Sintesi per tentativi nel dominio della frequenza

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1 Sintesi per tentativi nel dominio della frequenza

2 Viene utilizzata per sistemi a fase minima affinchè sia valido il criterio di Bode e le relazioni approssimate tra le specifiche siano sufficientemente affidabili Le specifiche vengono tutte ricondotte a quelle che riguardano la funzione a catena aperta nel dominio della frequenza: -guadagno k>=k* -numero di poli in s= -pulsazione di attraversamento -margine di fase M ϕ M ϕ ωt ω t se è maggiore delle specifiche si ottengono prestazioni migliori Se è troppo grande entrano i rumori di misura!

3 Il sistema di controllo si considera composto da due parti che si progettano separatamente: -compensatore statico -compensatore dinamico C S) = ( C 2( s ) K n s FASI DELLA PROGETTAZIONE. Progetto del compensatore statico che soddisfa le specifiche riguardanti le prestazioni a regime per segnali e disturbi polinomiali 2. Analisi della funzione di risposta armonica del processo compensato staticamente ~ L ( s) = C( s) P( s) 3. Progetto del compensatore dinamico che consenta il soddisfacimento delle specifiche sul processo a catena aperta limc 2 ( s) = s lim L( s) = lim L ~ ( s) 4. Verifica delle specifiche a catena aperta su L ( s) = C( s) C2( s) P( s) 5. Simulazione del processo controllato e verifica delle altre specifiche s s C ( S )

4 Analisi della funzione di risposta armonica del processo compensato staticamente Viene fatta tracciando i diagrammi di Bode di ~ L ( jω) = C ( jω) P( j ) ω dai quali si leggono i valori della fase e del modulo in corrispondenza della pulsazione di attraversamento desiderata, valutando come si deve agire, tramite C ( S 2 ) su modulo e fase per rispettare le specifiche ω td M ϕd

5 Reti compensatrici La progettazione di C2(s) viene fatta scegliendo, e mettendo in cascata, un opportuno numero di sistemi di forma standard, i cui parametri sono selezionati in modo da ottenere il soddisfacimento delle specifiche Tali sistemi vengono in genere detti reti compensatrici in riferimento alla possibilità di realizzarli tramite reti elettriche Le più comuni sono le funzioni compensatrici elementari, caratterizzate dal fatto di possedere un solo polo, un solo zero, e di avere guadagno unitario Le funzioni compensatrici elementari possono essere reti anticipatrici o attenuatrici

6 Rete anticipatrice + τs R a (s) = τ + s m m 6 Ha una azione stabilizzante sul sistema controllato perché anticipa la fase, consentendo di aumentare il margine di fase alla ωtd Se non viene scelto τ opportunamente si ha una amplificazione dei moduli che aumenta la ωt, se questo non è accettabile ωtd τ

7 Realizzazione circuitale tramite rete elettrica + τs R a (s) = α τ + s m α R 2 = = τ = R C m R + R 2

8 Diagrammi non asintotici della rete anticipatrice

9 Rete attenuatrice τ + s R (s) m A = + τs Ha una azione stabilizzante sul sistema controllato perché attenua il modulo, diminuendo la ωt e consentendo quindi di aumentare il margine di fase Se non viene scelto τ opportunamente si ha un ritardo delle fasi, se questo non è accettabile ωtd τ =,

10 Realizzazione della rete attenuatrice tramite rete elettrica τ + s R (s) m A = + τs τ = (R + R 2)C m = R + R R 2 2

11 Diagrammi non asintotici delle reti attenuatrici

12 Altri tipi di reti compensatrici

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15 esempio P( s) = s + Specifiche: eu = er, S% < 25% Progettazione del compensatore statico: C ( s) = e r K s =, K K e r K K = K = lim sc s P s = s K p S s s s + = ( ) ( ) lim p ~ L( s) = s( s + )

16 Analizziamo le prestazioni a ciclo chiuso del sistema con e senza compensatore statico:.8.6 Step Response senza C(s) con C(s).4.2 Amplitude Time (sec)

17 Conversione delle specifiche: S% < 25% ζ >,4 > 45 M ϕd

18 Progettazione del compensatore dinamico In questo esempio, non avendo specifiche sulla ωt, si può procedere in due modi:. Aumentare il margine di fase lasciando invariata ωt 2. Diminuire ωt fino ad ottenere il margine di fase richiesto

19 Procedura : lasciamo invariata ωt ω td = ω t 3 alla pulsazione desiderata il margine di fase del processo compensato staticamente è: M ϕ 8 Il compensatore dinamico deve introdurre alla pulsazione ω=3 rad/sec un anticipo di fase pari a: ϕ = M = 45 8 = 27 M ϕ d ϕ

20 Scelta della rete anticipatrice Si introduce comunque una attenuazione! ϕ = M ϕ d M ϕ = 45 8 = 27 ω td τ = τ = = ωtd 3 m = 4 R a ( s) = + τs τ + s m = + s 3 + s 2

21 Analisi in frequenza del processo compensato L(s) Bode Diagrams Gm = Inf, Pm= deg. (at rad/sec) ω t = 3,9 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) È aumentata: Si allarga la banda in cui si ha fedeltà di risposta, il sist. è più veloce, potrebbero entrare i rumori di misura M ϕ L( s) = = 48,8 + s 3 s( s + ) + s 2

22 Procedura 2: Diminuire ωt fino ad ottenere il margine di fase richiesto Il margine di fase desiderato si ha alla pulsazione ω= affinchè ω= diventi la nuova pulsazione di attrav. si deve attenuare il modulo di 7db a ω= rete attenuatrice

23 Scelta della rete attenuatrice -7 m=8 ωt* τ= per ωt= τ= τ + s + s R m 8 A (s) = = + τs + s si ha un ritardo delle fasi di circa 3 gradi

24 Analisi in frequenza del 5 processo compensato Bode Diagram Magnitude (db) 5-5 S ystem: unt itled Frequency (rad/s ec):.95 Magnitude (db): Phase (deg) -35 S ystem: unt itled Frequency (rad/s ec):.876 Phase (deg): Frequency (rad/sec) Il margine di fase è pari a quanto richiesto

25 Magnitude (db) Confronto delle risposte in frequenza a catena aperta B ode Diagram p(s) con anticipatrice con attenuatrice Phase (deg) Frequency (rad/sec)

26 Confronto: risposte al gradino a catena chiusa St ep Response con comp. statico c on comp. static o+anticipatrice c on comp. static o+at tenuatrice.2 Amplitude Time (sec) Con la rete anticipatrice abbiamo ottenuto un sistema più veloce (ha una ωt> e quindi banda più larga) e con s% < rispetto a quello compensato con la rete attenuatrice

27 confronto: risposte in frequenza del sistema a ciclo chiuso 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) con C(s) con C(s)+anticipatrice con C(s)+at tenuatrice Come previsto il sistema con S% < ha anche Mr< e la rete attenuatrice ha diminuito la Banda passante Frequency (rad/sec)

28 esempio Inseriamo anche una specifica sulla B P( s) = s + p eu = er, S% < 25% B 3 rad/sec Progettazione del compensatore statico: K C ( s) = e K = lim sc ( s) P( s) r S s K e r =, K K K = = lim s K p s s s + = Specifiche: ~ L( s) = s( s + )

29 Analisi della risposta armonica del processo compensato staticamente 8 B ode Diagram Magnitude (db) System: g Frequency (rad/sec):. 99 Magnitude (db): 7.8 Per soddisfare le specifiche: - attenuare di 7db - anticipare di (53-35)= Phase (deg) -35 System: g Frequency (rad/sec): Phase (deg): Frequency (rad/sec)

30 Scelta delle reti: attenuare di 7db e anticipare di 8 Scegliamo prima la rete anticipatrice: Per anticipare senza amplificare troppo il modulo scegliamo: ωτ =.8 per ωt = ω = 2 τ = t con m=3 si ha già un anticipo di 23, superiore a quanto richiesto td Dal diagramma dei moduli si vede che in questo modo introduciamo una amplificazione di circa 2 db, dovremo quindi attenuare di 7+2db,4

31 Scegliamo la rete attenuatrice per attenuare di 9db senza ritardare eccessivamente la fase: Dall analisi dei grafici si vede che è sufficiente scegliere m=3 per ωtd*τ=, cioè τ=/2 per attenuare di 9db, ritardando la fase di circa 3, poiché avevamo anticipato di 5 in più la scelta dovrebbe andare bene

32 Analisi in frequenza del sistema a ciclo aperto + τs +,4s R a ( s) = = τ,4 + s + s m 3 Magnitude (db) 5-5 B ode Diagram System: l Frequency (rad/sec): 2.6 M ag nitud e (db ): -. 9 τ 5 + s + s R m 3 A (s) = = + τs + 5s con C(s)+ant+att con C(s) Phase (deg) System: l Frequency (rad/sec): 2.8 P has e (de g): Frequency (rad/sec) Le specifiche a catena aperta sono rispettate

33 Analisi in frequenza del sistema a ciclo chiuso Magnitude (db) B ode Diagram System: w Frequency (rad/sec): 2.96 Magnitude (db): Phase (deg) Frequency (rad/sec) La specifica sulla B è rispettata

34 Analisi nel dominio del tempo.4 Step Response.2 Amplitude Time (sec) Le specifiche nel dominio del tempo sono rispettate

35 Esempio di sintesi di un sistema di controllo Si vuole realizzare un asservimento di posizione impiegando un motore elettrico a corrente continua controllato sull eccitazione con corrente di armatura costante θu potenziometro + - amplificatore compensatore motore riduttore θy potenziometro

36 Potenziometri: volt k p = 4 rad Motore: P( s) k m = = km s( + τ s)( + τ s) rad 65 sec e m τ m =,2sec τ e = volt.3sec Riduttore: k r = 7

37 Specifiche: Errore a regime per ingressi costanti nullo Errore a regime per ingressi a rampa <=.rad Banda passante pari a circa 8 rad/sec (corrisponde ad una pulsazione di attraversamento di circa rad/sec) Modulo alla risonanza non superiore a 2db (corrisponde ad un margine di fase di circa 5 )

38 >> te=.3 te =.3 >> tm=.2 tm = 2 8 Step Response.2 >> km=65 km = 65 Amplitude 6 4 >> g=km/(s*(+te*s)*(+tm*s)) Transfer function: s^ s^2 + s >> step(g) Time (sec) Risposta al gradino del sistema a catena aperta

39 Risposta al gradino del sistema in retroazione senza controllore >> kp=4 kp = 4 >> kr=/7.4.2 Step Response kr =.43 >> w=feedback(g*kr*kp,) Transfer function: s^ s^2 + s >> step(w) Amplitude Time (sec) L errore al gradino è gia nullo

40 Risposta alla rampa del sistema in retroazione senza controllore >>t=[:.:5]; >> lsim(w,t,t) Linear Simulation Results L errore alla rampa è costante ma il valore non è quello desiderato, è necessario modificare il guadagno della funzione di catena diretta tramite il controllore K>=27 Amplitude Time (sec)

41 Risposta al gradino del sistema in retroazione compensato staticamente >> k=27 k = Step Response >> ws=feedback(k*g*kr*kp,) Amplitude -2 Transfer function: s^ s^2 + s Time (sec) >> step(w) E diventato instabile!

42 Analisi in frequenza del sistema a >> gs=k*g*kr*kp Transfer function: s^ s^2 + s catena aperta Magnitude (db) Bode Diagram gs gns >> gns=g*kr*kp Transfer function: s^ s^2 + s >> bode(gs,gns) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

43 Analisi in frequenza del sistema a catena aperta Bode Diagram G m = db (at 2.9 rad/s ec ), Pm = -7.7 deg (at 2.4 rad/s ec ) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) La pulsazione di attraversamento deve passare da 2.4 rad/sec a rad/sec (attenuazione dei moduli) ed alla pulsazione la fase deve essere fx=-3 (anticipo delle fasi >4 ) (5=8+fx)

44 Scelta delle reti compensatrici Anticipatrice: + τ as Cant ( s) = τ a + s m τ a m a =,2sec = 6 a Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec)

45 Sistema con rete anticipatrice >> ta=.2 ma=6 ta =.2 Magnitude (db) 5-5 System: untitled Frequency (rad/sec):.6 Magnitude (db): 8.6 Bode Diagram gs*cant gs ma = Phase (deg) >> can=(+ta*s)/(+ta/ma*s) Transfer function:.2 s s + >> bode(can*gs,gs) System: untitled Frequency (rad/sec):.2 Phase (deg): Frequency (rad/sec) Alla pulsazione la fase è quella richiesta, adesso si deve attenuare di 8 db

46 Scelta della rete attenuatrice C τ m att att att ( s) = = 5sec = 8 τ + m + τ att att att s s Magnitude (db) Bode Diagram Phase (deg) Frequency (rad/sec)

47 Sistema compensato bode(catt*can*gs) Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Le specifiche a catena aperta sono rispettate

48 Analisi in frequenza del sistema a ciclo chiuso >> wcomp=feedback(catt*can*gs,) Transfer function: 2.54 s^ s s^ s^ s^ s^ s +.3 Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram System: w comp Frequency (rad/sec): 2.3 Magnitude (db): -3. >> bode(wcomp) Frequency (rad/sec) Anche le specifiche a ciclo chiuso nel dominio della frequenza sono rispettate

49 Analisi nel dominio del tempo step(wcomp,w).4.2 Step Response wcomp w Amplitude Time (sec)

50 2.8 Linear Simulation Results wcomp w Amplitude >> t=[:.:2]; >> lsim(wcomp,w,t,t) Time (sec)

51 P( s) = s + esempio Specifiche: eu = er, mϕ > 45 ωt = 5rad / sec Progettazione del compensatore statico: C ( s) = e r K s =, K K e r K K = K = lim sc s P s = s K p S s s s + = ( ) ( ) lim p ~ L( s) = s( s + )

52 Analisi in frequenza del processo compensato staticamente 8 6 Bode Diagram Magnitude (db) System: g Frequency (rad/ sec): 5 Magnitude (db): -8.4 Phase (deg) -35 System: g Frequency (rad/ sec): 5. Phas e (deg): Frequency (rad/sec) Per soddisfare le specifiche bisogna amplificare di 8db a anticipare di 7-35=35 Dovrebbe bastare una sola rete anticipatrice con un eventuale guadagno

53 Scelta della rete: amplificare di 8 db e anticipare di 35 a ω=5rad/sec Per anticipare amplificando anche il modulo scegliamo: ωτ = 3 per ωt = ω = 5 τ = t td con m=6 si ha un anticipo di 45, superiore a quanto richiesto, con una amplificazione di circa 8 db,6

54 Analisi in frequenza a catena aperta del sistema controllato + τs +,6s R a ( s) = = τ,6 + s + s m 6 Magnitude (db) Bode Diagram Le specifiche sono rispettate System: l Frequenc y (rad/sec): 5.3 Magnitude (db):.65 Phase (deg) System: l Frequenc y (rad/sec): 5.3 Phase (deg): Frequency (rad/sec)

55 Analisi in frequenza a catena chiusa del sistema controllato 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

56 Analisi nel dominio del tempo.4 Step Response.2 Amplitude Time (sec)