Banda passante di un sistema lineare

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1 Banda passante di un sistema lineare Consideriamo un sistema lineare con funzione di trasferimento G(s). La funzione di risposta armonica del sistema lineare è G(j). Applichiamo in ingresso al sistema lineare un segnale x(t) con spettro X(j). Lo spettro Y(j) della risposta y(t) si ottiene come: Y(j) = G(j)X(j) Gli spettri di ampiezza e fase della risposta y(t) risultano quindi: Y(j) db = G(j) db + X(j) db Y(j) = G(j)+ X(j) Lo spettro Y(j) della risposta è dunque una versione, alterata dalla funzione di risposta armonica G(j), dello spettro X(j) del segnale di ingresso. Si dice che il sistema lineare filtra il segnale di ingresso. Le differenze nello spettro equivalgono a differenze nella risposta temporale. Il sistema lineare riuscirà a inseguire esattamente l andamento del segnale di ingresso, ovvero y(t) = Kx(t) (K > ), se e solo se: G(j) = K e G(j) = Le differenze tra la risposta y(t) e il segnale di ingresso x(t) sono tanto maggiori quanto più G(j) K e G(j). Per molti sistemi lineari esiste solo un intervallo di pulsazioni per il quale vale la relazione G(j) K e G(j). Questo intervallo di valori di si chiama banda passante. Per convenzione la banda passante(nella maggior parte dei casi di interesse pratico) è data dai valori di per i quali G(j) db K 3 db. Tipicamente la banda passante è data da un intervallo di valori del tipo L H con L e H dette pulsazioni di taglio. NOTA BENE: sottrarre 3 db equivale ad una riduzione di ampiezza pari al 3%! R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA

2 3.3. BANDA PASSANTE DEI SISTEMI LINEARI Sistema di tipo passa basso. Banda passante H. qualitativa Ampiezza 2 db G ( j ) db Passa basso K 3 db K-3 db banda passante H -2 db Sistema di tipo passa alto. Banda passante L. G ( j ) db Passa alto 2 db K-3 db 3 db K L banda passante -2 db R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA

3 3.3. BANDA PASSANTE DEI SISTEMI LINEARI Sistema di tipo passa banda. Banda passante L H. Ampiezza fasi G ( j ) db Passa banda 2 db K K-3 db 3 db L banda passante H -2 db Sistema di tipo elimina banda. Banda passante L e H. G ( j ) db Elimina banda 2 db K K-3 db 3 db 3 db banda passante -2 db L H banda passante R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA

4 3.3. BANDA PASSANTE DEI SISTEMI LINEARI Consideriamo delle un sistema del primo ordine con guadagno statico unitario: G(s) = +τ s I sistemidel primo ordine sono di tipo passa basso e la loro banda passante è H con: H = τ Applichiamo in ingresso al sistema G(s) un impulso rettangolare x(t) di durata t e ampiezza /t (quindi area unitaria). Sia ad esempio t = 2π/: Impulso rettangolare La trasformata di Laplace X(s) del segnale di ingresso x(t) risulta: X(s) = ( ) e t s t s Lo spettro X(j) del segnale di ingresso x(t) risulta quindi: X(j) = t j ( e jt ) R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA

5 3.3. BANDA PASSANTE DEI SISTEMI LINEARI Lo spettro X(j) del segnale di ingresso x(t) risulta: Ampiezza X(j) = ( ) e jt t j Per t = 2π/ lo spettro X(j) risulta: 5 Spettro delle Ampiezze 5 F() [db] Lo spettro si annulla per = n con = 2π/t. Per > 3 lo spettro delle ampiezze del segnale è inferiore a / rispetto allo spettro alle basse pulsazioni. R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA

6 3.3. BANDA PASSANTE DEI SISTEMI LINEARI Sia H = 3 = 3. Lo spettro Y(j) della risposta y(t) risulta: Ampiezza 5 Spettro delle Ampiezze X() (c), G(j) (r), Y() (b) [db] L andamento temporale della risposta nel tempo risulta: Risposta(r) all impulso(b) Le principali componenti spettrali (per < 2 ) passano praticamente invariate all uscita del sistema lineare. Invece le componenti spettrali per > H sono attenuate dal sistema del primo ordine. Quindi la risposta y(t)non può esserevelocecome il segnale di ingresso x(t), masi mantiene una buona similitudine fra i due segnali. R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA

7 3.3. BANDA PASSANTE DEI SISTEMI LINEARI Sia H = =. Lo spettro Y(j) della risposta y(t) risulta: di Ampiezza 5 Spettro delle Ampiezze X() (c), G(j) (r), Y() (b) [db] L andamento temporale della risposta nel tempo risulta: Risposta(r) all impulso(b) Rispetto al caso precedente anche una parte delle principali componenti spettrali (per < < 2 ) è attenuata dal sistema del primo ordine. In Y(j) si perde buona parte del contenuto in alta frequenza del segnale di ingresso quindi la risposta y(t) è piuttosto lenta. R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA

8 3.3. BANDA PASSANTE DEI SISTEMI LINEARI Sia H = 5 = /2. Lo spettro Y(j) della risposta y(t) risulta: di Ampiezza 5 Spettro delle Ampiezze X() (c), G(j) (r), Y() (b) [db] L andamento temporale della risposta nel tempo risulta: Risposta(r) all impulso(b) In questo caso anche le componenti spettrali a bassa frequenza sono attenuate dal sistema del primo ordine e quelle in alta frequenza sono sostanzialmente scomparse. La risposta y(t) è molto lenta e non riesce a seguire per nulla l ingresso x(t). R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA

9 3.3. BANDA PASSANTE DEI SISTEMI LINEARI Applichiamo in ingresso al sistema G(s) un impulso triangolare x(t) di iagramma durata 2t e ampiezza /t (area unitaria). Sia ad esempio t = 2π/. Sia H = 3. Lo spettro Y(j) della risposta y(t) risulta: 5 Spettro delle Ampiezze X() (c), G(j) (r), Y() (b) [db] L andamento temporale della risposta nel tempo risulta: Risposta(r) all impulso(b) triangolare Lo spettro delle ampiezze di Y(j) è sostanzialmente identico allo spettro di X(j) a cosa è dovuto allora il ritardo di y(t) rispetto a x(t)? R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA

10 3.3. BANDA PASSANTE DEI SISTEMI LINEARI 3.3 Lo spettro delle fasi della risposta y(t) risulta: Ampiezza 2 Spettro delle Fasi arg X()(c), G(j)(r), Y()(b) [deg] Mentre lo spettro delle ampiezze di Y(j) è sostanzialmente identico allo spettro di X(j), i due spettri delle fasi differiscono fra loro, anche per pulsazioni relativamente piccole. In particolare lo spettro di fase di Y(j) presenta angoli minori rispetto allo spettro di fase di X(j). Siparlainquestocasodisfasamento in ritardoodiritardo di fasedella fase del segnale di uscita rispetto a quella del segnale di ingresso. Qualitativamente un ritardo di fase introdotto da un sistema lineare induce un ritardo fra il segnale di ingresso e il segnale di uscita. Risposta(r) all impulso(b) triangolare R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA

11 3.3. BANDA PASSANTE DEI SISTEMI LINEARI 3.3 Si consideri ad esempio il sistema a fase non minima: gradoni G r (s) = a s a+s avente modulo unitario a tutte le pulsazioni (quindi banda infinita), ma che introduce un ritardo di fase da a -8 o. Gli spettri delle ampiezze di X(j) e di Y(j) sono identici essendo G r (j) = per. Lo spettro delle fasi (per a = ) della risposta y(t) risulta: 2 Spettro delle Fasi 5 arg X()(c), G r (j)(r), Y()(b) [deg] Il ritardo di fase introdotto dal sistema G r (s) si traduce in un ritardo del segnale y(t) rispetto a x(t), oltre ad un andamento in controfase in seguito ai cambi di derivata del segnale di ingresso: Risposta(r) all impulso(b) triangolare R. Zanasi - Controlli Automatici - 2/2 3. ANALISI ARMONICA