Uso della trasformata di Laplace per il calcolo della risposta

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1 Uo della traformata di Laplace per il calcolo della ripota Conigli generali (Aggiornato 7//) ) Si vuole qui richiamare l attenzione ul fatto che la preenza di zeri o di una truttura triangolare a blocchi nelle matrici A, B, C, nella condizione iniziale x e negli ingrei conente di emplificare notevolmente i calcoli per ottenere la matrice (I A), la matrice di traferimento W(), etc. e le ripote libere e forzate tramite la traformata; i ottolinea che alcuni eempi di come tali elementi nulli poano eere fruttati per emplificare i conti ono riportati in corivo (con maggiore dettaglio di quanto preciato negli eercizi in queta nota) nella nota RipotaPermanente che riporta eercizi u di ea ) Si ottolinea che, calcolata dalla matrice A (con l uo della traformata o in qualunque altro modo) la corripondente matrice di tranizione dello tato Φ(t), cioè e At, la correttezza dell epreione trovata per Φ(t) può eere verificata verificando appunto e oddifa l identità Φ(t) AΦ(t), che, eendo Φ(t) e At, non è de altro che la ben nota proprietà dell eponenziale: At dt Ae At. Nel cao a tempo dicreto, vale una analoga proprietà: Φ(k + ) AΦ(k), dove eendo Φ(k) A k, tale proprietà vuol dire emplicemente: A k+ AA k. Più in generale, come verifica della correttezza dei conti effettuati per il calcolo della ripota completa nello tato, è poibile vedere e la ripota x( ) trovata (relativa allo tato iniziale x e all ingreo u( )) oddifa l equazione del itema (ovvero e ẋ(t) Ax(t) + Bu(t)) e la condizione iniziale (ovvero e x() x ; quet ultima proprietà corriponde alla proprietà Φ() I, che ancora una volta per Φ(t) e At corriponde ad una ben nota proprietà dell eponenziale: e I). Eempio: dato il itema lineare (per il quale i è già preciata la funzione di ingreo u(t), pari a t): ẋ x + t; x ; verificare e una delle eguenti funzioni è la oluzione del itema dato:. x(t) e t + ;. x(t) e t t;. x(t) 7 et t; Soluzione:. x(t) e t + oddifa la condizione iniziale poiché x() e + x ma non l equazione differenziale del itema: ẋ 6e t x + t 6e t + + t;. x(t) e t t oddifa l equazione differenziale del itema (verificare!) ma non la condizione iniziale poiché x() e x ;. x(t) 7 et t oddifa ia l equazione differenziale del itema (verificare!) che la condizione iniziale (verificare!), e quindi è la oluzione del itema, per l ingreo e lo tato iniziale dati. ) Per quanto riguarda il calcolo della ripota libera nello tato ripettivamente, nell ucita, i noti che qualora i ia già calcolata la Φ(t) ripettivamente, la Ψ(t) bata moltiplicare da detra tale matrice per lo tato iniziale, enza ripetere i conti nella variabile di Laplace. In alcuni degli eempi eguenti, l epreione della ripota libera nella variabile di Laplace è riportata nonotante ia già tata calcolata la Φ(t) ripettivamente, la Ψ(t) olo per completezza formale, enza con ciò intendere che i calcoli indicati vadano effettivamente eeguiti. Similimente, eendo la ripota completa nello tato ripettivamente, nell ucita la omma della ripota libera nello tato ripettivamente, nell ucita e della ripota forzata nello tato ripettivamente, nell ucita, per il calcolo della parte relativa alla ripota libera qualora i ia già calcolata la Φ(t) ripettivamente, la Ψ(t) bata moltiplicare da detra tale matrice per lo tato iniziale, enza ripetere i conti nella variabile di Laplace. ) Per quanto riguarda la traformata delle funzioni co(ωt) e in(ωt), nel eguito i utilizzeranno direttamente le formule: LAco(ωt) A + ω, LAin(ωt) A ω + ω,

2 che poono eere facilmente dimotrate come egue, utilizzando la nota formula di traformazione degli eponenziali e la formula di Eulero per le funzioni eno e coeno: A LAco(ωt) L e+ιωt + A e ιωt A ιω + A + ιω A + ω, Aι LAin(ωt) L e ιωt Aι e+ιωt Aι + ιω Aι ιω A ω + ω Eempio Per il itema decritto dalla eguente quadrupla (A,B,C,D): A, B, C, D, i coniderino i eguenti queiti: trovare le matrici Φ(t), H(t), Ψ(t) e W(t); calcolare la ripota completa allo tato iniziale x e all ingreo u(t) t e t δ (t). Soluzione Occorre calcolare e At. A tale copo, è poibile utilizzare la traformata di Laplace ricordando che vale la relazione: e At L (I A). Si noti che il calcolo di (I A) e in particolare del determinante di (I A) è notevolmente emplificato dal fatto che A è triangolare inferiore a blocchi e a ua volta il blocco di nord-ovet è triangolare uperiore. (I A) (I A) + + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) (+)(+) ( + ) (+)( ) (+)( ) + + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + + ( + ) + + ( )

3 Antitraformando elemento per elemento i ottiene: e t e t e t Φ(t) e t δ (t), et e t et e t e t e t e t e t H(t) Φ(t)B e t δ (t), et e t et e t Ψ(t) CΦ(t) et + e t et + e t e t e t et e t et e t + e t e t δ (t), W(t) CΦ(t)B + Dδ(t) et + 9 e t 6e t et + e t + δ(t) et e t + e t + δ(t) et δ (t), e t Ripota completa allo tato iniziale x e all ingreo u(t) La ripota completa in ucita y(t) i ottiene come omma della ripota libera y l (t) Ψ(t)x allo tato iniziale x (con ingreo nullo) e della ripota forzata y f (t) all ingreo u(t) (con tato iniziale nullo). La ripota libera i trova facilmente nel dominio del tempo: y l (t) CΦ(t)x et + e t et + e t e t e t et e t et e t + e t e t δ (t), e t e t δ (t) (i noti che lo tato iniziale dato eccita il olo modo relativo all autovalore ). La ripota forzata nel tempo i può ottenere antitraformando la ripota forzata y f () W()u() nel dominio di Laplace: ( ) y f () W()u() C (I A) B + D u() (+)(+)( ) + + (+)(+)( ) e quindi nel dominio del tempo i ottiene: y f (t) L e y f () t 9 + e t e t et t e t δ (t) e t

4 Eempio Per il itema decritto dalla eguente quadrupla (A,B,C,D): A, B, 5 C, D, i coniderino i eguenti queiti: trovare le matrici Φ(t), H(t), Ψ(t), W(t) e W(); calcolare la ripota completa allo tato iniziale x e all ingreo u(t) e t.5 δ (t). Soluzione Occorre calcolare e At. A tale copo, è poibile utilizzare la traformata di Laplace ricordando che vale la relazione: e At L (I A). Si noti che il calcolo di (I A) e in particolare del determinante di (I A) è notevolmente emplificato dal fatto che A è triangolare uperiore a blocchi e a ua volta il blocco di nord-ovet è triangolare inferiore. + ( + )( + 5) + (I A) + (I A) ( + 5) ( + )( + 5) ( + ) + ( + ) + 5 ( + 5) ( + ) + (+)(+5) +7 (+) (+) (+) (+5) (+) (+) (+) +5 Antitraformando elemento per elemento i ottiene: e t e t e 5t e t Φ(t) te t e t 8 9 e 5t e t + te t δ (t) H(t) Φ(t)B te t e t e 5t e t e Ψ(t) CΦ(t) t e 5t te t t e 9 e 5t e t + δ (t) te t W(t) i può calcolare a ua volta antitraformando W() C(I A) B + D. Si noti che il calcolo di W() può eere condotto più efficientemente effettuando prima il calcolo (I A) B vito che B è più emplice di C ed ha l ultima riga nulla, ovvero nel prodotto (I A) B la terza colonna (più complicata) di A non dà contributo: W() C(I A) B + D C + (+) + (+) + D + (+) + e quindi i ottiene la W(t): W(t) L e W() t te t e t e t δ δ(t t ) (t) (+) e t δ (t),

5 Ripota completa allo tato iniziale x e all ingreo u(t) La ripota completa in ucita y(t) i ottiene come omma della ripota libera y l (t) allo tato iniziale x (con ingreo nullo) e della ripota forzata y f (t) all ingreo u(t) (con tato iniziale nullo). Calcolando la ripota completa nel dominio di Laplace i ha: y() C(I A) x + W()u() (+) (+) (+) (+) (+) (+) + e quindi nel dominio del tempo i ottiene: y(t) L e y() t e 5t e t 9 et 67 8 e t te t + δ (t) 9 e 5t.5 + Nota bene: eendo tata preliminarmente calcolata la Ψ(t) nella prima parte dell eercizio, NON OC- CORRE calcolare nella variabile di Laplace il termine C(I A) x, in quanto il termine L C(I A) x L C(I A) x Ψ(t)x è immediatamente ottenibile moltiplicando la matrice Ψ(t) per lo tato iniziale x ; pertanto, allo teo riultato i arebbe potuti arrivare calcolando eparatamente la ripota libera y l (t) e la ripota forzata y f (t) eparatamente, econdo le relazioni: y l (t) Ψ(t)x, y f (t) L W()u(), nel tempo! antitraformando il prodotto di due funzioni nella variabile di Laplace! ed eprimendo y(t) come y(t) y l (t) + y f (t). Il calcolo (non neceario) della ripota libera nella variabile di Laplace è tato riportato eplicitamente in queto eercizio al fine di eemplificare come ia poibile effettuare tale calcolo, precindendo dai punti precedenti dell eercizio; d altro canto, pecialmente in ede di eame, allo tudente non è richieto (ed è anzi fortemente conigliato!) di effettuare calcoli non neceari nella rioluzione degli eercizi! 5

6 Eempio (NB: il calcolo della ripota forzata in queto eempio cotituice un approfondimento, in quanto la econda componente dell ingreo è una funzione di tipo uuale ma tralata nel tempo). Per il itema decritto dalla eguente quadrupla (A,B,C,D): A, B, i coniderino i eguenti queiti: trovare le matrici Φ, H, Ψ e W; C, D, calcolare la ripota completa allo tato iniziale x e all ingreo u(t) u (t) u (t) con u (t) co(t) per t { (t t ) per t t, u (t) altrimenti. Soluzione Occorre calcolare e At. A tale copo, è poibile utilizzare la traformata di Laplace ricordando che vale la relazione: e At L (I A). (I A) (I A) Antitraformando elemento per elemento i ottiene: Φ(t t ) t t (t t ) t t δ (t t ), H(t t ) Φ(t t )B t t (t t ) (t t ) (t t ) δ (t t ), Ψ(t t ) CΦ(t t ) (t t ) (t t ) (t t ) δ (t t ), W(t t ) CΦ(t t )B + Dδ(t t ) δ(t t ) (t t ) δ(t t ) + (t t ) (t t ) δ (t t ). Ripota completa allo tato iniziale x e all ingreo u(t) La ripota completa x( ) nello tato ripettivamente, y( ) in ucita i ottiene come omma della ripota libera x l (t) y l (t) allo tato iniziale x (con ingreo nullo) e della ripota forzata x f (t) y f (t) all ingreo u(t) (con tato iniziale nullo). Le due ripote indicate ono calcolate di eguito: Ripota libera La ripota libera nello tato i calcola come: x l (t) Φ(t)x L (I A) L + t t δ (t). + 6

7 Dalla x l è empliciimo ottenere la ripota libera in ucita: y l (t) Cx l (t) ( + t t )δ (t). Nota bene: eendo tata preliminarmente calcolata la matrice Ψ(t), il calcolo della ripota libera nella variabile di Laplace non è neceario in queto cao, ed è tato riportato olo per completezza. Per queto calcolo valgono in effetti gli tei commenti contenuti nel nota bene alla fine dell eempio, cui i rimanda. Ripota forzata La ripota forzata nello tato i calcola come: x f (t) L (I A) Bu() La traformata dell ingreo può eere calcolata tenendo conto che l ingreo u( ) può eere epreo, in forma rapidamente traformabile, come u(t) co(t)δ (t) (t t )δ (t t ) e pertanto i ha u() +9 e t. Calcolando (I A) Bu(), raccogliendo i termini con uguale ritardo ed epandendo in fratti emplici i ottiene: x f () (I A) Bu() + ( +9) e t e quindi l epreione finale della ripota forzata nello tato: 9 ( co(t) in(t)) x f (t) in(t) δ (t) + La ripota forzata nell ucita i calcola quindi come: 5 e t +9 e t (t t )! (t t)! (t t )! (t t) (t t ) δ (t t ) y f (t) Cx f (t) + Du ( ) co(t) + in(t) δ (t) + ( (t t ) + (t t ) (t t ) ) 6(t t ) δ (t t ) 9 7

8 Eempio (NB: il calcolo della ripota forzata in queto eempio cotituice un approfondimento, in quanto la econda componente dell ingreo è una funzione di tipo uuale ma tralata nel tempo), mentre la prima componente dell ingreo è la omma di due funzioni di tipo uuale, delle quali una è tralata nel tempo). Per il itema decritto dalla eguente quadrupla (A,B,C,D): A, B, C, D, i coniderino i eguenti queiti: trovare le matrici Φ, H, Ψ e W; calcolare la ripota completa allo tato iniziale x e all ingreo u(t) u (t) u (t) con { in(t) per t, π u (t) ), altrimenti. Soluzione u (t) δ (t ) Calcolo di Φ, H, Ψ e W Occorre calcolare e At. A tale copo, è poibile utilizzare la traformata di Laplace ricordando che vale la relazione: e At L (I A). (I A) + (I A) ( + ) ( + ) + ( + ) Antitraformando elemento per elemento, e oervando che (+) +, i ottiene: t t e (t t) Φ(t t ) δ (t t ), e (t t) (t t ) e (t t) H(t t ) Φ(t t )B δ (t t ), e (t t) (t t ) e Ψ(t t ) CΦ(t t ) (t t) e (t t) δ (t t ), (t t ) 6e W(t t ) CΦ(t t )B + Dδ(t t ) (t t) 6 δ(t t ) e (t t) (+) (+) δ (t t ). Come verifica della correttezza dei conti effettuati, è poibile per eempio verificare la relazione Φ AΦ: e (t t) t t e (t t) e (t t) Φ AΦ e (t t) e (t t) e (t t) e la relazione H() B: (t t ) e (t t) H() e (t t) tt B 8

9 Ripota completa allo tato iniziale x e all ingreo u(t) La ripota completa x( ) nello tato ripettivamente, y( ) in ucita i ottiene come omma della ripota libera x l (t) y l (t) allo tato iniziale x (con ingreo nullo) e della ripota forzata x f (t) y f (t) all ingreo u(t) (con tato iniziale nullo). Le due ripote indicate ono calcolate di eguito: Ripota libera La ripota libera nello tato i calcola come: x l (t) Φ(t)x L (I A) L + e t δ (t). e t (+) (+) Dalla x l è empliciimo ottenere la ripota libera in ucita: + e t y l (t) Cx l (t) e t δ (t). L + + (+) Nota bene: eendo tata preliminarmente calcolata la matrice Ψ(t), il calcolo della ripota libera nella variabile di Laplace non è neceario in queto cao, ed è tato riportato olo per completezza. Per queto calcolo valgono in effetti gli tei commenti contenuti nel nota bene alla fine dell eempio, cui i rimanda. Ripota forzata La ripota forzata nello tato i calcola come: x f (t) L (I A) Bu() La traformata dell ingreo può eere calcolata tenendo conto che l ingreo u ( ) può eere epreo come egue: per t <, u (t) in(t) per t, π ), in(t) + co ( (t π )) per t π. e pertanto l intero ingreo può eere epreo, in forma rapidamente traformabile, come in(t)δ (t) + co ( (t u(t) π )) δ (t π ) u() + δ (t ) + e π e Calcolando (I A) Bu(), raccogliendo i termini con uguale ritardo ed epandendo in fratti emplici i ottiene: x f () (I A) Bu() (+) + + e π ( +) ( +) + + ( +) + + e π + ( +) + (+) (+) e e e π + + e + e quindi l epreione finale della ripota forzata nello tato: x f (t) t in(t) co ( ( )) t π co(t) δ (t) in ( ( )) ( t π δ t π ) (t ) e (t ) + δ (t ) e (t ) 9

10 La ripota forzata nell ucita i calcola quindi come: t y f (t) Cx f (t) + Du in(t) δ co(t) (t) co ( ( )) t π in ( ( )) t π δ ( t π ) + (t ) e (t ) + e (t ) δ (t )