1 Amplificatore a transconduttanza per pilotaggio in corrente di minuscoli R 2. v out R 1

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1 Prova scritta di fine corso di Meccanica Applicata alle Macchine, modulo da 5CFU Amplificatore a transconduttanza per pilotaggio in corrente di minuscoli motori DC Il circuito mostrato in figura è uno schema di principio di amplificatore a transconduttanza. v in v out s Figura : Schema di amplificatore a transconduttanza. Sapendo che : (00 α)kω, A vol 05 τs, τ 0.s. Determinare a) (5 punti),, s in modo che il fattore di transconduttanza statico G 0 dell amplificatore sia pari a βa/v; b) (5 punti) la funzione di trasferimento tra la tensione v in e la corrente i a sul motore. a) Il fattore transconduttivo statico dell amplificatore a transconduttanza si calcola imponendo la condizione di corto circuito virtuale valida fin tanto che l uscita dell amplificatore non satura ovvero finché v out < V cc. icordando che l impedenza d ingresso dell opamp è, a tutti gli effetti pratici, la tensione al morsetto non invertente vale: v v in. La tensione al morsetto invertente è proporzionale alla corrente i a che circola nel motore e vale: Eguagliando le tensioni v e v otteniamo: s i a v s i a. v in i a s v in.

2 AMPLIFICATOE A TANSCONDUTTANZA PE PILOTAGGIO IN COENTE DI MINUSCOLI MOTOI DC2 Il fattore transconduttivo statico vale quindi: G 0 s Il dimensionamento di,, s può essere fatto con buon senso tenendo presente che la somma è assegnata, che le resistenze devono essere tutte maggiori di zero (altrimenti avremmo inventato il moto perpetuo!) e che è opportuno che s sia piuttosto piccola (dell ordine di grandezza di Ω o frazione. b) La corrente del motore dipende dall ingresso di riferimento v in e dalla velocità angolare del motore che agisce come un disturbo. Per calcolare la F.d.T. del riferimento si sfrutta il principio di sovrapposizione degli effetti imponendo ω 0. In tal modo il motore diventa un semplice carico ohmico-induttivo e l impedenza vista da v out vale L a s ( a s ), da cui: I a (s) V (s) s I a (s) Sul morsetto non invertente abbiamo: L a s ( a s ) V out(s) () s L a s ( a s ) V out(s) (2) mentre V out (s) vale: V (s) V in (s), (3) V out (s) ( V (s) V (s) ). (4) Sostituendo le equazioni (2) e (3) nella (4) otteniamo: da cui: V out (s) V in (s) L a s ( a s ) V out(s), (5) s s V out (s) ( L a s ( a s ) A vol(s) ) V in (s). (6) icavando V out (s) dall equazione precedente e sostituendo nella () otteniamo: V out (s) I a (s) s L A as( a s) vol(s) L a s ( a s ) quindi la funzione di trasferimento cercata è: V in (s) (7) s L A as( a s) vol(s) V in (s), (8) G(s) L a s ( a s ) s L a s( a s ) A vol(s) (9) L a s ( a s ) s (0) A 0 2 τs A 2 L a s ( a s ) 0 () s τs A ( 0 La s ( a s ) ) (2) (τs ) s A 0 A 0 ( a s )(τ e s )(τs ) s A 0, (3)

3 2 AMPLIFICATOE CON ETOAZIONE DI TENSIONE PE PILOTAGGIO IN TENSIONE DI MINUSCOLI MOTO dove τ e L a a s è la costante di tempo elettrica della rete L motore resistenza di sensing. Presumibilmente la costante di tempo τ e sarà molto minore di τ quindi, in prima approssimazione: G(s) A 0 ( a s )(τs ) s A 0 (4) A 0 ( a s )τs ( a s s A 0 ) }{{} (5) s A 0 s a s sa 0 τs (6) 2 Amplificatore con retroazione di tensione per pilotaggio in tensione di minuscoli motori DC Il circuito mostrato in figura è uno schema di principio di un amplificatore a di tensione retroazionato per il pilotaggio in tensione di un motore DC. v in v out s Figura 2: Amplificatore di tensione retroazionato. Sapendo che : (00 α)kω, A vol 05 τs, τ 0.s. Determinare: a) (5 punti), in modo che il guadagno statico dell amplificatore sia pari a βv/v; b) (5 punti) la funzione di trasferimento tra la tensione v in e la tensione v a sul motore. a) L amplificatore operazionale è montato in configurazione di buffer, ovvero di retroazione unitaria (fattore di retroazione ) quindi la tensione d uscita, in condizioni statiche, si

4 3 INTEGATOE 4 b) calcola come segue: ( ) v out A 0 (v v 2 ) A 0 v in v out v out ( A 0 ) A 0 v in (8) A 0 v out v in v in (9) A 0 Il guadagno statico vale. Non esistono quindi valori di ed che permettano di ottenere un amplificazione β. (7) V out (s) (V (s) V (s)) (20) ( ) 2 V in (s) V out (s) (2) V out (s)( ) V in (s) (22) V out (s) V in (s) (23) 3 Integratore Il circuito mostrato in figura può essere utilizzato per calcolare analogicamente l integrale di un segnale. C v in v out Figura 3: Circuito integratore. Sapendo che : (0 α)kω, C 00nF, V cc 5V (tensioni di alimentazione), A vol 05 τs, τ 0.s. Determinare: a) (5 punti) la funzione di trasferimento (quindi in regime lineare) tra v in e v out ; b) (5 punti) l andamento temporale di v out (con condensatore inizialmente scarico) se v in (t) (t).

5 4 AMPLIFICATOE A TANSCONDUTTANZA PE PILOTAGGIO IN COENTE DI MINUSCOLI MOTOI DC5 a) L amplificatore retroazionato negativamente quindi vale il corto circuito virtuale e v (t) v (t) 0. La corrente che circola in vale i v in e rimane costante finché l amplificatore lavora in regime lineare (uscita non saturata). La tensione d uscita vale: v out (t) q(t) C (24) ( t ) q 0 i(τ)dτ (25) C C q 0 C 0 t 0 v in (τ)dτ (26) V out (s) Cs V in(s) Cs q 0. (27) La funzione di trasferimento vale quindi G(s) Vout(s) V in (s) Cs b) Finché l amplificatore non satura, la corrente in è costante e vale i vin(t) (t). Se il condensatore è inizialmente scarico (q 0 0) la carica accumulata vale q(t) i t fino a quando v out non va in saturazione. Di conseguenza v out (t) C t fino a quando non raggiungerà la saturazione v cc al tempo t v cc C. 4 Amplificatore a transconduttanza per pilotaggio in corrente di minuscoli motori DC Il circuito mostrato in figura è uno schema di principio di amplificatore a transconduttanza. V in V out s Figura 4: Schema di amplificatore a transconduttanza. Sapendo che : (00 α)kω, s Ω A vol 05 τs, τ 0.s. Determinare a) (5 punti),, in modo che il fattore di transconduttanza statico G 0 dell amplificatore sia pari a βa/v; b) (5 punti) la funzione di trasferimento tra la tensione v in e la corrente i a sul motore. a) Il fattore transconduttivo statico vale circa G 0. (28) s

6 5 CAO COMANDATO DA COPPIA VITE DI MANOVA/CHIOCCIOLA 6 I tre resistori vanno calcolati con buon senso tenendo presente che s deve essere piccola (rispetto alla resistenza d armatura del motore a ) e rispettando il vincolo assegnato (00 α)kω. b) La F.d.T. tra tensione di riferimento V in (s) e corrente d armatura I a (s) si può calcolare imponendo che la velocità angolare del motore, che agisce come un disturbo, sia nulla (principio di sovrapposizione degli effetti). Si ottiene allora: da cui: I a (s) V out (s) (29) L a s a s (V (s) V (s)) (30) L a s a s ( ) V in (s) s I a (s), (3) L a s a s ( ) I a (s) s A vol(s) L a s a s G(s) L a s a s V in (s) (32) L as a s L a s a s (33) s A vol(s) 5 Carro comandato da coppia vite di manovra/chiocciola Un carro di una macchina utensile viene comandato da una coppia vite di manovra/chiocciola a ricircolo di sfere a sua volta comandato da un motoriduttore con motore DC. Sulle guide lineari del carro è presente un attrito di tipo coulombiano f s sign(ẋ). Siano noti i seguenti parametri: numero di denti z ; numero di denti z 2 ; passo della vite p; massa del carro m; momento d inerzia del motore J a (comprensivo della ruota ); momento d inerzia della vite J v (comprensivo della ruota 2); forza d attrito coulombiano f s ; costante di coppia del motore k t. Calcolare: a) la corrente necessaria ad accelerare il carro con un accelerazione desiderata ẍ des nel caso in cui f s 0; b) la corrente necessaria ad accelerare il carro con un accelerazione desiderata ẍ des nel caso in cui f s 0. a) La coppia del motore viene trasformata in una spinta sul carro dal rapporto di trasmissione totale z 2 2π z p, quindi la spinta sul carro vale z 2 2π z p k ti a. L inerzia totale del sistema, ridotta ( all asse di moto del carro, vale: M m J 2π ) 2 ( v p 2π z Ja 2 ) 2. p z La corrente necessaria ad accelerare il carro si trova risolvendo l equazione: z 2 z 2π p k ti a Mẍ des, (34)

7 5 CAO COMANDATO DA COPPIA VITE DI MANOVA/CHIOCCIOLA 7 DC motor z z 2 ẋ f s sign(ẋ) Figura 5: Carro comandato da una coppia vite di manovra/chiocciola. ovvero: i a Mẍ des z 2 z 2π p k t, (35) b) Nel caso in cui sia presente l attrito coulombiano, l equazione (34) si modifica in: e la corrente si calcola in modo analogo al caso a): z 2 2π z p k ti a Mẍ des f s, (36) i a Mẍ des f s z 2 z 2π p k t, (37)

8 INDICE 8 Indice Amplificatore a transconduttanza per pilotaggio in corrente di minuscoli motori DC 2 Amplificatore con retroazione di tensione per pilotaggio in tensione di minuscoli motori DC 3 3 Integratore 4 4 Amplificatore a transconduttanza per pilotaggio in corrente di minuscoli motori DC 5 5 Carro comandato da coppia vite di manovra/chiocciola 6