ESERCIZI SULLE SUPERFICI. 1) Calcolare le curvature principali, la curvatura media e la curvatura Gaussiana della sfera
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- Filomena Gigli
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1 ESERCIZI SULLE SUPERFICI Calcolare le curvature principali, la curvatura media e la curvatura Gauiana della fera α u; v = r in u co v ; r in u in v ; r co u Dato il paraboloide ellittico α u; v = u; v; u + 3v, calcolare le curvature principali, la curvatura media e la curvatura Gauiana nell origine p =, ; 3 Si conideri la peudofera u α u; v = e t dt; e u co v ; e u in v
2 Dimotrare che ea ha curvatura Gauiana cotante pari a K = 4 GEODETICHE Una curva u S interamente contenuta in S, γ, i dice geodetica e: E parametrizzata con l acia curvilinea; γ è parallelo alla normale N alla uperficie in ogni punto γ S Verificare che la curva è una geodetica per il cilindro ma non per il cono γ = co ; in ; α u; v = co u ; in u ; v, β u; v = u co v ; u in v ; u
3 5 Verificare che le eliche δ a = co + a ; in + a ; a, per ogni numero reale a, ono geodetiche per il cilindro α u; v = co u ; in u ; v 6 Sia data la uperficie di rotazione α u; v = f u co v ; f u in v ; f u, con f u + f u = per ogni u, e f ;f funzioni C, f > Dimotrare che il meridiano γ = f co v ; f in v ; f, con v angolo fiato, è una geodetica per la uperficie α 7 La curvatura normale di una curva γ parametrizzata a velocità unitaria è il prodotto calare κ n = γ ; N, dove N è la normale alla uperficie in γ La curvatura geodetica è κ g = κ κ n 3
4 Dimotrare che una curva geodetica ha curvatura geodetica cotantemente nulla facile! 8 Sia data la uperficie di rotazione α u; v = f u co v ; f u in v ; f u, con f u + f u = empre, e f ;f funzioni C, f > Dimotrare che il parallelo γ = f u co ; f u in ; f u, con u fiato, ha curvatura geodetica cotante nella uperficie α 9 Calcolare la curvatura Gauiana e la matrice dell applicazione di Weingarten per la uperficie α u; v = u co v ; u in v ; log u, u > Calcolare la curvatura Gauiana e la matrice dell applicazione di Weingarten per la uperficie α u; v = u co v ; u in v ; v 4
5 Sia f u; v una funzione C a due variabili Calcolare la matrice della econda forma fondamentale e la curvatura Gauiana della uperficie α u; v = u; v; f u; v, e mettere in relazione il determinante della matrice heiana di f u ; v con l ellitticità o l iperbolicità o la parabolicità della uperficie in α u ; v Calcolare le curvature principali, la curvatura media e la curvatura Gauiana in ogni punto p per la uperficie cono: β u; v = u co v ; u in v ; u, u > 3 Calcolare la curvatura Gauiana in ogni punto per la uperficie α u; v = co u v in u ; in u + v co u ; v 5
6 4 Calcolare la curvatura Gauiana in ogni punto per la uperficie α u; v = u; e u co v ; e u in v, u; v R ; π SOLUZIONI PROBLEMA α u u; v = r co u co v ; r co u in v ; r in u; α v u; v = r in u in v ; r in u co v ; α u α v = r in u co v ; r in u in v ; r in u co u; N = in u co v ; in u in v ; co u α uu u; v = r in u co v ; r in u in v ; r co u; α vv u; v = r in u co v ; r in u in v ; ; α uv u; v = r co u in v ; r co u co v ; r r in ; u r r in u L = r H = r r 6
7 K = det B det r k = k = r PROBLEMA α u u; v = ; ; u; α v u; v = ; ; 6v; α u α v = u; 6v; u; 6v; N = 4u + 36v + α uu u; v = ; ; ; α uv u; v = ; ; ; α vv u; v = ; ; 6 + 4u uv uv + 36v 4u +36v + 6 4u +36v + Nel punto P = ; ; = α ;, e 6 L = 6 k = 6; k = H = 4; K = PROBLEMA 3 Ricordari che la prima componente è definita tramite un integrale, e il parametro u è un etremo di integrazione Si ha: u e t dt = e u + arctanh e u, ma i può anche procedere molto più velocemente ricordando che la derivata prima di una funzione integrale è emplicemente l integrando valutato nel punto Quindi, α u u; v = e u ; e u co v ; e u in v, α v u; v = ; e u in v ; e u co v 7
8 det B Calcolando poi K =, i vede che K = cotantemente i noti in det G più che la parametrizzazione è definita olo per u > PROBLEMA 4 γ = co ; in ; Il campo di vettori normale al cilindro è: N α = co u ; in u ; Nel punto γ = α ; i noti che lo teo punto è vito otto due differenti apetti: come punto della curva γ e come punto della uperficie S, i ha N α γ = co ; in ;, che è parallelo a γ Poichè queto è vero in generale può aumere qualiai valore enza che la proprietà di parallelimo ia alterata, e, inoltre, i vede ubito che γ è parametrizzata a velocità unitaria, γ è una geodetica per il cilindro l campo di vettori normale al cono è: N β = co u in u ; ; Nel punto γ = β ;, i ha N β γ = co in ; ;, che non è parallelo a γ PROBLEMA 5 δ a è parametrizzata con l acia curvilinea Inoltre, δ a = + a co + a Il campo di vettori normale al cilindro è: ; + a in N α = co u ; in u ; Nel punto δ a = α +a ; a, i ha + a ; 8
9 N α γ = co + a ; in + a ;, che è parallelo a δ a, qualunque ia il valore di a R In particolare, per a =, ritorniamo nel cao dell eercizio precedente PROBLEMA 6 γ = f co v ; f in v ; f, γ = f co v ; f in v ; f, γ = f co v ; f in v ; f α u u; v = f u co v ; f u in v ; f u; α v u; v = f u in v ; f u co v ; ; Nel punto γ = α ; v, i ha: γ = f co v ; f in v ; f e α u ; v = f co v ; f in v ; f γ ; α u = f f + f f D altra parte, per ipotei, f u + f u =, e, derivando queta relazione, f u f u + f u f u = A meno di cambiare il nome della variabile o u i vede che γ ; α u = γ ; α v ; v = = f f in v co v + f f in v co v = γ è perpendicolare a α u e ad α v in ogni punto della curva, dunque deve eere empre parallelo al vettore normale γ = f + f =, quindi γ è parametrizzata con l acia curvilinea Allora, il meridiano γ è una geodetica per la uperficie di rotazione PROBLEMA 7 Per una curva parametrizzata con l acia curvilinea, appiamo che T = γ e che T = κ N γ, dove κ = T = γ N γ è il vettore normale alla curva A queto punto, e γ è parallelo alla normale N alla uperficie che ha lunghezza cotante, γ ; N = γ = κ 9
10 Pertanto, κ n = κ, e coì la curva ha κ g = identicamente PROBLEMA 8 α u u; v = f u co v ; f u in v ; f u; α v u; v = f u in v ; f u co v ; ; f u f N u; v = u co v ; f u f u in v ; f u f u f u f + f = f u co v ; f u in v ; f u γ = f u co ; f u in ; κ = γ = f u, che è cotante Nel punto γ = α u ;, i ha: N u ; = f u co ; f u in ; f u ; γ = f u co ; f u in ; γ ; N u ; = f u f u Anche la curvatura normale è cotante, dunque è cotante pure la curvatura geodetica: κ g = κ κ n = f u f u f u = = f u f u = f u f u PROBLEMA 9 α u u; v = co v ; in v ; u α v u; v = u in v ; u co v ; α u α v u; v = co v ; in v ; u; co v ; in v ; u N u; v = α uu u; v = + u ; ; u ; α uv u; v = in v ; co v ; ; α vv u; v = u co v ; u in v ; +u u u L = G u +u u +u u u + 3 u u +
11 K u; v = u + PROBLEMA α u u; v = co v ; in v ; ; α v u; v = u in v ; u co v ; ; in v ; co v ; u N u; v = + u α uu u; v = ; ; ; α uv u; v = in v ; co v ; ; α vv u; v = u co v ; u in v ; + u +u +u K u; v = u + L = G u + u + 3 PROBLEMA α u u; v = ; ; f u; v ; u α v u; v = ; ; f u; v v f ; f ; N u; v = u v + f u + f v α uu u; v = ; ; f ; u f α uv u; v = ; ; ; u v α vv u; v = ; ; f v + f f f u u v f f u v + f v f q u q + u f + f v f u v q q + u f + f v u L = G u f + f u u + f u v u + f v f v u + f v
12 f f det + + ; u v det He f det + f u + f v det He f K = + f u + f v Quindi, il punto α u ; v è ellittico e det He f > in u ; v ; α u ; v è parabolico e det He f = in u ; v ; α u ; v è iperbolico e det He f < in u ; v PROBLEMA β u u; v = co v ; in v ; ; βv u; v = u in v ; u co v ; β u β v u; v = u co v ; u in v ; u; co v ; in v ; N u; v = β uu u; v = ; ; ; β uv u; v = in v ; co v ; ; β vv u; v = co v ; in v ; u L = ; u k = ; k = u ; la curvatura Gauiana è: K = H = u PROBLEMA 3 α u u; v = in u v co u ; co u v in u ; ; α v u; v = in u ; co u ; ; co u v in u ; in u + v co u ; v N u; v = + v α uu u; v = co u + v in u ; in u v co u ; ; α uv u; v = co u ; in u ; ; α vv u; v = ; ;
13 + v +v +v +v +v K u; v = v Si oervi che tutti i punti della uperficie ono + iperbolici PROBLEMA 4 u; e u co v ; e u in v α u u; v = ; e u co v ; e u in v; α v u; v = ; e u in v ; e u co v; e u ; co v ; in v N u; v = + e u α uu u; v = ; e u co v ; e u in v; α uv u; v = ; e u in v ; e u co v; α vv u; v = ; e u co v ; e u in v + e u e u e u +e u eu +e u K u; v = + e u Si oervi che anche in queto cao tutti i punti della uperficie ono iperbolici Infatti, queta uperficie è olo un modo differente per parametrizzare la peudo-fera 3
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