamo al secondo addendo ( cos 3 ) = ( cos) ( +cos+cos ) (43) È chiaro che dobbiamo calcolare l ordine di cos 3 per poi applicare il teorema del prodotto di infinitesimi. Quindi scriviamo cos 3 = ( cos) ( +cos+cos ) (44) 39

41 9 CALCOLO DI LIMITI CON IL PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI [INFINITI] Ossia cos 3 si fattorizza nel prodotto dell infinitesimo cos (del second ordine) per un termine che converge a 3. Perciò cos 3 è del second ordine e il suo quadrato è del quart ordine. Tutto ciò implica che a numeratore possiamo trascurare ( cos 3 ). Passiamo ora al denominatore, il cui primo addendo è tan 3 (arcsin) (45) Cambiamo la variabile in t = arcsin: tan 3 (arcsin) = (tant) 3 Ma tant è del primo ordine = tan 3 (arcsin) è del terzo ordine. Il secondo addendo è apparentemente più complicato [ ] 5 (+) 4 ln(+3) (46) Dal ite fondamentale si ha (+) λ 0 5 (+) 4 0 = λ (47) = 4 5, onde 5 (+) 4 è del primo ordine. L altro termine ln(+3) 0 = 3 ln(+t) t=3 t 0 t = (48) Quindi ln(+3) è del primo ordine. Per il teorema del prodotto ] [ (+) 5 4 ln(+3) = è di ordine (49) }{{}}{{} ordine ordine Questo significa che a denominatore possiamo trascurare tan 3 (arcsin). Allora per il Principio di sostituzione degli infinitesimi si ha: 0 arctan 5 [ 5 (+) 4 ] ln(+3) (50) Si tratta ora di sostituire i singoli infinitesimi con le rispettive parti principali. Abbiamo visto che arctan 5 ln5 Inoltre Finalmente 5 (+) ln(+3) 3 0 ) = arctan 5 [ 5 (+) 4 ] ln(+3) [ 5 (+) 4 ] ln(+3) 5 ln5 = 0 = 5 ln5 (5)

42 9 CALCOLO DI LIMITI CON IL PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI [INFINITI] Esempio 47 Calcoliamo + +arctan+sin (5) Il rapporto si presenta nella forma indeterminata. A numeratore abbiamo che è un infinito del secondo ordine rispetto all infinito di riferimento u() =. Determiniamo l ordine di infinito arctan arctan + = + arctan = π, per cui arctan è del primo ordine e come tale trascurabile rispetto a. L altro addendo sin è non regolare per +, ma è itato, cosicché possiamo trascurararlo. Passiamo a denominatore. Qui vediamo che +5+6, (53) sono manifestamente infiniti del secondo ordine, per cui possiamo trascurare l addendo 3. Possiamo poi svincolarci dalla radice osservando che Cioè In definitiva il ite proposto diventa: = = (54) (55) + = (56) 9. 4