Esercitazione Si consideri il processo descritto dalla funzione di trasferimento: Soluzione

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1 Esercitazione. Si consideri il processo descritto dalla funzione di trasferimento: Soluzione s F ( s) k s s s Analizzare la funzione F(s) mediante il luogo delle radici: tracciare il luogo positivo e il luogo negativo Studiare la stabilità del sistema sia con riferimento al luogo positivo che al luogo negativo. Luogo positivo: 8 Root Locus 6 4 Imaginary Axis Luogo negativo: Real Axis

2 8 Root Locus 6 4 Imaginary Axis Real Axis Dall analisi grafica si deduce che si può avere stabilità asintotica per K K ; mediante il criterio di Routh si deduce che K Si consideri il processo u(t) + e(t) G(s) P(s) y(t) - descritto dalla funzione di trasferimento : P( s ) 3s s 3s s 5 Determinare un controllore a retroazione dall uscita tale che: L errore e a regime in risposta ad una rampa unitaria in ingresso sia non superiore a.5 La banda passante ad anello chiuso sia maggiore di rad/sec Il margine di fase sia di circa 4 Verificare il soddisfacimento della seconda specifica mediante la carta di Nichols.

3 Soluzione Il processo dato ha tre poli e uno zero reali, tutti a parte reale negativa. Ricerchiamo il controllo nella forma: con R(s) a guadagno unitario. G s KG Rs, h s La prima specifica richiede che il sistema risultante sia almeno di tipo ; poniamo h=. Per l errore a regime permanente si ha D G( s )D P( s ). 5 KG s D G( s )D P( s ) N G( s )N P( s ) K s G Scegliamo KG. I diagrammi del processo modificato: sono: 3s 3 5 ˆP( s ) s s s s 5 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) La pulsazione di attraversamento è di circa 8rad/sec e si ha un margine di fase è di circa -4. 3

4 Dalla seconda specifica e dalla formula empirica w B w si deduce che deve essere t 3 t w t 4. Una scelta ragionevole è w rad / sec ; a tale pulsazione si richiede che la fase sia minore o uguale di -4. t Il processo Pˆ in corrispondenza alla pulsazione desiderata rad/sec ha un modulo di circa -6dB e una fase di circa -. Per risolvere il problema bisogna aumentare la pulsazione di attraversamento, da 8 a, e aumentare la fase di circa 8. Si possono scegliere (ma non è l unica scelta possibile) due reti anticipatrici: ognuna deve dare un contributo di 3dB e di circa 4. Ad esempio m=8, w. La rete anticipatrice risultante è: Il controllore totale è: s G( s ) 6 s s 48 s R 6 a( s ) s 48 Il diagramma della funzione compensata è in verde: 4

5 5 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Il diagramma di Nichols della funzione compensata è: 6 Nichols Chart Open-Loop Gain (db) db db db db 3 db 6 db - db -3 db -6 db - db - db -4 db -6 db -8-8 db - - db - db Open-Loop Phase (deg) 5

6 Nichols Chart 4.5 db.5 db db 3 db 6 db db - db Open-Loop Gain (db) Open-Loop Phase (deg) Per verificare la seconda specifica occorre individuare su questo grafico il punto di intersezione fra il diagramma della funzione F e la curva a modulo costante -3dB; leggendo le coordinate di questo punto nel sistema di riferimento della carta di Nichols si ottiene il valore di circa -8dB; dal diagramma dei moduli della funzione Fsi determina il valore della pulsazione in corrispondenza alla quale il modulo vale -8dB; tale pulsazione è appunto la banda passante. Il valore è di circa 8rad/sec, come richiesto dalla specifica. 3. Si consideri il processo: con a e c numeri reali. x ( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t), con A, 3 a B 6 C Studiare le proprietà di raggiungibilità e osservabilità del sistema al variare di a e c Studiare le proprietà di rilevabilità e stabilizzabilità del sistema al variare di a e c c

7 Soluzione: Scelta opportunamente una coppia di valori di a e c, controllore con retroazione dall uscita tale che:. gli autovalori del processo controllato siano tutti in 4 determinare un. ogni componente dell errore di osservazione converga a zero con velocità almeno pari a -.5. Disegnare lo schema a blocchi del controllore trovato. Si verifica facilmente che il sistema è raggiungibile per a e a ; risulta osservabile per c e c 4. Per quanto riguarda lo studio della stabilizzabilità si ha: 3 rango A i I B rango A I B se a rango A I B se a Analogamente per la rilevabilità si deve studiare: A i I rango C Si ha: A I rango C se c 4 A I rango C se c Per completare l esercizio si può scegliere un coppia qualsiasi di parametri che non verifichi nessuna delle condizioni precedenti. Basta successivamente risolvere un problema di assegnazione di autovalori, imponendo gli autovalori di A+BK in -4 e quelli di A-GC in -.5 (o valori più bassi) : E necessario scrivere anche l equazione dell osservatore. 4.Si consideri il processo descritto dal sistema: x ( t ) x ( t ) x ( t ) u( t ) x ( t ) 3x ( t ) y( t ) x ( t ) 3x ( t ) Studiare le proprietà di raggiungibilità e osservabilità del sistema 7

8 Utilizzando il principio di separazione, determinare, se possibile, un controllore con retroazione dall uscita tale che:. gli autovalori del processo controllato abbiano tutti parte reale minore o uguale a -3. ogni componente dell errore di osservazione converga a zero con velocità almeno pari a Soluzione Il sistema è già in forma raggiungibile, si deduce che l autovalore è raggiungibile, mentre l autovalore 3 non è raggiungibile; tuttavia si trova già nella posizione giusta. Si verifica che il sistema è osservabile. Per risolvere l esercizio si deve applicare il principio di separazione. La matrice K che assegna tutti gli autovalori in -3 è data da: K 5 45 / 4 G / 4 ; la matrice G che assegna gli autovalori in - è 5. Si consideri lo schema di controllo: r + G(s) P d y in cui il processo ha funzione di trasferimento P( s ) mentre la funzione compensatrice ha la struttura: s 3 con K G( s ) s K s,,, h da determinare in modo tale che: h 8

9 Soluzione. l uscita risulti minore o uguale a. per.rad / sec in corrispondenza ad un disturbo d( t ) sint ;. il sistema complessivo sia asintoticamente stabile con margine di fase il più elevato possibile; 3. G( j ) db, (Questo esercizio è simile (ovvero con variazione minima) all esercizio.6 pag. del libro Lanari Oriolo che vi ho consigliato di consultare.) La prima specifica è automaticamente soddisfatta; infatti tale specifica richiede: F( jw ) db 4dB. a Dal diagramma di Nyquist della funzione F si deduce che è necessario introdurre una rete anticipatrice. Dalla terza specifica si deduce che deve essere K<, tenendo sempre presente la prima specifica, abbiamo circa -db di margine, e dunque K può essere assunto pari a.. Si possono utilizzare due reti uguali, con: m 6, w 3; si otterrà un margine di fase di circa 3. G ( s ) 3s.. 8s 9

10 5 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)