S t (t, s) A, S s (t, s) B, N(t, s) A B A B.

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1 Esercizi 6. Soluzioni. () Sia π : X = P + ta + sb, t, s R un piano in R 3. (i) Dimostrare che π è una superficie (parametrizzata) regolare in tutti i punti. (ii) Calcolare il piano tangente e il ersore normale ad π al ariare di t, s. (iii) Calcolare la prima e la seconda forma fondamentale di π. (i) Calcolare la curatura media e la curatura gaussiana di π. (i)(ii) Osseriamo innanzitutto che, al ariare di s, t R, la funzione S(s, t) = P + ta + sb descrie un piano in R 3 se e solo se A e B sono ettori linearmente indipendenti. Per ogni s, t R, si ha S t (t, s) A, S s (t, s) B, N(t, s) A B A B. Ne segue che i ettori {S t (t, s), S s (t, s)} sono linearmente indipendenti per ogni s, t R e dunque π è una superficie regolare in ogni punto. Per ogni s, t R, il piano tangente a π in S(t, s) è il piano stesso. (iii)(i) I coefficienti della prima forma fondamentale di π sono E = A A, F = A B, G = B B. Poiché S tt (t, s) = S ss (t, s) = S st (t, s), i coefficienti della seconda forma fondamentale sono e = f = g =. Di conseguenza, ogni punto di π è planare e la curatura media e la curatura gaussiana di π sono identicamente nulle. () Sia S = S(u, ) una superficie regolare. Sia P = S(u, ) un punto non planare e non umbilicale, doe i coefficienti della prima e della seconda forma fondamentale soddisfano F = S u S u =, f = N S uu =. Far edere che le curature principali (il massimo e il minimo della curatura normale k N (γ), al ariare delle cure γ su S passanti per P ) sono date da k = e E, k = g G e sono assunte rispettiamente sulle cure u = u e =. Sia γ(t) = S(u(t), (t)) una cura regolare su S passante per P e sia γ (t) = S u u + S.. Nelle nostre ipotesi, la curatura normale di γ in P è data dalla funzione omogenea di grado zero in u, k N (u, ) = e(u ) + g( ) E(u ) + G( ). Poiché una funzione omogenea di grado zero è costante sulle rette per l origine ( k N (u, ) = k N (λu, λ ), per ogni λ ) può essere considerata una funzione dalla sfera unitaria di R ad R. Dunque ha necessariamente massimo e minimo. I punti critici di k N sono dati dal sistema { k u = (E(u ) +G( ) ) u ( ) (eg ge) = k = (E(u ) +G( ) ) (u ) (eg ge) =. ( ) Poiché il punto P non è planare e non è umbilicale, eg e eg ge. Di conseguenza, le soluzioni del sistema (*) sono u =, e =.

2 Essendo gli unici due punti critici di k, sono necessariamente punti di massimo o minimo (a seconda dei alori di e, E e di g, G). Essi corrispondono alle cure u = u e =, su cui la curatura normale assume rispettiamente i alori k = g G e k = e E. Alternatiamente: Per le cure con u in P, ponendo m = /u possiamo scriere k N (γ) = e + gm E + Gm. Differenziando rispetto ad m, troiamo che la deriata si annulla se e solo se m = che equiale a =. Sulla cura =, la curatura normale assume il alore k = e E. Per le cure con in P, ponendo m = u / possiamo scriere k N (γ) = em + g Em + G. Differenziando rispetto ad m, troiamo che la deriata si annulla se e solo se m = che equiale a u =. Sulla cura u = u, la curatura normale assume il alore k = g G. (3) Cilindro. Sia S: R R 3 la superficie data da S(u, ) = cos u sin u, u [, π], R. ( i) Dimostrare che S coincide con la superficie data dall equazione x + y =. (ii) Dimostrare che S è regolare in tutti i punti e che in ogni punto di S il piano tangente è un piano erticale. (iii) Verificare che S è una superficie rigata siluppabile. (i) Verificare che S è una superficie di rotazione. () Calcolare la prima e la seconda forma fondamentale di S e confrontarle con quelle di un piano. (i) Calcolare la curatura media e la curatura gaussiana di S. (i) Ogni punto di S soddisfa l equazione x + y =. Viceersa, ogni punto del cilindro x + y = può essere scritto come cos u sin u, in quanto le prime due coordinate soddisfano l equazione del cerchio di centro e raggio, e la terza coordinata è libera. (ii) Poiché i ettori S u = sin u cos u e S = sono linearmente indipendenti per ogni u,, la superficie S è regolare in ogni punto. Poiché S u S = cos u sin u, il piano tangente ad un punto S(u, ) risulta cos u x + sin u y = ed è un piano erticale (l equazione non contiene la ariabile z). (iii) Scriendo S(u, ) = cos u sin u +, Q(u) = cos u sin u, r(u) =, r (u) =, det(q, r, r ) =, ediamo che S è una superficie rigata siluppabile.

3 (i) S è la superficie di rotazione ottenuta ruotando la retta (di equazione y = nel piano y, z) attorno all asse z: S(u, ) = cos u sin u. () Poiché S uu = cos u sin u, S = S u =, N = cos u sin u, la prima e la seconda forma fondamentale di S sono date rispettiamente da E = G =, F =, e =, f = g =. La prima forma fondamentale di S coincide con quella di un piano: da ciò segue che il cilindro è localmente isometrico ad un piano. Questo concorda col fatto che il cilindro è siluppabile, ossia un pezzo di cilindro può essere steso su un pezzo di piano senza cambiarne le misure di lunghezza e di angolo. D altra parte, mentre i punti di un piano sono tutti planari, i punti di un cilindro sono parabolici. Dunque un pezzo di cilindro non può essere portato su un pezzo di piano mediante un moimento rigido. (i) Per il risultato dell esercizio, le curature principali sono k = e k =. Da cui la curatura media e la curatura gaussiana di S sono date rispettiamente da H = / e K =.. (4) Dimostrare che S(u, ) = u + u, T (a, b) = a b u + a + b sono parametrizzazioni equialenti del paraboloide z = x + y. Sol: È chiaro innanzitutto che al ariare di a, b R, T è una parametrizzazione del paraboloide z = x + y. Poiché u + = (u + ) + (u ), anche i punti di S appartengono ( ) ( ) al paraboloide ( ) z = x + y. u a u + Sia φ: R R, =. L applicazione φ è inertibile (infatti u = b u (a + b), = (a b)) ed ha jacobiano con determinante non nullo per ogni u,. Infine u + T φ(u, ) = T (u +, u ) = u = u + u = S(u, ). (u + ) + (u ) u + (5) Iperboloide a due falde. Sia γ la cura del piano (y, z) data da γ(t) = sinh t, t R. cosh t (i) Determinare una parametrizzazione della superficie ottenuta ruotando γ attorno all asse z e determinare un equazione che definisce S. (ii) Determinare i punti in cui S è regolare. (iii) Calcolare i coefficienti della prima e della seconda forma fondamentale di S nei punti regolari. ( i) Determinare il segno della curatura gaussiana di S (nei punti regolari). Utilizzare le formule ricaate nelle note. 3

4 (6) Iperboloide a una falda. Sia γ la cura del piano (y, z) data da γ(t) = cosh t, t R. sinh t (i) Determinare una parametrizzazione della superficie ottenuta ruotando γ attorno all asse z e determinare un equazione che definisce S. (ii) Determinare i punti in cui S è regolare. (iii) Determinare i punti di S doe la curatura gaussiana è massima. (i) Determinare le linee di curatura doe la curatura gaussiana è massima. ( ) Scegliere un punto P S e determinare una cura su S, passante per P, con curatura normale nulla. (i) Una parametrizzazione della superficie cercata è cos θ cosh t S(t, θ) = sin θ cosh t, t R, θ [, π]. sinh t (ii) Poiché cosh t per ogni t R, la cura γ non tocca mai l asse di rotazione e la superficie S è regolare in tutti i punti. (iii)(i) Dai soliti calcoli (edi note), troiamo E = cosh t, G = + sinh t, F =, e = + sinh t, f =, g = cosh + sinh t. Da ciò e dai risultati dell esercizio, abbiamo che le curature principali sono date rispettiamente da k = e E = cosh t + sinh t, k = g G = cosh ( + sinh t) + sinh t. Le linee di curatura in un punto P S sono sempre il parallelo e il meridiano passanti per P. La curatura Gaussiana K = k k = ( + sinh t) è sempre negatia: è minima nei punti del parallelo t =, mentre tende a zero al tendere di t a ± : la superficie diernta sempre più piatta erso l infinito. È massima in alore assoluto nei punti del parallelo t =. () L iperboloide ad una falda è una superficie rigata (edi esercizio 7): dato P S, una cura su S, passante per P, con curatura normale nulla è la retta generatrice per P. t t (7) Determinare se le seguenti superfici sono rigate siluppabili cos u sin u cos u sin u S(u, ) = sin u + cos u, T (u, ) = sin u + cos u. u Sol: Scriiamo S(u, ) = cos u sin u + sin u cos u. Poiché sin u sin u cos u det cos u cos u sin u ) 4

5 la superficie S non è siluppabile. Si può erificare che la superficie S è un iperboloide ad una falda: tutti i punti di S soddisfano l equazione x + y z =. Analogamente, scriiamo T (u, ) = cos u sin u + sin u cos u. Poiché u la superficie T non è siluppabile. sin u sin u cos u det cos u cos u sin u ) La superficie T è un elicoide. (8) Discutere il segno della curatura gaussiana nei punti della superficie della figura. Preso un punto P nella parte esterna della superficie, si ede che tutte le cure su S passanti per P hanno la concaità riolta dalla stessa parte. Pertanto questi punti hanno curatura gaussiana non-negatia (probabilmente strettamente positia). Viceersa, preso un punto P nella parte interna della superficie, si ede che fra tutte le cure su S passanti per P ce ne sono almeno due con la concaità riolta dalla parte opposta. Pertanto questi punti hanno curatura gaussiana non-positia (probabilmente strettamente negatia). 5

6 (9) Ruotare la cura γ(t) = t t La superficie che si determina è data da, t R, attorno all asse z. Che superficie si troa? S(θ, t) = t cos θ t sin θ, t R, θ [, π] t e si tratta del cono di equazione x + y = z. È una superficie rigata siluppabile. Il cono di equazione x + y = z. () Sanini, Esercizi Cap. VI, N..,.,.4,.,.,.3,.4. 6