Esercitazione 16 Novembre 2012 Circuiti dinamici del secondo ordine. t come riportato in figura.

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1 Eercitazione Noembre ircuiti dinamici del econdo ordine ircuito L- erie Per quanto riguarda queto circuito, l eercizio egue la traccia della oluzione del compito d eame numero, reperibile in rete al olito indirizzo: ircuito L- parallelo Si conideri il circuito di Fig a regime con l interruttore T aperto per t < All itante t l interruttore i chiude intaurando un tranitorio Si determini l andamento temporale della corrente i t come riportato in figura () i R Vo L R T V R o V Ω R Ω L mh mf ( ) V Fig: ircuito L- parallelo Biogna troare la condizione iniziale per l induttanza, che non è preente tra i dati del problema Per fare ciò i dee determinare il alore della corrente ull induttanza prima che l interruttore i chiuda Poiché il circuito è a regime, i erifica facilmente che, imponendo il cortocircuito ulla induttanza, i ha i Vo A R L

2 i R A T Vo R L B Fig: Dopo la chiuura dell interruttore Si nota ubito che l induttanza e la capacità ono in parallelo, per cui è poibile fruttare il bipolo di Norton per riolere il problema, anziché ricorrere al doppio-bipolo ibrido I parametri uialenti ono molto facili da troare: la reitenza a generatori annullati e la corrente che circola in cortocircuito R I RR R R V R o A 5 Ω In Fig, è riportato il circuito uialente econdo Norton appena calcolato A i I R L B Fig: ircuito uialente econdo Norton on riferimento alle grandezze riportate in Fig, i procede con la crittura delle LK al nodo A E poibile criere: i I il R Dalla relazione cotitutia del condenatore, i ricaa l epreione della corrente i e la i otituice nell uazione di nodo

3 I d il R Deriando entrambi i membri dell uazione appena troata, i raggiunge la forma omogenea, poiché la corrente del generatore è cotante e quindi ha deriata nulla di d dil d R Ricordando la relazione cotitutia dell induttore, i ha: dil dil L L L L L L uazione finale da riolere, riulta eere: Ponendo d d R L d d R L α R ωo L l uazione differenziale dienta: 5 5 rad L uazione caratteritica, che riulta eere & α& ω o α ωo preenta la eguente coppia di oluzioni:, α ± α ωo ± 5 5 5, 5, Poiché α > ωo >, la ripota è di tipo oramorzato ed è decritta dall uazione: t t () t K K e e

4 Per troare K e K anno uate le condizioni iniziali troate all inizio dell eercizio Biogna però legare la condizione ulla corrente di induttanza alla deriata della tenione di condenatore Per fare ciò, i conideri l uazione al nodo A critta per l tante t I ( ) ( ) d () I ( ) i ( ) d L il ( ) R R Numericamente i ha: ( ) d Per determinare i parametri dell uazione i dee riolere il eguente itema: Si ha quindi: & ( ) K K ( ) K K K K K K 8,558,558 5, K 5, K L uazione che decrie l andamento temporale della tenione ul condenatore è: t 5, t,5 t (),558 e,558 e Per riolere l eercizio propoto, biogna calcolare l andamento della corrente i () t Per fare ciò, i ritorna al circuito iniziale (Fig ) e i applica la LKV alla maglia contenete il generatore e la tenione appena calcolata () t V 5, t,5 t () t,558 e,558 e t t o 5,,5 i, e,9 e R 8 5 Tenione del condenatore [V] orrente erogata dal generatore [A] Tempo [] 8 8 Tempo [] Fig : Andamento della tenione ul condenatore Fig 5: Andamento della corrente erogata dal generatore

5 Rioluzione enza metodo itematico Si faccia riferimento al circuito di Fig Il circuito non preenta generatori indipendenti ed è pertanto oggetto alla ola eoluzione libera determinata dalle condizioni iniziali del condenatore e dell induttanza L interruttore T è inizialmente aperto, quindi il condenatore può caricari ulla reitenza R mentre la corrente ull induttanza dorà eere nulla i i T i R R L L Fig: ircuito enza generatori indipendenti All itante t l interruttore i chiude e la carica reidua del condenatore intaura un tranitorio di eoluzione libera che, matematicamente, è aociato alla ola uazione omogenea Per determinare l andamento delle grandezze i procede enza l uo di un metodo itematico, ma applicando le leggi di Kirchhoff Il circuito preenta anelli e nodi, quindi un totale di uazioni doute alle leggi di Kirchhoff e uazioni di legame materiale L i i i i il d i dil L L Ri Ri Il problema che ora i preenta è quello di troare un uazione differenziale in un'unica ariabile di tato che in queto cao può eere la corrente di induttore o la tenione di condenatore erchiamo di eprimere tutto in relazione alla tenione di condenatore Per tanto i parte dalla terza uazione di Kirchhoff e i otituicono le relazioni di legame materiale che coinolgono le correnti i e i d i R Sfruttando la prima uazione di Kirchhoff i ottiene: d i R 5

6 Per quanto riguarda la corrente i, abbiamo a dipoizione una relazione di legame materiale che contiene la ua deriata e che prima o poi è neceario introdurre, quindi deriiamo l uazione appena troata per fare comparire i& d d di R A queto punto, otituendo la legge di legame materiale dell induttanza, i ottiene: d d L R L Sfruttando la econda legge di Kirchhoff, è poibile determinare L in funzione della tenione di condenatore e di e quindi: d d R L d d R L L Rimane olo la tenione da riferire alla tenione del condenatore Per fare ciò i frutta la relazione di legame materiale dell a reitenza R facendo ricomparire la corrente i d d R i R L L iò potrebbe embrare un controeno, ma al contrario di quanto accade per i itemi algebrici nei quali ogni uazione può eere utilizzata una ola olta, in queto cao poiamo riutilizzare l uazione di nodo perché lo facciamo dopo aer compiuto una deriazione Quindi: d d R ( i i ) R L L d d R R d R L R L L Riaggiutando l uazione appena troata i periene alla forma finale dell uazione del econdo ordine nella ariabile di tato d R d R R L L R

7 E ora poibile riportari alla forma normalizzata diidendo entrambi i membri per il coefficiente del termine di ordine maggiore, cioè d R d R L R L R Ricordandoi l epreione generale delle uazioni di econdo ordine, poiamo indiiduare i coefficienti α e ω dell uazione nella forma generale: Nel cao pecifico i ha: Gli autoalori dell uazione ono: & x αx& ω x R α R L R ω L R, α ± α ω In dipendenza dal termine otto radice, è poibile aere due cai: pulazione morzata o morzamento emplice Se α > ω, la oluzione finale è del tipo: t t x( t) ke ke Se α < ω è ancora poibile criere la oluzione nella forma precedente, ma riulta più comodo introdurre un nuoo parametro ω d ω e eprimere la oluzione nella forma: α ( ω t θ) α x( t) ke t co d 7