Progetto di un raccordo a raggio variabile la clotoide

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1 appendice B Proetto di un raccordo a raio variabile la clotoide Paina 29 del testo B.1 Esempio dell inserimento di una clotoide nel tracciato stradale Si ipotizza di dover realizzare una curva tra i due rettifili A e B (Fi. B.1), di dover prevedere una sezione tipo C1 con un intervallo di velocità di proetto compreso tra 60 e 100 km/h e si stabilisce che, in relazione alle condizioni di contorno si possa utilizzare un raio pari a 400 m. Si determina, quindi, la pendenza trasversale da applicare alla curva, per poi calcolare la velocità massima di percorrenza, che, nel caso in esame, risulta pari al 7% (vedi relazione 3.4, Capitolo 3). Ciò porta a una velocità di proetto di circa: curva 96,53 km/h B Fiura B.1 Raccordo con curva circolare. A a/2 a Si procede, quindi, al tracciamento della curva circolare di oriine. Successivamente si deve determinare il valore del parametro minimo della clotoide secondo i tre criteri esposti in precedenza.

2 30 Appendice B Applicando le relazioni opportune, si ottenono i seuenti risultati: Criterio 1. Applicando la (A.7) Criterio 2. A min,1 > 0,021 96,53 2 = 195,7 Applicando la (A.8) dopo aver calcolato i max = 18 3,75 =0, , A min,2 = 100 3,75 (0,07 + 0,025) = 142,8 0,6993 Criterio 3. Applicando la (A.11) e la (A.12) si ottenono li altri due valori che determinano il campo di ammissibilità: A > = 133,333 A Avendo definito i limiti entro cui si può operare, si scelie di utilizzare un parametro A = 320. La Fiura B.2 riporta il risultato finale con l applicazione delle clotoidi, il confronto con la curva oriinaria e i diversi elementi della clotoide stessa. Gli elementi eometrici della clotoide sono proporzionali al parametro A; ciò ha reso possibile la costruzione di tavole che forniscono i valori dei vari elementi costitutivi della clotoide, caratterizzata da un parametro A =1 (clotoide unitaria). Fiura B.2 Raccordo con clotoidi di transizione. B '' T L L C T K P'' ' ' A ' P' Y f X f

3 Proetto di un raccordo araio variabile La clotoide 31 oto il valore del parametro e del raio, si ottiene il valore: r > R A, r > =1,25 che permette di ottenere, dalla Tabella B.1, i valori numerici dei vari elementi, semplicemente moltiplicando i valori di tabella per il parametro A. I valori ottenuti dalla tabella per r =1,25 risultano quindi i seuenti: s = ascissa curvilinea = 0, = 256,00 m; f = anolo di deviazione = 20, = ascissa punto finale = 0, = 253,391 m; Y f = ordinata punto finale = 0, = 27,107 m; X = ascissa centro curva circolare = 0, = 127,565 m; Y = ordinata centro curva circolare = 1, = 406,802 m; R = scostamento = 0, = 6,802 m; T L = tanente luna = 0, = 171,591 m; T K = tanente corta = 0, = 86,174 m; σ c = anolo di direzione = 6, ; l c = corda = 0, = 254,837 m. I vari elementi possono essere visualizzati raficamente nella Fiura B.3, dove non è indicata la quantità s, che rappresenta lo sviluppo della clotoide. opo aver ottenuto i valori caratteristici della clotoide, si procede al suo tracciamento a partire dalla curva circolare oriinaria, imponendo un sistema cartesiano avente oriine in, determinato dalle entità X e R. Fiura B.3 Elementi della clotoide. R Y R s c l C t F P Y f T L X T K

4 32 Appendice B Tabella B.1 Tabelle clotoide unitaria per A =1 [Aostinacchio, Ciampa, lita Appendice A]. all oriine si può ricavare, con i dati a disposizione, la posizione del punto P (inizio curva circolare) tramite le quantità e Y f, come si può vedere nella seuente Fiura B.4. s F Y f X Y R T L T k r σ c l c 0,695 15, , , , , , , , , , , ,700 15, , ,056922, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,710 16, , , , , , , , , , , ,715 16, , , , , , , , , , , ,720 16, , , , , , , , , , , ,725 16, , , , , , , , , , , ,730 16, ,724834, , , , , , , , , ,735 17, , , , , , , , , , , ,740 17, , , , , , , , , , , ,745 17, , , , , , , , , , , ,750 17, , , , , , , , , , , ,755 18, , , , , , , , , , , ,760 18, , , , , , , , , , , ,765 18, , , , , , , , , , , ,770 18, , , , , , , , , , , ,775 19, , , , , , , , , , , ,780 19, ,772813, , , , , , , , , ,785 19, , , , , , , , , , , ,790 19, , , , , , , , , , , ,795 20, , , , , , , , , , , ,800 20, , , , , , , , , , , ,805 20, , , , , , , , , , , Il tracciamento dei punti intermedi compresi tra l oriine e il punto finale P, si e ettua suddividendo lo sviluppo della clotoide in parti, in funzione del rado di precisione necessario, e calcolando l incremento unitario di ascissa curvilinea S. In seuito si fa riferimento alle tabelle per determinare i valori x n e y n per onuno dei punti considerati. el caso in esame si considera di suddividere lo sviluppo in 8 parti uuali aventi: S = L 8 = 256,00 = 32,00 m 8 Fiura B.4 Tracciamento della clotoide, fase ,39 P Y f 27,11 a /2 a R 6.80 X 127,56 tanente curva circolare 796,96

5 Proetto di un raccordo araio variabile La clotoide 33 Si continua con l adimensionalizzare l intervallo S, dividendo la quantità per il paramento, e si ottiene il valore s. Tale valore viene utilizzato nelle tabelle della clotoide unitaria per determinare i valori delle coordinate di oni sinolo punto: s = S A = 32, =0,10 ome punto S (m) s 1 32,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0,70 P 256,00 0,80 Tabella B.2 alori di tracciamento riferiti alla clotoide unitaria. In altre parole, denominando i successivi punti di passaio con numeri proressivi da 1 a 7, si ottenono i valori nella Tabella B.2. Andando a leere sulle tabelle, in corrispondenza di oni valore s ottenuto, nella colonna s, le quantità e Y f e moltiplicandole per il parametro A = 320, si ottenono le coordinate cartesiane (x n e y n ) rispetto all oriine di oni punto (Tab. B.3, Fi. B.5). ome punto s x n(m) Y f y n(m) 1 0,10 0, ,000 0, , ,20 0, ,997 0, , ,30 0, ,980 0, , ,40 0, ,918 0, , ,50 0, ,750 0, , ,60 0, ,379 0, , ,70 0, ,659 0, ,215 P 0,80 0, ,391 0, ,107 Tabella B.3 Coordinate cartesiane punti di tracciamento. Fiura B.5 Tracciamento per punti clotoide. R = 400 x f 253,39 x 127,56 tanente curva circolare 796,96 R 6.80 o S ,05 3,41 0,43 1, ,00 64,00 95,98 127,92 159,75 191,38 222,65 253,39 6,66 11,49 18,21 7 P y f 27,11

6 34 Appendice B Ripetendo lo stesso procedimento anche sull altro estremo della curva oriinale si otterrà la curva completa, composta da due rami di clotoide, denominati di entrata e di uscita. I due rami hanno parametri A uuali tra loro e sono simmetrici rispetto alla curva circolare oriinale. Tale curva non raccorda i rettifili oriinali A e B ma due allineamenti paralleli traslati una quantità pari a R rispetto ai rettifili dati. Per ottenere la curva definitiva si devono traslare li elementi ottenuti luno la bisettrice di una quantità, facilmente ricavabile dalla seuente relazione, conoscendo R e l entità dell anolo al vertice (Fi. B.6): = R ( ) = sen 2 6,802 sen (29, 6138) = 15,159 m Fiura B.6 Traslazione deli elementi. B ' '' T L R L C T K P'' ' ' A R ' X P' P t f Yf 29,6138 a