Stabilità dei sistemi di controllo. Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada

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1 Stabilità dei sistemi di controllo Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada 1

2 Stabilità Nei sistemi dinamici LTI la stabilità non dipende dagli ingressi. Asintoticamente stabili tutte le FdT attraverso cui gli eventuali disturbi entrano nel sistema di controllo si può fare riferimento allo schema w + - L(s) y mettendo in evidenza la funzione di trasferimento d anello L(s) = R(s) G(s) Supporremo L(s) funzione di trasferimento di un sistema dinamico strettamente proprio. Non introduciamo ipotesi sulla stabilità di L(s). Tuttavia, nel formare L(s) possono esserci cancellazioni tra R(s) e G(s) che danno luogo a dinamiche nascoste che devono essere asintoticamente stabili perché il sistema complessivo sia asintoticamente stabile. Quindi: se G(s) ha un polo (zero) a parte reale maggiore o uguale a zero, esso non può essere cancellato da uno zero (polo) di R(s). Il problema si pone ora nei termini di studiare la stabilità del sistema in anello chiuso, conoscendo L(s). 2

3 Stabilità Utilizzeremo tre criteri per studiare la stabilità dei sistemi di controllo in anello chiuso: Analisi del polinomio caratteristico Criterio di Nyquist Criterio di Bode 3

4 Analisi del polinomio caratteristico Il primo criterio di stabilità consiste nell analizzare la posizione nel campo complesso dei poli del sistema in anello chiuso. Esprimiamo la funzione di trasferimento d anello come rapporto di polinomi : ( s) L = Definiamo il denominatore di questa funzione di trasferimento polinomio caratteristico in anello chiuso : χ s = N s + D s ( s) ( ) N D s La funzione di trasferimento da w a y assume l espressione : ( s) ( ) y w s L = 1+ ( s) L( s) ( s) ( ) ( s ) ( ) N D s = N 1+ D s = ( ) ( ) ( ) N N( s) ( s) + D( s) Il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se tutte le radici di χ(s) hanno parte reale negativa. La condizione di stabilità può essere valutata o calcolando direttamente le radici oppure con il criterio di Routh. 4

5 Analisi del polinomio caratteristico Il criterio del polinomio caratteristico, molto utile in sede di sola analisi di stabilità, è molto meno utile per il progetto del regolatore, ovvero per determinare R(s) in modo che il sistema in anello chiuso sia asintoticamente stabile, motivo per cui esistono altri criteri. 5

6 Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist è un criterio grafico di stabilità dei sistemi in anello chiuso, nota la risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento d anello L(s). Ci limiteremo a dare l enunciato del Criterio (senza dimostrazione). Il Criterio di Nyquist si basa sul tracciamento del cosiddetto Diagramma di Nyquist associato alla funzione di trasferimento d anello L(s). Occorrono le seguenti definizioni: Diagramma di Nyquist: diagramma polare della risposta in frequenza di L, orientato nel senso delle ω crescenti, cui si aggiunge il simmetrico rispetto all asse reale del piano complesso P: numero di poli a parte reale strettamente positiva di L(s) N: numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist intorno al punto 1 dell asse reale, contati positivamente in senso antiorario. Se il diagramma passa per il punto 1, N si dice non definito 6

7 Criterio di Nyquist Criterio di Nyquist: il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se N è ben definito e risulta N = P Dimostrazione complessa, basata sulle proprietà delle funzioni analitiche e sul lemma di Cauchy condizione necessaria e sufficiente! si osservi che se N< il sistema non può essere asintoticamente stabile in anello chiuso! 7

8 Esempio Analisi del polinomio caratteristico L ( s) = µ ( 1+ s) 3 ( s) = s 3 + 3s s + 1 µ χ + Criterio di Routh µ 3 1+ µ 1+ µ Il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se 8 µ > 1 + µ > 1 < µ < 8 8

9 Criterio di Nyquist L ( s) = µ ( 1+ s) 3 Esempio P = Se µ>, il diagramma di Nyquist qualitativo è: Nyquist Diagram 1. se P è a sinistra del punto -1, il diagramma compie 2 giri in senso orario intorno al punto -1 N=-2 Imaginary Axis P 2. se P è nel punto -1 N non definito 3. se P è a destra del punto -1, il diagramma non compie giri intorno al punto -1 N= Real Axis La condizione N=P è soddisfatta solo in quest ultimo caso. 9

10 Esempio Determinazione del punto P. Vi sono 2 strade, infatti P è associato alla pulsazione ω P Im( L( jωp ) = : L( jωp ) = 18 In questo caso è più comodo seguire la seconda strada: µ L( jω ) = = 3atan( ω ) = π ω = 3 P ( 1+ jω ) P P P 3 La distanza del punto P dall origine è il modulo di L in jω P : µ L( j 3) = 3 = µ ( 1+ j 3) 8 µ 8 la condizione è quindi: < 1 µ < 8

11 Esempio Se µ<, il diagramma di Nyquist qualitativo è: Imaginary Axis A Nyquist Diagram 1. se il punto iniziale A del diagramma è a sinistra del punto -1, il diagramma compie 1 giro orario intorno al punto -1 N=-1 2. se A è a destra del punto -1 N= Real Axis Poiché il punto A è il numero reale µ, dovrà essere µ > 1 quindi, il sistema è asintoticamente stabile se e solo se 1 < < 8 µ 11

12 Esempio Si studi la stabilità in anello chiuso del sistema con funzione di trasferimento d anello: utilizzando il criterio di Nyquist. L ( s) = s 1 5 Nyquist Diagram Imaginary Axis Poiché N=1 e P=1 il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile Real Axis 12

13 Casi particolari del Criterio di Nyquist Caso 1. w + - k G(s) y L ( s) = kg( s) Diagramma di Nyquist: di G P: numero di poli a parte reale strettamente positiva di G(s) N: numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist intorno al punto 1/k dell asse reale, contati positivamente in senso antiorario. Se il diagramma passa per il punto 1/k, N si dice non definito Criterio di Nyquist: il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se N è ben definito e risulta N = P 13

14 Casi particolari del Criterio di Nyquist Caso 2. w + + retroazione positiva G (s) y w + retroazione negativa G (s) y 1 L( s) = G( s) = kg( s) k = 1 Diagramma di Nyquist: di G P: numero di poli a parte reale strettamente positiva di G(s) N: numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist intorno al punto +1 dell asse reale, contati positivamente in senso antiorario. Se il diagramma passa per il punto +1, N si dice non definito (cfr. Caso 1) Criterio di Nyquist: il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se N è ben definito e risulta N = P 14

15 Criterio di Bode Sempre con riferimento al sistema retroazionato w + - L(s) y introduciamo le seguenti ipotesi su L(s): L(s) non ha poli a parte reale positiva il diagramma di Bode di L(jω) interseca l asse a db una e una sola volta 15

16 Criterio di Bode Per applicare il criterio occorre introdurre una serie di definizioni: Pulsazione critica ω c : ω: L(jω) = 1 Fase critica ϕ c : ϕ c = L(jω c ) db 2 Diagramma di Bode - Modulo ω c Margine di fase ϕ m : ϕ m = 18 ϕ c Guadagno d anello µ L : guadagno di L(s) gradi Diagramma di Bode - Fase - ϕ c ϕ m Criterio di Bode: Dimostrazione semplice, come caso particolare del criterio di Nyquist (con P=, esprime le condizioni per cui sia N = ) il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se: µ L > ϕ m > Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo condizione necessaria e sufficiente (se le ipotesi di applicabilità valgono) 16

17 Criterio di Bode Dimostrazione il criterio di Bode è di fatto l applicazione del criterio di Nyquist al caso particolare in cui P= e il diagramma polare di L interseca la circonferenza di raggio unitario e centro l origine una e una sola volta: µ L ϕ m ω c Le due condizioni espresse dal criterio (µ L >,ϕ m >) garantiscono che il diagramma polare non compia giri intorno al punto -1, per cui N= e quindi N=P Il vantaggio nell uso del Criterio di Bode, rispetto all applicazione diretta del Criterio di Nyquist, consiste nel fatto che il margine di fase può essere determinato facilmente dai diagrammi di Bode, di più semplice tracciamento del diagramma di Nyquist. Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 17

18 Criterio di Bode L ( s) = ( 1+ s) 2 Esempio 3 Ipotesi di applicabilità soddisfatte µ L > si ricava ω c approssimativamente dal diagramma di Bode asintotico (mai calcolarla analiticamente!) db ω c 3 rad/s ϕ = 2arctan( 3) = 2 72 = 144 ϕ c m = 18 ϕ = 36 > c ω (rad/s) sistema asintoticamente stabile 18

19 Verifica con il criterio di Nyquist Nyquist Diagram Imaginary Axis -2 ϕ m Real Axis 19

20 Criterio di Bode L ( s) = ( 1+ s) 3 5 Esempio Ipotesi di applicabilità soddisfatte µ L > Diagramma di Bode - Modulo si ricava ω c approssimativamente dal diagramma di Bode asintotico (mai calcolarla analiticamente!) db -5 - ω c 2 rad/s Diagramma di Bode - Fase si calcola invece ϕ c per trovare il margine di fase: ( 2) = 2 72 = 19. ϕ c = 3arctan 5 ϕ m 18 ϕ =.5 > = c gradi ϕ m < 1 2 sistema instabile 2

21 Verifica con il criterio di Nyquist 8 Nyquist Diagram ϕ m Imaginary Axis Real Axis 21

22 Esempio L ( s) = ( 1 s) 2 Ipotesi di applicabilità NON soddisfatte P=2!! Criterio di Bode non applicabile 22

23 Osservazione 1 sul Criterio di Bode La pulsazione critica ω c può essere stimata utilizzando il diagramma di Bode asintotico del modulo di L, a patto che non vi siano rilevanti cambiamenti di pendenza nelle vicinanze del taglio dell asse a db 4 Diagramma di Bode - Modulo 3 2 db ω c ω c vera approx pulsazione Fare attenzione anche al caso di poli/zeri complessi coniugati. Se lo smorzamento è basso il diagramma asintotico può discostarsi molto da quello vero. Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 23

24 Osservazione 2 sul Criterio di Bode Si ricorda che un sistema LTI si dice a fase minima se: ha guadagno positivo non ha poli a parte reale positiva non ha zeri a parte reale positiva Il diagramma di Bode asintotico della fase si ottiene facilmente da quello del modulo. In ogni tratto: fase = (pendenza del modulo) 9 db Diagramma di Bode - Modulo ω c Diagramma di Bode - Fase Conseguenza: se il modulo di L taglia l asse a db con pendenza 1 in un ampio tratto, la fase critica sarà prossima al valore asintotico 9 gradi ω (rad/s) Il sistema in anello chiuso, essendo ϕ m >>, sarà asintoticamente stabile Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 24

25 Osservazione 3 sul Criterio di Bode Cosa succede se la funzione d anello presenta anche un ritardo? L ( s) = ( 1+ s)( 1+ s) e sτ, τ > Ipotesi di applicabilità soddisfatte µ L > si ricava ω c approssimativamente dal diagramma di Bode del modulo di L asintotico ω c 1rad/s db ω (rad/s) ϕ c = arctan arctan ωcτ τ = τ.1 1 π ϕ m = 18 ϕc = 18 ( τ ) = τ sistema asintoticamente stabile per τ <.89 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 25

26 Robustezza della stabilità: margine di fase Per quantificare i sistemi di controllo nei confronti della robustezza della stabilità, vi sono degli indicatori del grado di stabilità, ossia della lontananza dalla instabilità: Margine di fase lo abbiamo già introdotto per enunciare il Criterio di Bode. Nel caso P=,esso è di norma un buon indice di lontananza dall instabilità. ϕ m µ L significato pratico: è il massimo sfasamento aggiuntivo tollerabile dal sistema di controllo senza perdere la stabilità asintotica. ω c Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 26

27 Robustezza della stabilità: margine di fase L ( s) = L nom Inoltre, se sτ ( s) e e ϕ margine di fase di L ( s) m nom lo sfasamento aggiuntivo introdotto dal ritardo è ω τ c (rad) cioè, il valore massimo del ritardo per non perdere la stabilità asintotica è ω τ c max 18 π = ϕ m τ max ϕm = ω c π 18 secondo significato pratico del margine di fase: è un indicatore di robustezza rispetto a incertezze sui ritardi di tempo nell anello Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 27

28 Robustezza della stabilità margine di fase: situazione critica Vi sono tuttavia situazioni in cui il margine di fase non è un buon indicatore di stabilità In questo caso ϕ m 9 ma la stabilità asintotica del sistema in ac è veramente robusta? No, la stabilità non è robusta perché il diagramma polare passa molto vicino al punto -1, col rischio che lo circondi a seguito di incertezze sul modello L( jω) Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 28

29 Robustezza della stabilità: margine di fase situazioni anomale Intersezioni multiple ϕ m Mancanza di intersezione Poiché un ritardo, anche elevato, non può mai destabilizzare il sistema si dice che ϕ m = + Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 29

30 Robustezza della stabilità: margine di guadagno E un indicatore di robustezza da usare alternativamente o insieme al margine di fase Si supponga P= e che il diagramma polare di L attraversi il semiasse reale negativo in uno e un solo punto a Il sistema è as. stabile se A è a destra di -1 un indice di robustezza è allora la lontananza di A da -1, ossia a vicinanza all origine Detta a la distanza di A dall origine il margine di guadagno è k m 1 1 = = con L( jωπ ) = 18 a L( jω ) π Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 3

31 Robustezza della stabilità: margine di guadagno Il sistema in ac è asintoticamente stabile se k m >1 ed è tanto più robusta quanto maggiore è k m Inoltre, se L ( s) = kl nom ( s) e k margine di guadagno di L ( s) m nom significato pratico del margine di guadagno: è il massimo fattore moltiplicativo del guadagno d anello tollerabile senza perdere la stabilità. secondo significato pratico del margine di guadagno: è un indicatore di robustezza rispetto a incertezze sul guadagno d anello Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 31

32 Robustezza della stabilità: margine di guadagno Anche il margine di guadagno può essere valutato direttamente dai diagrammi di Bode L ( s) = 5 ( 1+ s) Diagramma di Bode - Modulo k m db db Dall analisi dei diagrammi di Bode, cercando una pulszione ω π per cui la fase valga all incirca -18 si ha: ω π 2 L( jω ) k m = 5 2 π = 1 4 db = 5 k = 1.78 m db = 5 gradi Diagramma di Bode - Fase Il calcolo analitico porta invece al seguente risultato: 3 ( ) jωπ 1+ 4 = 2. 8 k m = L( jω ) π = 5 = Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 5 sistema asintoticamente stabile 1 32

33 Robustezza della stabilità: margine di guadagno situazione critica Anche il margine di guadagno può rivelarsi, in alcun casi, un cattivo indice di robustezza: per L 2 (s) il margine di guadagno è elevato e anche il margine di fase per L 1 (s), invece, vi è lo stesso margine di guadagno, e quindi direi il sistema molto robusto, ma invece se andiamo a calcolare anche il margine di fase è esso è piccolo! L 1 (s) L 2 (s) Raramente la considerazione congiunta del margine di guadagno e del margine di fase conduce a errori. I due margini sono comunque estremamente utili nel progetto del controllore, per tentativi, sui diagrammi di Bode Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 33

34 Robustezza della stabilità: margine di guadagno situazioni anomale Intersezioni multiple km si valuta in base ad A 1 Mancanza di intersezione Poiché un fattore moltiplicativo del guadagno d anello comunque elevato non destabilizza il sistema, si dice che k m = + Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Stabilità dei sistemi di controllo 34