Extracorrente di chiusura in un circuito

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1 prof. Alessandro ALTERIO (FISICA) 5ªD (P.N.I.) liceo scientifico Marconi di Grosseto pagina 1 di 5 Extracorrente di chiusura in un circuito Consideriamo il circuito in figura: All istante di tempo viene chiuso l interruttore : la corrente in tale istante è nulla, cioè. Da tale istante nel circuito inizia a circolare una corrente di intensità variabile ; partendo da un punto arbitrario del circuito, è possibile scrivere, per la seconda legge di Kirchhoff (equazione della maglia in senso orario), l equazione del circuito: Ricordiamo che la caduta di tensione sul resistore, per la prima legge di Ohm, è data da Effettuando le opportune semplificazioni-sostituzioni nell equazione del circuito si ottiene: Consideriamo, inizialmente, l equazione omogenea associata alla precedente: Separiamo le variabili: Integriamo membro a membro la precedente espressione: Il fattore è costante rispetto alla variabile di integrazione per cui può essere portato fuori dal segno di integrale ; risolvendo l integrale si ottiene: Passando all esponenziale:

2 prof. Alessandro ALTERIO (FISICA) 5ªD (P.N.I.) liceo scientifico Marconi di Grosseto pagina 2 di 5 Il simbolo di valore assoluto è superfluo in quanto la corrente è stata uguagliata ad una funzione esponenziale per cui non può essere negativa. Abbiamo trovato la soluzione dell equazione differenziale omogenea associata a quella iniziale: La soluzione particolare dell equazione differenziale (non omogenea) è il prodotto della soluzione omogenea (privata della costante) e di una opportuna funzione, per cui ha la forma Sostituiamo tale soluzione nell equazione differenziale iniziale: Alcuni passaggi: Anche questa è un equazione differenziale a variabili separabili: Integriamo membro a membro la precedente espressione: Il fattore è costante rispetto alla variabile di integrazione per cui può essere portato fuori dal segno di integrale ; risolvendo l integrale si ottiene (omettendo la costante arbitraria): La soluzione particolare dell equazione differenziale è cioè La soluzione completa dell equazione differenziale associata al circuito è data dalla somma della soluzione particolare e di quella omogenea.

3 prof. Alessandro ALTERIO (FISICA) 5ªD (P.N.I.) liceo scientifico Marconi di Grosseto pagina 3 di 5 Per determinare il valore della costante è necessario valutare le condizioni iniziali (problema di Cauchy): all istante di tempo l intensità di corrente che circola nel circuito è nulla ( ) per cui da si deduce che. In definitiva l extracorrente di chiusura, in funzione del tempo, è data da: La quantità ha le dimensioni di un tempo e viene detta costante di tempo (caratteristico) del circuito; denotando tale costante con, la precedente relazione diventa: Analizziamo i casi limiti: Dal grafico si deduce che inizialmente nel circuito non circola corrente in quanto l aumento di questa determina una variazione del flusso autoconcatenato nell induttore tale da generare in esso una corrente contraria a quella che ha dato luogo alla variazione. L asintoto orizzontale mostra che dopo un tempo sufficientemente grande (circa ), la corrente si è stabilizzata al suo valore massimo (dato dalla prima legge di Ohm). Riepilogando:

4 prof. Alessandro ALTERIO (FISICA) 5ªD (P.N.I.) liceo scientifico Marconi di Grosseto pagina 4 di 5 Extracorrente di chiusura in un circuito Consideriamo il circuito in figura: All inizio nell induttore flusso ; all istante di tempo è concatenato un viene aperto l interruttore : la corrente che circola in tale istante è. Da tale istante, a causa dell induttore nel circuito, circola una corrente di intensità variabile ; partendo da un punto arbitrario del circuito, è possibile scrivere, per la seconda legge di Kirchhoff (equazione della maglia in senso orario), l equazione del circuito: Effettuando le opportune semplificazioni-sostituzioni nell equazione del circuito si ottiene: Si tratta di un equazione differenziale omogenea del primo ordine a variabili separabili; separiamo le variabili e integriamo: La cui soluzione è data da: Passando all esponenziale: Il simbolo di valore assoluto è superfluo in quanto la corrente è stata uguagliata ad una funzione esponenziale per cui non può essere negativa. La soluzione dell equazione differenziale è:

5 prof. Alessandro ALTERIO (FISICA) 5ªD (P.N.I.) liceo scientifico Marconi di Grosseto pagina 5 di 5 Per determinare il valore della costante è necessario valutare le condizioni iniziali (problema di Cauchy): all istante di tempo la corrente che circola nel circuito è quella massima (data dalla prima legge di Ohm): per cui da si deduce che. In definitiva la corrente di apertura, in funzione del tempo, è data da: Ricordando che del tempo è data da: è la costante di tempo (caratteristico) del circuito, la corrente in funzione Analizziamo i casi limiti: Dal grafico si deduce che inizialmente la corrente che circola nel circuito ha valore massimo (dato dalla prima legge di Ohm) ; nel tempo la diminuzione di corrente e dunque di flusso autoconcatenato con l induttore crea una corrente concorde con quella precedente che dunque non si annichilisce istantaneamente. Riepilogando: