PROVA SCRITTA DI FONDAMENTI DI AUTOMATICA A.A. 2003/ gennaio 2004

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1 PROVA SCRITTA DI FONDAMENTI DI AUTOMATICA A.A. 2003/ gennaio 2004 nome e cognome: numero di matricola: Note: Scrivere le risposte negli spazi appositi. Non consegnare fogli aggiuntivi. La chiarezza e precisione nelle risposte sarà oggetto di valutazione.

2 Esercizio Con riferimento alla funzione di trasferimento G(s) = s s 2 2s Domanda.. Determinarne il guadagno, i poli e gli zeri. µ = p = p 2 = z = Domanda.2. Determinare e tracciare qualitativamente l andamento della risposta allo scalino unitario di un sistema la cui funzione di trasferimento sia G(s). { } s Y (s) = (s 2 2s ) s { A Y (s) = s B } s C (s ) 2 dove si è tenuto conto del fatto che s 2 2s = (s ) 2 e quindi lo sviluppo di Heaviside relativo al polo doppio in è costituito da due termini. Applicando il principio di identità dei polinomi si ottiene: A(s 2 2s ) Bs(s ) Cs = s. Si ricava perciò A =, B =, C = 2. Non resta che antitrasformare: la risposta allo scalino risulta pertanto { y(t) = L s } s 2 (s ) 2 = { e t 2 t e t }, t 0 il cui andamento è riportato nel grafico seguente. Step Response Amplitude Time (sec) Figura : Risposta al gradino della G(s)

3 Esercizio 2 U - G G 2 G 3 G 4 Y G (s) = s3 G 2 (s) = s G 3 (s) = s0 G 4 (s) = s Con riferimento allo schema a blocchi illustrato in figura si risponda alle seguenti domande. Domanda 2.. Nell ipotesi in cui non si verifichino cancellazioni, dire se le seguenti implicazioni sono in generale (cioè per qualsiasi scelta delle funzioni di trasferimento G, G 2, G 3, G 4 ) vere o false: G, G 2, G 3, G 4 tutte asintoticamente stabili = funzione di trasferimento complessiva asintoticamente stabile Vero Falso G instabile = funzione di trasferimento complessiva instabile Vero Falso G 2 instabile = funzione di trasferimento complessiva instabile Vero Falso funzione di trasferimento complessiva asintoticamente stabile = G asintoticamente stabile Vero Falso Domanda 2.2. Utilizzando le funzioni di trasferimento indicate in figura, determinare la funzione di trasferimento G tot dall ingresso U all uscita Y e valutare la stabilità del sistema complessivo. Si tratta del parallelo fra il ramo G e il ramo costituito dalla serie fra G 4 e il blocco equivalente alla retroazione fra G 2 e G 3. Pertanto: Sostituendo si trova: G tot = G 2 (s) G 2 (s)g 3 (s) G 4(s) G (s) (s 0) G tot = (s 2 s ) (s ) (s 3) Si ha che tutti i poli sono a parte reale negativa, dunque il sistema e asintoticamente stabile.

4 Esercizio 3 Dato il sistema dinamico ẋ (t) = 2 x (t) x 2 (t) u(t) ẋ 2 (t) = x (t) 3 u(t) y(t) = x 2 (t) 2 x 2(t) Domanda 3.. Calcolare lo stato e l uscita di equilibrio in corrispondenza dell ingresso costante u(t) = ū =, t 0. 0 = 2x (t)x 2 (t) 0 = x (t) 3 y(t) = x 2 (t) x 2 2(t) x = 3 x 2 = 6 ȳ = 28 3 [ ] 3 = x = 6 Domanda 3.2. Determinare il sistema linearizzato nell intorno dello stato di equilibrio calcolato nella risposta precedente. [ ] f f [ ] A = f x ( x, ū) = x x 2 2 x2 2 x = 0 B = f u ( x, ū) = f 2 x f 2 x 2 [ f u f 2 u x, ū ] x, ū [ ] = 3 x, ū x, ū C = g x ( x, ū) = [ g x g x 2 ] x, ū = [ 2 x 2 ] x, ū Dunque sostituendo si ha: Ed infine il sistema linearizzato: [ ] [ δx = 3 6 δx 2 0 [ ] A = [ ] B = 3 C = [ 6 2 ] ][ ] [ δx δx 2 3 δy = [ 6 2 ][ ] δx δx 2 ] δu(t) Domanda 3.3. Analizzare la stabilità del sistema linearizzato determinato nella risposta precedente. Il polinomio caratteristico della matrice associata al sistema linearizzato è det(si A) = s 2 3 s 6. Il sistema linearizzato è instabile poiché per la regola di Cartesio tale polinomio ha entrambe le radici a parte reale strettamente positiva (i segni [,, ] dei coefficienti del polinomio presentano due variazioni).

5 Esercizio 4 Con riferimento al sistema rappresentato dallo schema a blocchi in figura: y 0 - e L (s) y ove L(s) = µ ( s)( 0s) Domanda. Determinare gli eventuali valori di µ per i quali il sistema retroazionato risulti asintoticamente stabile utilizzando il criterio di Nyquist. Sostituendo s = jω si trova: µ L(jω) = ( 0ω 2 ) jω Nei casi µ = e µ =, l andamento del diagramma di Nyquist è il seguente (lo si può ottenere facilmente tracciando dapprima il diagramma di Bode e ragionando su di esso): Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Figura 2: Andamento del diagramma di Nyquist per µ = Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Figura 3: Andamento del diagramma di Nyquist per µ = Poiché la funzione di anello aperto non presenta poli a parte reale positiva, si ha stabilità asintotica in anello chiuso se e solo se il diagramma di Nyquist non circonda il punto (, 0). Qualunque sia il valore di µ > 0 il diagramma non circonda mai il punto in questione. Se invece µ < 0 allora si hanno due casi: quando µ < il diagramma non circonda il punto (, 0) e quindi si ha asintotica stabilità in anello chiuso. Se invece µ allora il diagramma circonda il punto e quindi per il criterio di Nyquist viene meno l asintotica stabilità in anello chiuso. Dunque si ha asintotica stabilità per tutti i µ >. (Si ricorda che l effetto del fattore µ > 0 sul diagramma di Nyquist è quello di ingrandire o rimpicciolire il diagramma a seconda che si abbia µ > o µ <. Qualora µ sia negativo, esso comporta anche una trasformazione di simmetria rispetto all origine.)

6 Esercizio 5 Con riferimento al sistema rappresentato dallo schema a blocchi in figura: d y 0 - e α G (s) /s y ove G(s) = 0 β s con : α > 0; β > 0 Domanda 5.. Determinare la funzione di trasferimento tra la variabile di riferimento y e la variabile d uscita y. T(s) = 0α βs 2 s 0α Domanda 5.2. Determinare la funzione di trasferimento tra la variabile di disturbo d e la variabile d errore e. T e d (s) = s s αg(s) = βs βs 2 s 0α

7 Domanda 5.3. Verificare se il sistema retroazionato sia asintoticamente stabile per i valori ammissibili di α e β. Poichè il denominatore della T(s) è: βs 2 s 0α ed è di secondo grado, basta garantire che i suoi coefficienti abbiano tutti lo stesso segno. Dunque il sistema è asintoticamente stabile per α > 0, β > 0. Domanda 5.4. Determinare (se possibile) α e β in modo tale da soddisfare le seguenti specifiche sul sistema retroazionato: modulo dell errore a transitorio esaurito in corrispondenza a variazioni a scalino unitario della variabile d pari a 0.. smorzamento di poli dominanti pari a 0.5. Per quanto riguarda la prima specifica, applicando il teorema del valore finale bisogna imporre che: lim s 0 st(s) s = 0. Dunque si ricava: 0α = 0. α = Per quanto riguarda la seconda specifica, bisogna riscrivere il denominatore della T(s) nella forma che evidenzia pulsazione naturale e smorzamento, ovvero: s 2 β s 0 β tenendo presente il valore già trovato per α. Si ha dunque: Sostituendo si ricava dunque β = 0. { 2ξωn = β ω n = 0 β

8 Esercizio 6 Con riferimento al sistema rappresentato dallo schema a blocchi in figura: C (s) d y 0 - e R (s) u G (s) y ove G(s) = 00 ( 5 s)( 0. s) e R(s) = µ( τs) s Domanda 6.. Determinare (se possibile) valori opportuni dei parametri µ e τ del regolatore in modo da avere per il sistema retroazionato una pulsazione critica ω c 0.8 ed un margine di fase ϕ m 50 Una scelta possibile consiste nel cancellare un polo del sistema ponendo τ = 5. Si trova allora: 00 L(s) = R(s)G(s) = µ s( 0.s) Resta un solo parametro (µ) su cui intervenire. Scegliamo ω c = e verifichiamo quanto vale la fase di L(jω) in corrispondenza di tale pulsazione: φ(jω c ) = 90 arg{ j0.} = 90 arctan{0.} 95.7 da cui φ m = = 84.3 > 50 Dunque una volta tracciato il diagramma di Bode della L 00 (s) =, basterà trovare un guadagno s( 0.s) tale da portare la pulsazione critica in ω = ; variazioni di µ portano infatti a semplici traslazioni in senso verticale del diagramma del modulo, senza alterare quello di fase. Il diagramma di Bode, è il seguente (in rosso i tratti asintotici): 80 Diagramma di Bode Modulo 90 Diagramma di Bode Fase db 0 20 gradi pulsazione pulsazione Il valore di µ cercato è chiaramente pari a µ = L (jω c ) 0.0

9 Domanda 6.2. Stabilire se il regolatore R(s) è di tipo P, PI, o PID, e calcolare i valori dei coefficienti K P, T I e T D per i valori di µ e τ determinati nella risposta alla Domanda 6. Il regolatore è di tipo PI, dal momento che può essere scritto nel modo seguente: R(s) = µτ µ s dove sono evidenziate appunto l azione proporzionale (K P = µτ = 0.05) e quella integrale (K I = µ = 0.0). Il tempo integrale è T I = K P K I = 5.