Pertanto la funzione di trasferimento complessiva in catena aperta (open-loop) W(S) del sistema di controllo sarà data da:

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1 M045 - EAME DI TATO 20 ) chema a blocchi e funzione di traferimento in catena aperta W() Il itema di controllo può eere chematizzato con il eguente chema a blocchi: dove: KP 3.2. V V Greg( ) KP (f.d.t. del regolatore proporzionale) Gc( ) V V Gmot( ) 50. rad 0.8. rad. V rad (f.d.t. del blocco di comando-amplificatore e. regolatore di tenione a controllo di fae o PWM) (f.d.t. del motore+carico con comando tramite tenione d'armatura) Gret( ) V.. rad (f.d.t. del traduttore + condizionatore e. dinamo tachimetrica + filtro paa bao) Pertanto la funzione di traferimento compleiva in catena aperta (open-loop) W() del itema di controllo arà data da: W( ) Greg( ). Gc( ). Gmot( ). Gret( ) 2) tabilità del itema di controllo, margini di fae e di ampiezza Dalla analii della f.d.t. W() i ricava che: - cotante di guadagno tatico in open-loop: KTW W 0. rad KTW = 0 - non ci ono zeri - ci ono tre poli con le eguenti pulazioni di taglio: Prof. Daniele TREVIANI -

2 ωp 50. rad ωp rad ωp rad cioè ωp rad = E' pertanto poibile procedere al tracciamento manuale dei diagrami aintotici di Bode del modulo e della fae. Di eguito i riportano i diagrammi reali del modulo e della fae ottenuti con un opportuno programma di calcolo: - variazione in cala logaritmica della pulazione: x 0, ω( x) 0 x. rad - epreione del modulo della f.d.t.: M( x) W( j. ω( x) ) MdB( x) 20. log( M( x) ) ec j - epreione della fae della f.d.t.: φ( x) 80. arg( W( j. ω( x) )) φc( x) if( φ( x) > 0, φ( x) 360, φ( x) ) Diagramma di Bode del MODULO MdB( x) ω( x) Diagramma di Bode della FAE φc( x) ω( x) Prof. Daniele TREVIANI -

3 Il itema in catena chiua riulterà icuramente tabile in quanto il diagramma del modulo della f.d.t. in catena aperta attravera l'ae delle pulazioni con una pendenza di oli -20dB/decade. i procede ora ad una valutazione del "grado" di tale tabilità valutando i margini di fae e di guadagno (con KP = 3.2). Ricordando le epreioni del modulo e della fae di W(): M( ω ) W( j. ω ) MdB( ω ) 20. log( M( ω )) φ( ω ) 80. arg( W( j. ω )) φc( ω ) if( φ( ω ) > 0, φ( ω ) 360, φ( ω ) ) e indicando con ω0db la pulazione alla quale il modulo vale 0dB e con ω80 la pulazione alla quale la fae vale -80, i ricava (manualmente, in modo approimato dai grafici, o per via numerica): Margine di Fae (MF) Margine di Guadagno (MG) ω0db root( MdB( ω ), ω ) ω80 root( φc( ω ) 80, ω ) ω0db = rad ω rad = φ( ω0db) = 2.65 MdB( ω80) = MF φ( ω0db) 80 MG MdB( ω80) MF = deg MG = db Attravero un opportuno programma di calcolo, ad e. MATLAB, è poibile calcolore i poli del itema in catena chiua che riultano: p ( 272 j. 448). rad p2 ( 272 j. 448). rad p rad Ei riultano tutti a parte reale negativa, ad ulteriore e definitiva conferma che il itema in catena chiua riulterà tabile. 3) Velocità del motore con un riferimento: Vref 5. V i determina l'epreione della funzione di traferimento in catena chiua, a partire dalle epreioni delle f.d.t. della catena diretta e di quella di retroazione: Gdir( ) Greg( ). Gc( ). Gmot( ) G( ) Gdir( ) Gdir( ). Gret( ) i procede quindi al calcolo della cotante di guadagno tatico del itema: KTG G 0. rad KTG = rad V. Prof. Daniele TREVIANI -

4 A regime dunque il motore ruoterà ad una velocità angolare pari a: ωmot KTG. Vref ωmot = rad ovvero, in giri al minuto: nmot ωmot. nmot = min 2. 4) Effetti della cotante del regolatore u preciione, velocità e tabilità del itema di controllo Un aumento della cotante del regolatore, e dunque del guadagno tatico della catena diretta, da 3.2 a 8 (cioè di 2.5 volte) determina: - la diminuzione dell'errore tatico a regime di poizione (e dunque migliora la preciione); - l'aumento della pulazione di incrocio e dunque la banda paante ovvero i riducono i tempi di ripota del itema, migliorando la ua prontezza/velocità; - i riducono i margini di fae e di guadagno peggiorando la tabilità. In particolare, trattandoi di un itema di tipo "0" (enza poli nell'origine) i ottiene: Errore tatico a regime al gradino unitario con KP = 3.2 e con KP = 8 ep KTW ep = 9.09 % ep KTW. 2.5 ep = % Tempo di ripota del itema in catena chiua Per una più agevole trattazione "a mano" i approima la funzione di traferimento in catena chiua ad un itema del econdo ordine coniderando i due poli dominanti (i tracurano i ritardi introdotti dalla catena di retroazione) e le relative pulazioni d'angolo: ωp 50. rad ωp rad Gappr( ) KP KP che, può eere emplificata nella epreione: Gappr( ) 50 KP. 50. KP Prof. Daniele TREVIANI -

5 ovvero: Gappr( ) KP ( ) ( KP. 3.25) Dunque i valori della pulazione naturale ωn, del fattore di morzamento ζ, dei tempi di picco tp e di aetamento ta5% del itema in catena chiua approimato valgono: KP 3.2 ωn ωp. ωp2. ( KP. 3.25) ωn = rad ζ ωp ωp2 2. ωn ζ = ωd ωn. ζ 2 ωd = Hz tp ωd tp = con una ovraelongazione pari a: e. ζ ζ 2 = % ripetto ad un valore di regime pari a: YREG KP rad 3 3. V. Vref YREG = rad ωn 2 Infine il tempo di aetamento al 5% arà pari: ta5% 3 ζ. ωn ta5% = 0.0 Nel cao invece di KP 8 i ottengono i eguenti valori: ωn ωp. ωp2. ( KP. 3.25) ωn = rad ζ ωp ωp2 2. ωn ζ = 0.34 ωd ωn. ζ 2 ωd = Hz tp ωd tp = Prof. Daniele TREVIANI -

6 con una ovraelongazione pari a: e. ζ ζ 2 = % ripetto ad un valore di regime pari a: YREG KP rad 3 3. V. Vref YREG = rad ωn 2 Infine il tempo di aetamento al 5% arà pari: ta5% 3 ζ. ωn ta5% = 0.0 tabilità del itema Il più che raddoppiato valore della ovraelongazione è un indice della peggiorata tabilità del itema nel cao di KP = 8. E' poibile inoltre ricalcolare i margini di fae e di guadagno in tali condizioni. i ottiene: M( ω ) W ( j. ω ) MdB( ω ) 20. log( M( ω )) mentre non cambia l'epreione della fae: φ( ω ) 80. arg( W( j. ω )) φc( ω ) if( φ( ω ) > 0, φ( ω ) 360, φ( ω ) ) i ricava: Margine di Fae (MF) Margine di Guadagno (MG) ω0db root( MdB( ω ), ω ) ω80 root( φc( ω ) 80, ω ) ω0db = rad ω rad = φ( ω0db) = 4.84 MdB( ω80) = MF φ( ω0db) 80 MG MdB( ω80) MF = deg MG = db Come i vede il margine di fae i è fortemente ridotto, indice del notevole peggioramento del grado di tabilità del itema in catena chiua. Attravero un opportuno programma di calcolo, ad e. MATLAB, è poibile calcolore i poli del itema in catena chiua che riultano: p ( 269 j. 760). rad p2 ( 269 j. 760). rad p rad Ei riultano ancora tutti a parte reale negativa, ad ulteriore conferma che il itema in catena chiua riulterà ancora tabile, ma i è ridotto il modulo della parte reale. Prof. Daniele TREVIANI -

7 Infine, per una migliore comprenione "viiva" degli effetti di una variazione della cotante del regolatore, i riportano i grafici della ripota nel dominio del tempo del itema in catena chiua completo (3 poli) ad un gradino di tenione Vref pari a 5V nei due cai di KP = 3.2 e KP = 8. Prof. Daniele TREVIANI -

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