MATEMATICA E STATISTICA CORSO A I COMPITINO (Tema 4) 28 Novembre 2008

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1 MATEMATICA E STATISTICA CORSO A I COMPITINO (Tema 4) 28 Novembre 2008 Soluzioni 1.(4 punti) L indice di maa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra maa, eprea in Kg, e l altezza al quadrato, eprea in m. Sapendo che Lucio ha maa 80 ± 2 Kg ed è alto ± m, determina valore timato, errore aoluto ed errore relativo del uo IMC. L indice di maa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra maa ed altezza al quadrato IMC = m h 2, con m eprea in Kg e h in m. Il valore timato dell IMC è dato da v IMC = vm (v h ) 2 = = = L errore relativo della maa è mentre quello dell altezza è e m r = 2 80 = 1 40 = 2.5%, e h r = = = = 2%. L errore relativo dell IM C i ottiene allora ommando l errore relativo della maa ed il doppio (nella formula dell IMC l altezza è al quadrato) dell errore relativo dell altezza: e IMC r = 2.5% + 2 2% = 6.5%. Poiché l errore relativo è il rapporto tra l errore aoluto ed il valore timato e r = e a v, l errore aoluto dell IM C i ottiene moltiplicando il valore timato per l errore relativo: e IMC a = v IMC e IMC r =

2 2. (6 punti) Nello tudio di una varietà perimentale di una certa pianta, è noto che la quantità di emi, calcolata in percentuale, che germinano entro una ettimana dalla emina G dipende dalla temperatura T del terreno. E noto inoltre che: e la temperatura varia da 15 C a 30 C la percentuale di emi germinati egue una legge lineare; per temperature tra 30 C e 35 C la percentuale rimane cotante; per temperature tra 35 C e 40 C la percentuale di emi germinati egue di nuovo una legge lineare; temperature al di otto di 15 C o al di opra di 40 C impedicono ai emi di germinare. Sono tati raccolti i eguenti dati perimentali: per T=21, G(21)=36; per T=27, G(27)=72 Determina G(T) e diegna il uo grafico. Leggendo con attenzione il teto i deduce che la funzione G(T) è definita a tratti ed in particolare vale 0 negli intervalli [,15] e [40, + ]. Nell intervallo [15, 30] G(T) è lineare ed è poibile eprimere la ua equazione fruttando i dati perimentali; l equazione arà del tipo y = m 1 x + q 1, con m 1 = = 6 e q 1 ottenuto imponendo il paaggio per un punto (ad eempio (15,0)): 0 = q 1 q 1 = 90 Nell intervallo [30, 35] G(T) rimane cotante ed il uo valore arà dato dal valore che l epreione lineare ottenuta precedentemente aume per x = 30: = 90. Nell intervallo [35, 40] G(T) egue nuovamente una legge lineare partendo dal punto (35,90) per arrivare al punto (40,0), poiché deve valere 0 per temperature uperiori a 40, quindi: e m 2 = = 18 q 2 = =

3 90 80 G G=6T 90 G= 18T T 3. (4 punti) In una gabbia i trovano 4 cavie di pelo bianco e 8 di pelo nero; le cavie differicono olo per il colore. Se ne etraggono, a cao, 3 contemporaneamente. Calcola la probabilità di ciacuno dei eguenti eventi: a) due cavie ono nere; b) al più una cavia è bianca; c) almeno una cavia è nera; d) ono più nere che bianche. Etrarre 3 cavie contemporaneamente è equivalente ad etrarne una alla volta, ovvero etrarre enza rimettere dentro la cavia etratta. a) P(2N) = = Nota che l evento etrarre 2 cavie nere è equivalente a quello etrarre 1 cavia bianca. b) c) P(1B)+P(0B) = P(1B)+P(3N) = = = P(3B) = = = 1 55 d) Poiché i etraggono 3 cavie (e le cavie ono olo di 2 colori), dire che ci iano piu cavie nere che bianche equivale a dire che ci ia al più una cavia bianca, il che ignifica che la probabilità è la tea calcolata al punto b), ovvero 42/55. 3

4 4. (6 punti) Conidera 2 eventi A e B tali che P(A)=1/4, P(B A)=1/2 e P(A B)=1/4. Stabilici quali delle eguenti affermazioni ono vere e quali fale: a) Gli eventi A e B ono incompatibili b) A è un ottoevento di B c) P( A B)=3/4 d) P(A B)+P(A B)=1 a) Gli eventi A e B ono incompatibili e e olo e P(A B)=0, ma P(A B)= P(B A) P(A)=1/8 quindi i due eventi non ono incompatibili; apendo inoltre che P(A B)=1/4 i ricava facilmente la probabilità di B: P(B)=P(B A) P(A)/ P(A B)=1/2. b) A è un ottoevento di B e e olo e P(A B)=P(A), ma queto è falo perché P(A B)=1/8, mentre P(A)=1/4. c) Guardando con attenzione i valori delle probabilità di cui diponiamo ci i rende ubito conto che i due eventi A e B ono indipendenti: P(A B)=P(A) P(B). Sono indipendenti anche gli eventi A e B? L evento A è unione digiunta degli iniemi ( A B) e ( A B) quindi i ha: P( A)=P( A B) + P( A B) ; è facile dimotrare che e A e B ono indipendenti allora lo ono anche A e B per cui P( A B)=P( A)P(B) e i ha da cui P( A)=P( A B)+P( A) P(B), P( A B)=P( A)-P( A) P(B)= P( A)(1-P(B))=P( A) P( B) e quindi gli eventi A e B ono indipendenti. Poiché i due eventi ono indipendenti i ha P( A B)=P( A)=1-P(A)=3/4 d) Come detto prima è facile provare che A e B ono eventi indipendenti quindi P(A B)+P(A B)=P(A)+P(A)=2 P(A)=1/ (6 punti) Una oluzione è un itema omogeneo prodotto dallo cioglimento di una otanza olida, liquida o gaoa (oluto) in un opportuno liquido (olvente). La concentrazione di una oluzione, eprea olitamente in percentuale, è il rapporto tra la maa del oluto e quella della oluzione. 4

5 a) 40 g di ale vengono diciolti in 120 g di acqua; quanto vale la concentrazione della oluzione? b) Aggiungendo 20 g di olvente ad una oluzione al 10% i ottiene una oluzione finale al 8%; calcola la maa iniziale della oluzione. d) Abbiamo 2 oluzioni uguali, la prima al 10%, la econda al 20%; in quale percentuale devo mecolarle per ottenere una oluzione al 12%? Indichiamo con il oluto e con S il olvente. a) Abbiamo = 40 g e S = 120 g quindi la concentrazione è data da c = S + = = 1 4 = 25% b) Indichiamo la maa iniziale della oluzione S + con x, allora e x = 10 x + 20 = 8 = x 10 = Uguagliando le due quantità i ottiene 2(x + 20) 25. da cui e x 2(x + 20) = x = 4x + 80 x = 80. c) k 10% + (1 k) 20% = 12% Si ricava facilmente k = 0.8 e ciò ignifica che devo prendere una quantità della oluzione al 10% pari a 4 volte quella della oluzione al 20%. 6. (6 punti) In una certa popolazione la probabilità che un individuo ia affetto dalla malattia M è il 18%. A eguito di indagini epidemiologiche i contata che, mentre il 7% degli individui di quella popolazione preenta un dato intomo S, tra coloro che ono affetti dalla malattia M, la percentuale di chi preenta tale intomo ale al 35%. 5

6 a) Calcola la probabilità che un individuo celto a cao nella popolazione ia affetto da M, ma non preenti il intomo S. b) Calcola la probabilità che un individuo che preenta il intomo S ia affetto da M. c) Calcola la probabilità per chi NON preenta il intomo di NON eere affetto da M. Indichiamo con P(M): probabilità che un individuo celto a cao nella popolazione ia affetto dalla malattia M P( M): probabilità che un individuo celto a cao nella popolazione NON ia affetto dalla malattia M P(S): probabilità che un individuo celto a cao nella popolazione preenti il intomo S P( S): probabilità che un individuo celto a cao nella popolazione NON preenti il intomo S P(S)= 7 % 18 % 82 % M M 35 % 65 % x 1 x S S S S Per ipotei appiamo che P(M) = 18% = 9/50 (di coneguenza P( M) = 82% = 41/50), che P(S) = 7% = 7/ (di coneguenza P( S) = 93% = 93/) e che P(S M) = 35% = 7/20 (di coneguenza P( S M) = 65% = 13/20) a) Dobbiamo calcolare P(M S): P(M S) = P( S M)P(M) = b) Dobbiamo calcolare P(M S): 9 50 = = 11.7% P(M S) = P(S M)P(M) P(S) = =

7 c) Dobbiamo calcolare P( M S), ma per far queto ci erve la probabilità P( S M)P( M): da cui Allora P( S) = P( S M)P(M) + P( S M)P( M) P( S M)P( M) = P( S) P( S M)P(M) = P( M S) = P( S M)P( M) P( S) = = Un modo fore più veloce di fare lo teo conto è il eguente: P( M S) = 1 P(M S) = 1 P( S M)P(M) P( S) = =