Esercitazione di Controlli Automatici 1 n 7

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1 Esercitazione di ontrolli Automatici 1 n 7 a.a. 26/7 I risultati di 6 prove di risposta armonica di un sistema elettrico di caratteristiche non note sono riportati in allegato. I dati significativi sono riportati nella seguente tabella: f [Hz] U M [V] Y M [V] Δt [ms] , , , , , ,4 Si individui la struttura e la taratura di un sistema in retroazione stabile che soddisfi le seguenti specifiche: Guadagno a ciclo chiuso pari a quello del sistema sottoposto a test ±1%;

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9 Soluzione della Esercitazione n 5 La risposta armonica del processo è nota sulla base di 6 prove sperimentali: Esercitazione di ontrolli Automatici 1 n 7 a.a. 26/7 - Soluzione 2 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/sec) da cui si deduce la struttura della funzione di trasferimento del processo 1 P( s) = = k P s ( 1+ τ s)( 1+ τ s)( 1+ τ s) p () s ; k = 1; P () = 1 p La specifica sul valore del guadagno a ciclo chiuso impone un sistema di controllo con retroazione non unitaria rappresentato dallo schema a blocchi r(t) + _ u(t) P y(t) H 1 1 H ( s) = = =.1 k d k P kc ( s) = '( s) ; = ν s ( ) 1 1

10 La funzione di trasferimento ingresso-uscita è: W r () s Y R () s P k k P k k P P P = = kd = k ν P () s 1+ PH k s + k k P k s + k k P = ν d P P Esercitazione di ontrolli Automatici 1 n 7 a.a. 26/7 - Soluzione che ha guadagno esattamente pari a quello desiderato se ν =1. Poiché un polo nell origine comporta una riduzione della fase della funzione di trasferimento a ciclo aperto, con possibili problemi di instabilità, e poiché la specifica su k P non è stringente ν k () 1 = ( s) = k '( s) ; = c kkp k ± 1 % 9.9 kp = k 99 k = 1 k + k k 1+ k W = k p P P Lo schema a blocchi può essere manipolato per riportarlo ad uno con retroazione unitaria P r(t) k d r (t) + _ u(t) 1/k d P y(t) La presenza di una retroazione non unitaria non implica alcuna particolare considerazione riguardo la specifica sulla banda passante in quanto questa non è influenzata dal blocco statico a monte del sistema a ciclo chiuso con retroazione unitaria nello schema precedente. Y () () s Y () ( s) B = 3 B3 W s B3 B3 W s R() s R () s La funzione di trasferimento a ciclo aperto è 1 F s = PH = k k P P = k P = 1 k () P d In assenza di controllore dinamico, la risposta armonica della F(s) si ottiene da quello della P(s) per semplice traslazione di 2dB dell asse delle ascisse 2

11 Esercitazione di ontrolli Automatici 1 n 7 a.a. 26/7 - Soluzione 4 Bode Diagram 2 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Valutiamo i margini di guadagno e fase 1 = F( jω ) m ( ) g m = arg ϕ ( F jω t ) F ( jω ) = 1 c arg ( F ( jω )) = π m = 14 db in corrispondenza della pulsazione critica = 355 g c ω rad/s m = 34 in corrispondenza della pulsazione di taglio = 715 ϕ t c ω rad/s t Il sistema con il controllore che soddisfa le specifiche a regime è dunque instabile, occorre progettare una azione correttrice che stabilizzi il sistema. Non dovendo soddisfare specifiche particolari sulla banda o lo smorzamento a ciclo chiuso non si hanno vincoli su come scegliere la ω td. Per stabilizzare il sistema è possibile utilizzare una azione attenuatrice o equivalentemente una azione anticipatrice. Scegliamo di progettare una rete attenuatrice. Occorre innanzitutto fissare la ω td, osservando che per ω = 263 rad/s si ha un Δm 2 db e un Δϕ 2 deg, scegliendo questa come ω td, si progetta una azione attenuatrice che fornisca una attenuazione dei moduli di 2 db per ω = 263 rad/s e uno sfasamento in ritardo il più piccolo possibile, non maggiore di 2 deg. td 3

12 Esercitazione di ontrolli Automatici 1 n 7 a.a. 26/7 - Soluzione 4

13 u = 1 2 Esercitazione di ontrolli Automatici 1 n 7 a.a. 26/7 - Soluzione Dai diagrammi universali, scegliendo segue m=1 e si ottiene una attenuazione di 2 db e uno sfasamento in ritardo di soli 5 deg. Il controllore che soddisfa alle specifiche sarà dunque: u = ω td τ = 1 τ = () s =.38 τ s m 1 1 = = ( 1+ τs) ( +.38s) ( 1+.38s) Nel grafico successivo sono mostrati i digrammi di bode prima (in verde) e dopo l aggiunta della rete attenuatrice (in blu). 4 Bode Diagram 2 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) I nuovi margine di guadagno e di fase sono: mg = 4.5 db a ω c = 344 rad/s m ϕ = 15 deg a ω = 263 rad/s t Il sistema è ora stabile ma i suoi margini di stabilità sono bassi. Nel caso sia richiesto è possibile utilizzare una azione anticipatrice per aumentare il margine di fase oppure incrementare ulteriormente l azione attenuatrice aumentando m e spostando la ω più a sinistra. td 5

14 Esercitazione di ontrolli Automatici 1 n 7 a.a. 26/7 - Soluzione Ripetiamo l esercizio progettando una azione anticipatrice. In questo caso, siccome occorre un anticipo maggiore di 35 4 occorre scegliere una pulsazione normalizzata piccola ma che consenta uno sfasamento in anticipo consistente. Scegliamo u 2, osserviamo che a questa pulsazione abbiamo un aumento dei moduli di circa 7 db per la maggior parte delle curve con m elevato. Scegliamo quindi una ω 1 rad/s che presenta un ΔM 7 db a cui occorre un anticipo maggiore di 5 per avere un td margine di fase positivo. Scegliendo ad esempio m=1 si ottiene il seguente controllore: u = ω td 2 = =.2 1 τ, m=1 ( τs) 1( 1+.2s) = τ ( 1+.2s) 1 1+ () s = 1 + s m In basso è mostrato il digramma di bode prima (in verde) e dopo (in blu) l aggiuntà dell azione anticipatrice: 4 Bode Diagram 2 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) I margini di stabilità con l azione anticipatrice diventano: mg = 2.4 a ω = 112 rad/s m ϕ = 4 a ω = 98 rad/s Per migliorare le prestazioni, occorre l uso di ulteriori azioni correttrici. 6