CAPITOLO IV ANALISI E PROGETTO DI UN CONVERTITORE DC-DC DEL TIPO SWITCHING STEP_UP

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1 CAPITOLO IV ANALISI E PROGETTO DI UN CONVERTITORE DC-DC DEL TIPO SWITCHING STEP_UP 1 Introduzione Gli alimentatoriwitching ( a commutazione), ono in grado di contenere la potenza diipata molto meglio dei comuni alimentatori. Queta caratteritica rende gli alimentatori a commutazione più adatti di quelli lineari nelle applicazioni in cui è neceario fornire al carico potenze abbatanza elevate. Oltre alla riduzione della potenza diipata, gli alimentatori witching conentono, grazie alla loro truttura circuitale di utilizzare traformatori di dimenione ridotta oppure di non utilizzarne affatto. Ciò permette una riduzione notevole dell ingombro circuitale. I convertitori DC-DC enza traformatore ono realizzati econdo tre tipologie fondamentali: Step_down, Step-up e inverting. Nella configurazione Step_down la tenione di ucita è minore di quella di ingreo, configurazione Stp-up la tenione di ucita è maggiore di quella di ingreo ed infine nella configurazione inverter la tenione di ucita ha polarità oppote a quella di ingreo. Nel preente capitolo verrà analizzato il funzionamento di unalimentatore witching del tipo Step-up. Per l analii del circuito verrà utilizzato il principio di conervazione dell energia. Verranno infine propote le formule di progetto. Circuito bae In figura.1 è rappreentato il circuito bae di un alimentatore witching del tipo tep_up La commutazione del tato T conente di definire due ditinte fai di lavoro : una fae on, in cui i tato T è chiuo e una fae OFF in cui il tato è aperto. Nel circuito reale la funzione del tato arà volta da un mofet. Durante la fae ON l induttanza accumula energia magnetica dal generatore. Contemporaneamente il diodo è interdetto ed il condenatore cede la ua energia al carico.

2 Nella condizione di regime tabile la corrente ull induttanza eguirà l andamento di figura. Mentre la tenione ul condenatore e quindi ul carico quello di figura.3 Durante la fae ON il valore della corrente ull induttanza crece dal uo valore minimo ilmin al uo valore maimo ilmax. Durante queto intervallo di tempo l energia fornita dal generatore è accumulata dall induttanza otto forma di campo magnetico. Contemporaneamente a queta fae il condenatore i carica ul carico cedendo coì la ua energia elettrotatica. Durante la fae OFF la corrente ull induttanza decrece dal uo valore maimo ilmax al uo valore minimo ilmin. Durante queta intervallo di tempo l energia magnetica accumulata dall induttanza nella precedente fae viene ceduta al condenatore che ubirà un proceo di carica. Di eguito con le lettere maiucole i indicheranno le correnti medie mentre con le lettere minucole le correnti itantanee. 3 Correnti e potenze medie

3 In queto paragrafo dimotreremo che il valore della corrente media ICul condenatore e il valore delle potenze medie PC e PL ripettivamente ul condenatore e ull induttanza ono nulli. Per definizione di corrente media i ha: IC = 1 T S i T c dt = S 1 T S dq T S 1 dt = (Q(TS) Q()) = C ( vc(t) vc())= dt T S T S = C T S ( vomx vomax) = Quindi la corrente media ul condenatore è uguale a zero. Per definizione di potenza media avremo: PL = 1 T S v T L i L dt = S Allo teo modo: 1 T S L di L T S i dt Ldt = [ 1 i T S L ] L T S L = (i T Lmin S i Lmin ) = PC = 1 T S v T c i c dt = S 1 T S Q dq CT S dt dt = 1 [ 1 T S CT S Q C = (v ] T omax S v omax ) = 4 Modi di funzionamento : Modo continuo CCM e modo DicontinuoDCD Nel preente paragrafo, ricaveremo la relazione che lega la corrente media ull induttanza IL alla corrente media ul carico I. L analii aume che l andamento della corrente il nel Conduttore abbia un andamento lineare come quello motrato in figura.. In realtà queto non è vero, per cui l analii introdotta è una ragionevole approimazione che permette di riolvere analiticamente il problema. Queto tudio, però èufficientemente accurato per molte ituazioni pratiche. Vengono poi decritti i due poibili modi di funzionamento del convertitore. Durante il ciclo OFF la corrente ull induttanza viene uddivia tra il condenatore e il Carico, mentre durante la fae ON la corrente ul condenatore è riverata ul carico. Vedi figura

4 Dove il, io e ic ono le correnti itantanee. Si può quindi crivere i = il - ic in fae OFF - ic in fae ON La corrente media I ul carico è quindi data da: I = 1 i T dt = T on 1 T on T on+ T off i T dt + 1 i T dt = T on+ T off T on = 1 i T c dt + 1 i T L dt 1 T on T on+ T off i c dt = T on T on+ T off = 1 i c dt + 1 i L dt T on Ora il primi termine nell ultima relazione deve eere nullo in quanto la corrente media ul condenatore è nulla. Si può quindi crivere: 4.1 I = 1 T on+ T off i T L dt T on Nelle fig. (4.1), (4.) e (4.3) ono motrati i tre cai poibili che i poono preentare I modi di funzionamento di fig. (4.1) e (4.) ono detti modi di funzionamento in continua CCM in quanto la corrente il corre per tutto il periodo T. L ultima modalità di funzionamento decritto dalla figura 4.3 è detto modo di funzionamento dicontinuodcd, in quanto la correnti il non corre per tutto l intero periodo T. Quet ultima modalità di funzionamento i determina quando il aume il valore nullo ( interdicendo in tal modo il diodo) prima che finica la fae OFF.

5 Dimotriamo ora che valgono le eguenti relazioni tra le correnti medie IL e I ripettivamente ull induttore e il carico. 4. I = IL (1-D) nel cao continuo CCM D I = IL D 1 +D nel cao dicontinuo DCM

6 Con D1 = T 1 CASO CONTINUO CCM Senza perdere in generalità ( bata poi porre nelle formule i Lmin = )poiamo coniderare l andamento della corrente il come quello di fig.4.1 Dalla 4.1 e dalla figura 4.1 i ricava: 4.4 I = 1 T on+ T off i T L dt = 1 [ 1 T T on T S off i L + T off i Lmin ] = = 1 i L T off + T off i Lmin Ora empre dalla figura 4.1 i ricava: IL = 1 i L dt = 1 T S [ 1 T S i L + i Lmin ] = 1 i L + i Lmin Riolvendo ripetto a il i trova: 4.5 il = ( IL ilmin) Sotituendo queta formula nella 4.4 i ricava: I = 1 ( IL ilmin)t off + T off T off i Lmin = IL Ricordando la definizione del ciclo utile D la relazione precedente può eere critta: 4.6 I = IL (1-D) Ciò prova la 4. CASO DISCONTINUO DCM Dalla 4.1 e dalla figura 4.3 i ricava: 4.7 I = 1 T on+ T 1 i T L dt = 1 T i on L D 1 Ma

7 IL = 1 i L dt = 1 T on +T 1 i T L dt = 1 1 i L (T on +T 1 ) = 1 i L (D + D1) Ricavando 1 i L da quet ultima equazione e otituendolo nella 4.7 i ricava la Minima corrente di carico che garantice il funzionamento continuo Definiamo la corrente critica I(cr) come 5.1 I(cr) = 1 i L (1-D) Dimotriamo quindi il eguente teorema: Teorema 5.1 Sia Ila corrente media ul carico. (i) I> I(cr)e e olo e il convertitore lavora in modalità continua econdo la fig. 4.1 (ii) I = I(cr)e e olo e il convertitore lavora in modalità continua econdo la fig. 4. (ii) I< I(cr)e e olo e il convertitore lavora econdo la modalità dicontinua di fig.4.3. Dimotrazione Dimotriamo la (i). Supponiamo dapprimai> I(cr). Supponiamo per aurdo la tei nonvera. Allora poiché le modalità di funzionamento ono in totale tre egue che retano due poibilità: POSSIBILITA 1: Quella di figura 4. POSSIBILITA : Quella di fig.4.3 Dimotriamo che in entrambi i cai i raggiunge una propoizione aurda. Infatti, e iamo nelle condizioni di fig.4. ( poibilità1) allora, poiamo crivere dalla 4. I = IL (1-D) Ma dalla figura 4. IL = 1 i L. Sotituendo nella precedente equazione i trova I = 1 i L (1-D) = I(cr)

8 Contraddizione con l ipotei. Se ora iamo nelle condizioni di fig.4.3 ( poibilità ) allora dalla 4.3 Ma dalla fig 4.3 I = IL D 1 D 1 +D IL = 1 i L (D+D1) Sotituendo nella precedente equazione i trova: I = 1 i L D1 = 1 i L T 1 < 1 i L T off = I(cr) Contraddizione con l ipotei. La tei è quindi dimotrata. Dimotriamo il vicevera. Supponiamo quindi che Il convertitore lavori econdo la fig 4.1. Allora dalla figura 4.1 i ricava: IL = 1 i L + Imin Dalla 4. i ricava quindi che I I = IL (1-D) Sotituendo quet ultima formula nella precedente i ottiene: I = 1 i L (1-D) + Imin(1-D) > 1 i L (1-D) = I(cr) La tei (i) è quindi dimotrata. Dimotriamo la (ii). Supponiamo dapprima I = I(cr) e upponiamo la tei non vera. Allora retano due ole modalità di funzionamento del convertitore POSSIBILITA 1 : Quella di fig.4.1 POSSIBILITA : Quella di figura 4.3 Dimotriamo anche in queto cao che le due poibilità uddette portano ad una contraddizione. Infatti e iamo nelle condizione di fig.4.1 allora per la tei(i) dovrebbe eere I> I(cr) in contraddizione con l ipotei I = I(cr). Vicevera e iamo nelle condizione di fig.4.3 allora dalla 4.3 i ha: I = IL D 1 D 1 +D Ma dalla figura 4.3 i ha: IL = 1 i L (D+D1). Sotituendo quet ultima formula nella precedente otteniamo:

9 I = 1 i L D1= 1 i L T 1 <= 1 i L T off = 1 i L (1-D) = I(cr) In contraddizione con l ipotei I = I(cr). Dimotriamo il vicevera upponiamo quindi che il convertitore lavori econdo le modalità di fig.4.. Dalla figura 4. i ottiene IL = 1 i L Ma per la 4. I = I L (1-D). Sotituendo i ha infine I = 1 i L (1-D) = I(cr). La tei (ii) è quindi completamente dimotrata. Dimotriamo la tei (iii). Supponiamo dapprima che I< I(cr) e upponiamo per aurdo che il funzionamento del convertitore non ia quello di figura4.3. Da ciò egue che i avranno due ole poibilità. POSSIBILITA 1 : Il convertitore funziona econdo le modalità di fig4.1. Ma queto è aurdo in quanto per la tei (i) dovrebbe eere I> I(cr) in contraddizione con l ipotei I< I(cr) POSSIBILITA : IIl convertitore funziona econdo le modalità di fig4.. Ma queto è aurdo in quanto per la tei (ii) dovrebbe eere I = I(cr) in contraddizione con l ipotei I< I(cr) Dimotriamo il vicevera. Supponiamo quindi che il circuito funzioni econdo le modalità di fig.4.3. In tale ipotei dalla fig.4.3 i avra: IL= 1 i L (D+D1) D 1 Ma dalla 4.3 I = IL D 1 +D. Sotituendo i trova I = 1 i L D1 = 1 i T 1 L <= 1 i L Il teorema è quindi completamente dimotrato. T off = 1 i L (1-D) = I(cr) c.v.d Ricaviamo ora una formula per I(cr) più utile per le applicazioni. Per ricavare il conideriamo il circuito equivalente in fae On come motrato in figura5.1 Nel circuito di figura 5.1 i ono tracurate la reitenza della induttanza e la reitenza Del JFET.

10 L equazione del circuito di fig.5.1 è data da: V i = di L L dt Che riolta da la eguente oluzione: Quindi, i ricava il(t) = V i L t+ i 5. il = ilmax - ilmin = V i ton= V i D L L f S Sotituendo quet ultima epreione nella 5.1 i trova: 5.3 I(crit) = 1 V i L D(1 D) f S Si oervi che la relazione precedente da un limite uperiore per la corrente minima richieta per il funzionamento continuo. Ciò deriva dal fatto che ea è tata ricavata nelle condizioni ideali di fig.5.1 ed utilizzando la formula approimata 4.. Eendo la 5.un limite uperiore progettando il circuito tenendo conto dei limiti che ea impone, non dovrebbe comportare neun danno pratico. 6 Relazione ingreo ucita nel funzionamento in modo continuo (CCM) In queto paragrafo ricaveremo la relazione tra la tenione di ucita V e la tenione di ingreo Vi del convertitore. La figura 6. motra il circuito equivalente del convertitore con inclue le perdite.

11 fig. 6. Per ricavare la relazione che lega la tenione media V ull ucita alla tenione di batteria Vi ci erviremo del principio di conervazione dell energia. Scriviamo quindi: 6.1 PS = P + PC + PL + PLo PS è la potenza media fornita dal generatore, P è la potenza media ul carico, PC è la potenza media ul condenatore, PL quella ull induttanza e PLo è la potenza media aorbita o diipata dagli altri componenti preenti nel circuito. Poiché come abbiamo vito in precedenza PL = PC = la relazione precedente i traforma come: 6. PS = P + PLo Per ricavare PLo è neceario determinare come i ditribuicono le perdite all interno del circuito. Quete ono eenzialmente dovute alle eguenti caue: Perdita ulla reitenza r L dell induttanza Indichiamo la potenza relativa a tali perdite con PL. La corrente il che corre ull induttanza può eere eprea tramite Fourier nella omma di due termini il = IL + il dove IL è il valore medio e IL ono le componenti alternate dello viluppo in erie di Fourier. Tracurando il contributo delle componenti alternate, la potenza media u rl può eere critta: PL = 1 r T L i L dt = 1 r T L I L dt = = r L I L

12 Perdita ulla reitenza r on del Jfet. Indichiamo la potenza relativa a tali perdite con Pron. Poiamo crivere: Pron r on i on dt Dove ion è la corrente itantanea u ron. Ora la corrente itantanea ion u ron è pari ad il durante la fae on ( tranitor aturo) ed è uguale a zero durante la fae OFF ( tranitor interdetto) fig.6.1 Tracurando i quindi termini aociate alle componenti alternate i ricava 6.5Pron= 1 r on i on dt = 1 T on r T on (I L ) dt = 1 T on r T on i L dt T on = 1 r T on (I L + i L ) dt= = roni L T on = D roni L Perdite dovute alla conduzione del diodo Poiché il diodo conduce oltanto durante la fae Off è la corrente che in eo paa e pari empre a il, ripetendo la tea analii fatta per la potenza ulla reitenza ron i trova: 6.6 PD = (1-D) VD IL Dove VD è la tenione di oglia del diodo. Perdite dovute alle capacità paraite del tranitor e del diodo Entrambi diodo e tranitor poiedono delle capacità paraite che durante il ciclo di lavoro i caricano e i caricano, producendo in tal modo delle perdite di potenza. Quelle ul tranitor ono dovute alla capacità di ucita ( normalmente indicata con Co ui dataheet). La perdita di potenza aociata a tale capacità può eere aunta pari a

13 PCo = ½ CoV c fs Oervando ora che nel cao peggiore la tenione Vc ul condenatore è pari a V+Vd eendo V la tenione media d ucita e VD la tenione ul diodo. Si può crivere 6.7 PCo = ½CoV f Avendo tracurato la VD. Per quanto riguarda il diodo in eo agicono due capacità : la capacità di tranizioneo di vuotamento CT i cui effetti i fanno entire quando il diodo e polarizzato inveramente e la capacità di diffuione CD agente quando il diodo è direttamente polarizzato. Normalmente CD ha un valore molto più grande di CT. Per queto motivo è utile utilizzare nel circuito in oggetto diodi Schottky che hanno valori di capacità CD nulli. La ola capacità, preentata da queti diodi è praticamente quella di tranizione CT. Coniderando quindi che la tenione ul diodo in polarizzazione invera è pari all incirca a V ( i tracura la vds di aturazione del Mofet), i ricava che la perdita di potenza dovuta alle capacità paraite di diodo è data da: PCT = ½ CTV f Queta formula può eere unificata con la 6.7 nell unica formula 6.8 PCSW = ½ CSWV f CSW = Co + CT La quale eprime le perdite di Potenza aociate alle capacità paraite del diodo e del tranitor. Si oervi che l utilizzo del diodo Schottky oltre a ridurre l effetto delle capacità paraite, ha ripetto agli ordinari diodi al ilicio una più baa tenione di oglia (.15V a =.45V),un alta velocità di commutazione e un alta tenione di lavoro invera Tenendo conto di quanto detto poiamo crivere la eguente epreione per PLo 6.9 PLo = rli L + DronI L + ½ CSWV f + (1-D) VD IL Sotituendo nella 6. e oervando che P = Vi IL poiamo crivere: Vi IL = V I + rli L + D roni L + ½ CSWV f + (1-D) VD IL Poiché, come abbiamo vito, 6.1 IL = I (1 D)

14 Dividendo la 6.9 per IL e otituendo la 6.1 otteniamo: I I 6.11 Vi =(1 D)V + rl (1 D) +Dron (1 D) +1 (1 D) CSWV f + (1-D)VD I Ponendo V R c al poto di I, dove Rc è la reitenza di carico, i ottiene: Da cui V[(1 D) + r L 1 + R c(1 D) C R c (1 D) SW f + V i R c (1 D) V D R c (1 D) 6.1 V = R c (1 D) +r L +Dr on + 1 (1 D) R c C SW f S D 1 D r on R c ] = Vi (1- D)VD Nel cao ideale in cui tutte le perdite ono nulle l epreione precedente i riduce alla eguente: 6.13 V = 1 V i 1 D 7Fattoredi Ripple Per ricavare il fattore di ripple di ucita partiamo dalla legge di carica del condenatore di ucita C. 7.1 Vc(t) = Vmaxe t RcC Dove Rc è la reitenza di carico ul condenatore. Facciamo l approimazione 7. 1 R c C T on<<1 L equazione 7.1 può quindi eere critta al primo ordine : 7.3 Vc(t) = Vmax(1 - t R c C ) A fine carica la 7.3 da:

15 7.4 vmin = Vmax(1 - t on R c C ) Da queta i ottiene: t on 7.5 V = vmax vmin = = vmax R c C Definiamo il fattore di ripple r come 7.6 r = V omax V omin V omax E facile convinceri che il fattore di ripple r da la miura di quanto l ondulazione della tenione di ucita ( componenti alternate) poono eere tracurati ripetto al valore medio V. Dalla 7.5 egue quindi che 7.7 r = t on R c C = D R c Cf Ora affinché ia valida la emplificazione 7., poiamo imporre come valore pratico che deve eere: 7.8 r.1 ( r% 1) Dalla 7.7 i ottiene D 7.9 C = rr c Cf Dalla 7.9e 7.8i ricava la eguente formula utile per dimenionare in ede di progetto C. 7.9 C D.1R c Cf = D I.1V f 8 Efficienza del convertitore Per definizione l efficienza del convertitore è data da: P 8.1 = P +P Lo Utilizzando ora la 6.9 per PLo, ricordando che P = RC I e che IL = paaggi algebrici i ricava la eguente epreione per I con emplici (1 D)

16 8. = R c (1 D) R c (1 D) +r L +Dr on + 1 C SWf S R c (1 D) + V D V R c(1 D) Prima propota di Progetto del circuito Dati iniziali ono V, I e Vi, rl, ron, Co,CT PASSO 1 Si fia un valore arbitrario di L e di fs PASSO: Si ricava D dalla eguente formula V = V i R c (1 D) V D R c (1 D) R c (1 D) +r L +Dr on + 1 (1 D) R c C SW f S PASSO 3 Si verifica che ia f = 1 V i D(1 D) LI o appena maggiore. Se l uguaglianza non è verificata i ceglie un divero valore di f e i torna al pao 3 finchè l uguaglianza non è verificata. Con queto tipo di progetto i è celto di far lavorare il convertitore econdo le modalità di fig.4. ( I = I(cr) PASSO 4 Si ceglie C dalla eguente formula: C D.1R c Cf = D I.1V f SECONDA PROPOSTA DI PROGETTO: Dati iniziali ono V, I e Vi, rl, ron, Co,CT PASSO 1 Si fia un valore arbitrario fs PASSO:

17 Si ricava D dalla eguente formula V = V i R c (1 D) V D R c (1 D) R c (1 D) +r L +Dr on + 1 (1 D) R c C SW f S PASSO 3 Si ceglie L in modo che ia L 1 V i D(1 D) f I Con queto tipo di progetto i è celto di far lavorare il convertitore econdo le modalità di fig.4.1 ( I> I(cr)) PASSO 4 Si ceglie C dalla eguente formula: C D.1R c Cf = D I.1V f 9 Relazione ingreo ucita nel funzionamento in modo dicontinuo(dcm) Ricaviamo ora la relazione che lega l ingreo Vi all ucita V upponendo che il convertitore lavori in modo dicontinuo ( i< i(cr)). Come per il cao continuo applicheremo il principio di conervazione dell energia econdo la relazione 6.. Premettiamo alcune coniderazioni. Come i evince dalla figura 4.3, la corrente ull induttanza il in queto modo di funzionamento in un periodo è divera da zero olo durante il tempo ton + t1. Poiamo immaginare di prolungarla u tutto l ae del tempo e formare coì un egnale periodico ilsdi periodo TS = Ton + T1 come motrato in figura 9.1.Ovviamente ils= il nell intervallo t TS

18 Lo viluppo in erie di Fourier del egnale ils può eere inteticamente epreo come: 9.1 ils = ILS + il dove 9. IL = 1 T on +T 1 1 T i T on +T L dt = on +T 1 i 1 T on +T L dt 1 È il uo valore medio e il ono le ue componenti alternate. Si oervi che dalla fig.4.3 i ricava: 9.3 ILS = ½ il In eguito ci ervirà la relazione la relazione che lega la corrente I alla corrente media ul carico I. A tale fine oerviamo che i ha: - IC t Tn I = IL IC Ton t Ton + T1 - IC Ton+T1 t TS Ricordando che la corrente media ul condenatore è nulla poiamo crivere: 9.4 I = 1 T on+ T 1 i T L dt T on = ½ il D1 Ricordando la 9.3 i ha:

19 9.5 I = ILS D1 Potenza P fornita dal generatore Rifacendoi alla figura 4.3 poiamo crivere P = 1 T V T i i L dt = V i i T L dt = V i T on +T 1 i L dt = = V i ½ il ( Ton + T1) = V i IL(Ton + T1) = = (D+D1) Vi ILS Perdita ulla reitenza r L dell induttanza Indichiamo la potenza relativa a tali perdite con PL. Tracurando il contributo delle componenti alternate, la potenza media u rl può eere critta: PL= 1 T r T L i L dt = 1 T on +T 1 1 T on +T 1 r L i LS dt = r T L (I LS + i LS ) dt = =r L I LS (D + D1) Perdita ulla reitenza r on del Jfet. Indichiamo la potenza relativa a tali perdite con Pron. Poiamo crivere (tracurando il contributo delle componenti alternate): 9.7 Pron = 1 T r T on i L dt = 1 T on r (I ) T on LS dt = roni T on LS = D roni T LS Perdite dovute alla conduzione del diodo Poiché il diodo conduce oltanto durante la fae T1, i trova: 9.8 PD = VD ILS D1 Dove VD è la tenione di oglia de diodo. Perdite dovute alle capacità paraite del tranitor e del diodo Come per il cao continuo quete perdite i riducono alla eguente:

20 9.9 PCSW = ½ CSWV f CSW = Co + CT Applicando quindi la 6. poiamo crivere: (D+D1) Vi ILS = V I + (D+D1)+rLSI LS +D roni LS + ½ CSWV f + VD ILS D1 Ora per la 9.5 I = ILS D1. Dividendo per ILS e poi otituendo quet ultima epreione i ottiene: 9.1 DVi + D1Vi = D1 V+ D D 1 r L I + r L I + D D 1 r on I + D 1 I CSWV f S + D 1 V D Al fine di rendere più maneggevole la trattazione ridefiniamo alcuni parametri: 9.11 M = V V i 9.1 r x = r L+ron R c 9.13 k = V D V i 9.14 SW = RcCSWfS 9.15 L= Lf S R c Ricaviamo inoltre D1. Per la 9.4 poiamo crivere: I = 1 T on+ T 1 i T L dt T on = ½ il D1 Ma per la 5. il = V i L D f S. Sotituendo e riolvendo ripetto a D1 i trova: 9.16 D1 = I( Lf S ) = V i D (V ) ( Lf S ) = L M V i R c D D Sotituendo i parametri uddetti nella 9.1 i ricava: 9.17 M [1 + SW ] + M [ Dr L R c L + k 1] + [ D (Dr X L ) ( L ) ]=

21 Riolta l equazione di econdo grado 9.17, i trova il rapporto tra la tenione di ucita V la tenione di ingreo Vi. Se tutti gli elementi di perdita vengono annullati i trova: 8 L D +4 L + L 9.18 M = 4 L 9.19 V = V i (1 + 8 LD 4 L + 4 L 4 L ) 9. V = V i D ( ) L La relazione 9. eprime il legame tra l ucita e l ingreo nel cao ideale di perdite nulle. Fattoredi Ripple Per quanta riguarda il ripple valgono tutte le coniderazioni fatte nel paragrafo 7 a propoito del funzionamento in modo continuo. Efficienza del convertitore Per ottenere l efficienza del convertitore nel modo di funzionamento dicontinuo Si utilizza la formula P 9.1 = P +P Lo Si ha: PLo = (D+D1) rli LS + D roni LS + ½ CSWV f + VD ILS D1 PLo = D D 1 r L I + 1 D 1 r L I + D D 1 r on I + 1 C SWV f S + V D I PLo = V R C [( D Lf S ) ( V i V ) R c Dr L + Dr L Lf S ( V i V )... ( D Lf S ) ( V i V ) Dr on + 1 R cc W f + V D V ] Sotituendo quet ultima epreione nella 9.1 i ottiene:

22 1 9. = 1+ D3 R C (Lf S ) (V i V ) [r L + r on ]+ Dr L ( V i Lf S V )+1 R cc W f + V D V PROPOSTA DI PROGETTO: Dati iniziali ono V, I e Vi, rl, ron, Co,CT PASSO 1 Si fia un valore arbitrario fs PASSO: Si ricava D dalla eguente formula (ricavata dalla 9.17) D 3 + a D + b D + c = con a = L r x b = Mr L L c = {M [1 + SW R c r x ] + M(k 1)} ( L) r x In appendice è riportato un emplice programma in baic per il calcolo delle radici PASSO 3 Si ceglie L in modo che ia L < 1 V i D(1 D) f I Con queto tipo di progetto i è celto di far lavorare il convertitore econdo le modalità di funzionamento dicontinuo ( I< I(cr) ) PASSO 4 Si ceglie C dalla eguente formula: C D.1R c Cf = D I.1V f 1 Software per il calcolo del convertitore modo continuo La realizzazione del contatore Geiger è partita dallo tudio del convertitore boottep-up (inizialmente in modo continuo) in quanto parte eenziale del progetto per ottenere i

23 4V; dopo eere giunti a concluioni attendibili è eguita una fae di verifica volta eenzialmente al imulatore in quanto la verifica perimentale, come già detto, arebbe tata improba. Fig. 1.1 Schema utilizzato per tudio convertitore Boot Nello chema i poono notare il pulante atto a imulare il paaggio di particelle nel tubo coi come la R che imula l effetto del carico ul circuito boot; di eguito vediamo, a titolo di eempio con il circuito di chema, i riultati ottenuti in relazione a tenione di ucita, corrente nell induttanza e tenione Vd.

24 Fig. 1. Eempio andamento tenione di ucita convertitore Boot

25 Fig. 1.3 Eempio andamento corrente nella induttanza convertitore Boot

26 Fig. 1.4 Eempio andamento tenione Vd convertitore Boot Per evitare fatidioe ripetizioni di calcoli al variare dei parametri è tato realizzato un piccolo oftware che conenta di determinare, ineriti i valori richieti dal progetto ed i parametri dei componenti prefiati i neceari valori di frequenza di witching, condenatore, ciclo utile e corrente minima per il mantenimento del modo CCM.

27 Fig. 1.5 Eempio di chermata programma per calcolo valori convertitore Boot CCM APPENDICE A Calcolo delle radici di un equazione algebrica di terzo grado Conideriamo l equazione algebrica A1 x 3 + ax + bx + c = e poniamo: P = a +3b Q = a3 +9ab 7c 9 54 Allora indicata con D la quantità: D = P 3 + Q Si poono preentare due cai: CASOA D : L equazione poiede allora tre radici reali, e preciamente: D < tre radici ditinte D = e P tre radici di cui due coincidenti D = e P = tre radici tutte coincidenti

28 Le radici ono date dalle eguenti formule: X1 = a 3 + P co 3 X = a 3 P [co en 3 ] X3 = a 3 P [co 3 3 en 3 ] Dove i è poto = arctg P3 +Q Q = arctg D Q CASOB D > : L equazione poiede allora una radice reale e due radici complee e coniugate Le radici ono date dalle eguenti formule: X1 = a 3 + R + S Dove i è poto: X = a 3 1 X3 = a (R + S) + i (R S) 3 (R + S) i (R S) 3 R = Q + P 3 + Q 3 = Q + D 3 S = Q P 3 + Q 3 = Q D Eempio : Conideriamo l equazione X 3 3x + 3x + = Nel cao in eame i ha: P = Q = - 3/

29 Per cui riulta D = 9/4. Dunque eendo D >, l equazione poiede una radice reale e due radici complee e coniugate. Le formule riolutive precedenti danno quindi: X1 = X = i 1.49 X = i 1.49 Riportiamo infine un emplice programma in baic per il calcolo delle radici. REM Calcolo di un equazione di 3 grado del tipo x 3 + a x + bx + c = REM Il programma calcola le radici dell equazione x 3-3x + 3x + = CLS a = b = - c = -4 P = (-a ^ + 3 * b) / 9 Q = (- * a ^ * a * b - 7 * c) / 54 D = P ^ 3 + Q ^ IF D > THEN REM CASO D > ( SOLUZIONI: UNA REALE E DUE COMPLESSE E CONIUGATE) w = Q + SQR(D) w1 = Q - SQR(D) IF w < THEN R = -(-w) ^ (1 / 3) ELSE R = (w) ^ (1 / 3) END IF IF w1 < THEN S = -(-w1) ^ (1 / 3) ELSE S = (w1) ^ (1 / 3) END IF x1 = -a / 3 + R + S PRINT "x1="; x1 rex = -a / 3 - (1 / ) * (R + S) imx = (SQR(3) / ) * (R - S) PRINT "x="; rex; "+i"; imx PRINT "x3="; rex; "-i"; imx ELSE REM CASO D <= (SOLUZIONI TUTTE REALI) z = SQR(-D / (Q ^ )) alfa = ATN(z) x1 = -a / 3 + * SQR(-P) * COS(alfa / 3)

30 x = -a / 3 - SQR(-P) * (COS(alfa / 3) + 3 ^ (1 / 3) * SIN(alfa / 3)) x3 = -a / 3 - SQR(-P) * (COS(alfa / 3) - 3 ^ (1 / 3) * SIN(alfa / 3)) PRINT "x1="; x1 PRINT "x="; x PRINT "x3="; x3 END IF