Reti nel dominio del tempo. Lezione 7 1

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1 Reti nel dominio del tempo Lezione 7 1

2 Poli (o frequenze naturali) di una rete Lezione 7 2

3 Definizione 1/2 Il comportamento qualitativo di una rete dinamica dipende dalle sue frequenze naturali o poli Per studiare i poli di rete si introduce la pulsazione complessa s definita da: s = jω Lezione 7 3

4 Definizione 2/2 Nel dominio delle pulsazioni complesse l impedenza di un induttore L diventa s L e l impedenza di un condensatore C diventa 1/(s C) Per determinare i poli di rete : si consideri la rete nel dominio della pulsazione complessa s l insieme dei valori s per i quali qualche uscita delle rete diventa infinita costituisce l insieme dei poli di rete Lezione 7 4

5 Esempio 1/5 La rete considerata è nel dominio delle pulsazioni s. Gli ingressi A 1 e A 2 sono con pulsazione s. Lezione 7 5

6 Esempio 2/5 Impedenza dell induttore di 2 H: 2s Impedenza dell induttore di 1 H: s Impedenza del condensatore di 1 F: 1/s Applicando il metodo delle tensioni ai nodi si ha: Lezione 7 6

7 Esempio 3/5 nodo 1 nodo ˆ 1 + V Vˆ A 1 2s 1 = s s ˆ 1 1 V + Vˆ A s 1 = s s Lezione 7 7

8 Esempio 4/5 Risolvendo il sistema si ottengono le uscite: s + 7s + 5s+ 1 2s + 5s + 2s 1 = Vˆ A A ( s+ 1)(1+ 3 s) ( s+ 1)(1+ 3 s) 2 2 ( s+ 2)(2 s + s) ( s+ 2)(2s + 2s+ 1) 2 = Vˆ A A ( s+ 1)(1+ 3 s) ( s+ 1)(1+ 3 s) Lezione 7 8

9 Esempio 5/5 I poli della rete sono definiti dai valori di s che rendono nulli i denominatori delle uscite: s=-1, s=-1/3 Osservazione: La rete e degenere per la presenza di un taglio di induttori (quattro lati costituiti da generatore di corrente o da induttore). L ordine di complessita e due. I poli sono tanti quanto l ordine di complessita Lezione 7 9

10 Proprietà Salvo casi eccezionali tutte le uscite presentano gli stessi poli di rete I poli di rete non dipendono dai valori degli ingressi e da come essi sono posizionati nella rete Le reti che rese inerti risultano le stesse, hanno le stesse frequenze naturali o poli Lezione 7 10

11 Invarianza dei poli La rete di figura quando viene resa inerte è identica a quella dell esempio precedente (resa inerte) I poli di rete sono gli stessi e cioè: s=-1, s=-1/3 Lezione 7 11

12 Poli (o frequenze naturali) di una rete Lezione 7 12

13 Caratteristiche 1/2 I poli di una rete sono strutturali: essi sono gli stessi per tutte le reti che rese inerti hanno la stessa configurazione I poli di rete derivano dagli zeri dei polinomi che costituiscono i denominatori nell espressioni (nel dominio s) dell uscite. i polinomi che danno luogo ai poli di rete sono a coefficienti reali i poli di rete sono reali o (se complessi) si presentano in coppie complesse coniugate Lezione 7 13

14 Caratteristiche 2/2 In tutte le reti (degeneri o non degeneri) il numero di poli (contati con la loro molteplicità) è uguale all ordine di complessita della rete e cioe alla somma dei condensatori ed induttori presenti nella rete diminuito del numero di tagli di induttori e maglie di condensatori. Lezione 7 14

15 Implicazioni 1/4 I poli di una rete che risultano nulli sono poco significativi il numero di poli nulli è dato dalla somma dei tagli di condensatori e delle maglie di induttori Lezione 7 15

16 Implicazioni 2/4 Una rete di dice stabile se i suoi poli hanno tutti parti reali non positive una rete passiva è sicuramente stabile Una rete con una costante di tempo τ ha solo un polo significativo di rete espresso da: 1 s = τ Lezione 7 16

17 Implicazioni 3/4 Il modello matematico di una rete dinamica è costituito da un sistema di equazioni differenziali nel caso di sola presenza di poli semplici, la soluzione del sistema omogeneo associato presenta la forma: y t K e K e K e t st 1 s2t n ( ) = n st Lezione 7 17

18 Implicazioni 4/4 s 1,s 2, s n sono i poli della rete Nelle reti strettamente passive gli esponenziali tendono a zero per valori elevati di t. la soluzione del sistema omogeneo costituisce un transitorio Lezione 7 18

19 Poli (o frequenze naturali) di una rete Lezione 7 19

20 Generalità Ogni rete può essere vista come connessione di due bipoli Lezione 7 20

21 Formula Resi inerti i bipoli, i poli di rete si ottengono dall equazione:! " Z + Z = 0 oppure:! " Y + Y = 0 Lezione 7 21

22 Esercizio 1 (1/3) Determinare i poli della rete Lezione 7 22

23 Esercizio 1 (2/3) La figura illustra la rete rese inerte! " 1 1 Z = 1, Z = s+ 1 = s+ s s + 1 Lezione 7 23

24 Esercizio 1 (3/3) Risulta! " 1 1 Z = 1, Z = s+ 1 = s+ s s + 1 Poli di rete:! " 1 Z + Z = 1+ s+ = 0 s1 = 1 + j, s2 = 1 j s + 1 Lezione 7 24

25 Esercizio 2 (1/3) Calcolare i poli della rete Lezione 7 25

26 Esercizio 2 (2/3) La figura illustra la rete rese inerte! 1 " 1 Z = 1 + 1, Z = 1+ s 2 s Lezione 7 26

27 Esercizio 2 (3/3) Risulta:! 1 " 1 Z = 1 + 1, Z = 1+ s 2 s Poli di rete:! " 2 6s + 6s Z+ Z = = 0 s 2 1 = ( 3+ 3), s2 = ( 3 3) 2s+ 4s 6 6 Lezione 7 27

28 Esercizio 3 (1/3) Calcolare i poli della rete Lezione 7 28

29 Esercizio 3 (2/3) La figura illustra la rete resa inerte! 1 " 1 Z = 1 1 =, Z = 2+ 2 s Lezione 7 29

30 Esercizio 3 (3/3) Risulta:! 1 " 1 Z = 1 1 =, Z = 2+ 2 s Poli di rete:! " Z + Z = + 2+ = 0 s o = = 2 s τ 5 Lezione 7 30

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32 Reti nel dominio del tempo Lezione 7 31

33 Transitori nelle reti a due costanti di tempo Lezione 7 32

34 Formula del transitorio Si prenderanno in considerazione come uscite solo variabili di stato. transitorio relativo ad una variabile di stato: x t K e K e t t st 1 s2t () = +, s 1, s 2 poli della rete K 1, K 2 costanti da calcolare a partire dai valori iniziali Lezione 7 33

35 Procedimento con ingressi costanti Si prenderanno in considerazione come uscite solo variabili di stato. transitorio relativo ad una variabile di stato: xt Ke Ke X t st 1 s2t () = + +, s 1, s 2 poli della rete K 1, K 2 costanti da calcolare a partire dai valori iniziali X valore finale della variabile di stato (regime stazionario) Lezione 7 34

36 Determinazione parametri 1/2 Determinazione dei poli s 1 e s 2 della rete: fatto nelle slides precedenti Determinazione del valore finale X calcolare la rete in regime stazionario: condensatori sostituiti da circuiti aperti ed induttori da corto circuiti Lezione 7 35

37 Determinazione parametri 2/2 Determinazione delle costanti K 1 e K 2 è necessario scrivere due equazioni: x(0 ) = K + K + X = x(0 ) = condizione iniziale nota x'(0 ) = s K + s K =? = valore iniziale della derivata Lezione 7 36

38 Uso delle variabili coniugate 1/2 Variabili coniugate allo stato: correnti i C sui condensatori e tensioni v L sugli induttori le variabili coniugate non sono continue tuttavia si sanno calcolare i valori iniziali Lezione 7 37

39 Uso delle variabili coniugate 2/2 Formula che lega i valori iniziali delle derivate dello stato con i valori iniziali delle variabili coniugate v i ' C ' L 1 (0 + ) = ic(0 + ) C per un condensatore 1 (0 + ) = vl(0 + ) L per un induttore Lezione 7 38

40 Sommario 1/4 v t K e K e V C C st 1 C s2t ( ) = + +, per un condensatore 1 2 i t K e K e I L L st 1 L s2t ( ) = + +, per un induttore 1 2 Si determinano i poli s 1 e s 2 della rete: C L Si determini il valore finale V o I C L Lezione 7 39

41 Sommario 2/4 Si determini il valore iniziale della variabile coniugata i (0 ) o v (0 ) C + L + Si determini il valore iniziale della derivata dello stato v i ' C ' L 1 (0 + ) = ic(0 + ) C per un condensatore 1 (0 + ) = vl(0 + ) L per un induttore Lezione 7 40

42 Lezione 7 41 Sommario 3/4 Si determinano le costanti K 1 e K 2 con le due equazioni: ) (0 1 ) (0 ) (0 per un condensatore : ' 2 1 C C C C C C C K s K s i C v V K K v + = = + + = + + +

43 Lezione 7 42 Sommario 4/4 ) (0 1 ) (0 ) (0 per un induttore : ' 2 1 L L L L L L L K s K s v L i I K K i + = = + + = + + +

44 Esempio 1/8 Nella rete l interruttore si apre nell istante t=0. Calcolare v(t) vt () = v(0 ), t< 0 vt = Ke + Ke + V t s1 t s2 t (), Continuità delle variabili di stato Lezione 7 43

45 Esempio 2/8 Poli di rete Risulta: Poli di rete:! " 4 Z = 5, Z = s + s! " 2 s + 5s+ 4 Z + Z = = 0 s1 = 1, s2 = 4 s Lezione 7 44

46 Esempio 3/8 Valore finale dell uscita: l induttore è un corto circuito il condensatore un circuito aperto V = 24 Lezione 7 45 V

47 Esempio 4/8 Condizioni iniziali dello stato: in t=0- la rete è a regime (stazionario) l induttore è un corto circuito, il condensatore un circuito aperto 1 v(0 ) = 24 = 4 V, il (0 ) = = 4 A 5+ 1 Lezione 7 46

48 Esempio 5/8 Situazione della rete in t=0 + i (0 ) = i (0 ) = 4A L v(0 ) = v(0 ) = 4V t = 0 + L + + Lezione 7 47

49 Esempio 6/8 Valore iniziale della variabile coniugata: i(0 ) = i (0 ) = 4 A + L + Lezione 7 48

50 Esempio 7/8 Valore iniziale della derivata dello stato: i(0 ) = i (0 ) = 4 A + L + 1 v'(0 + ) = i(0 + ) = 16 V / s C Lezione 7 49

51 Esempio 8/8 Equazioni determinanti le costanti K 1 e K 2 : v(0 ) = K + K + V = K + K + 24 = v'(0 ) = s K + s K = K 4K = Soluzione dell equazioni: Transitorio richiesto: K = 64, K = t 4t vt () = e + e + 24, t 0 Lezione 7 50