2. METODO DEGLI SPOSTAMENTI O EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA, PER LA SOLUZIONE DI TRAVI IPERSTATICHE

Transcript

1 METODO DEGLI SPOSTAMENTI CORSO DI PROGETTAZIONE STRUTTURALE B a.a. 00/0 Prof. G. Salerno Appunti elaborati da Arch. C. Provenzano. STRUTTURE IPERSTATICHE Una truttura i dice ipertatica o taticamente indeterminata quando è vincolata più del neceario a mantenere il uo equilibrio tatico. I itemi ipertatici, molto comuni nella pratica, ono caratterizzati dall avere il numero di gradi di libertà inferiore al numero dei gradi di vincolo nl < nv. Queto non conente di determinare univocamente né le reazioni vincolari né le azioni di contatto tramite ole equazioni di bilancio (applicate all intero corpo, o alla ua parte generica), poiché il numero delle incognite (reazioni vincolari o azioni di contatto) è uperiore al numero di equazioni (di bilancio). Non è poibile quindi riolvere il problema dell equilibrio di trutture ipertatiche enza introdurre altri fattori quali le caratteritiche meccaniche del materiale, le caratteritiche geometriche (area, inerzia) della ezione, tutte legate alla deformabilità della trave.. METODO DEGLI SPOSTAMENTI O EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA, PER LA SOLUZIONE DI TRAVI IPERSTATICHE Il metodo degli potamenti è un metodo per riolvere il problema dell equilibrio ia per trutture iotatiche, ia per trutture ipertatiche. Eo conente di determinare le reazioni vincolari, i diagrammi delle ollecitazioni, gli potamenti e le deformazioni, a partire dai tre gruppi di equazioni del modello di trave di Bernoulli. Richiamiamo di eguito tutte le equazioni del modello di trave di Bernoulli, ditinguendole in tre gruppi dal divero ignificato fiico. Equazioni di bilancio eprimono il legame tra carichi eterni e ollecitazioni dn + q dt + q dm + T Equazioni di congruenza eprimono il legame tra deformazione e potamenti du ε γ ϕ 0 da cui dϕ χ ϕ.

2 ove ε deformazione aiale, γ corrimento angolare, χ curvatura. Nel modello di Bernoulli i ipotizza che non ci iano corrimenti angolari, oia γ0 da cui ϕ. Legame cotitutivo eprimono il legame tra deformazione e le ollecitazioni N EA ε M EJ χ E modulo di Young, modulo di elaticità normale del materiale A area della ezione della trave J momento di inerzia della ezione della trave. Il problema fleionale Nel metodo degli potamenti è poibile ditinguere il problema aiale dal problema fleionale che poo eere analizzati come due problemi eparati. In queta ede i rivolgerà l attenzione al olo problema fleionale per cui le grandezze da tenere in coniderazione ono: v, φ, T, M, χ Nel itema di equazioni decritte nel paragrafo precedente, le equazioni in cui non figurano quete grandezze ono le eguenti: dn + q du ε N EA ε Ee potranno eere coniderate un gruppo di equazioni a parte e trattate eparatamente, per determinare l equazione della linea elatica per oli potamenti aiali. Dopo tale premea, le equazioni che definicono il problema fleionale ono dunque le eguenti: dt + q dm + T M EJ χ dϕ χ ϕ ()

3 . Equazione della linea elatica per potamenti fleionali Tramite un proceo di otituzione a catena tra le equazioni del itema (), i paerà dalle cinque equazioni del paragrafo precedente ad un unica equazione: l equazione della linea elatica per potamenti fleionali, dove l incognita arà lo potamento traverale v. Sotituendo la quarta equazione nella quinta equazione del itema () i ottiene che la curvatura è uguale alla derivata econda dello potamento d χ χ Di coneguenza, la terza equazione del itema () diventa M EJ Sotituendo l epreione coì ottenuta nella econda equazione del itema () i ottiene che il taglio è proporzionale alla derivata terza dello potamento. d EJ + T EJ + T 0 T EJ Infine, dalla prima equazione del itema () i ricava: d EJ + q q EJ q equazione differenziale della linea elatica EJ L equazione differenziale della linea elatica metter in relazione i carichi agenti u di una trave (dato del problema) con gli potamenti da ei prodotti (incognite del problema). Effettuando quattro operazioni di integrazione in equenza dell equazione differenziale della linea elatica i ottiene la funzione potamento in termini generali. Per adattarla al cao particolare occorre attribuire un valore alle quattro cotanti di integrazione. Queto è poibile olamente fiando le condizioni al bordo. Si procede quindi integrando quattro volte l equazione della linea elatica: q q C + EJ EJ q q + C + C + C EJ EJ q q + C + C + C + C + C EJ EJ 6

4 q EJ 6 + C + C + C q v () + C + C + C + C EJ 6 potamento () Si ottengono inoltre le eguenti equazioni: q ϕ ( ) + C + C + C EJ 6 rotazione () q M EJ EJ + C + C EJ momento () () dm q T () EJ EJ + C taglio () EJ Le condizioni al bordo che interea fiare ai fini della determinazione del valore delle cotanti d integrazione, ono ovviamente legate alle grandezze v, φ, M, T, di cui abbiamo or ora determinato le funzioni generali. Si riporta di eguito un eempio di oluzione di una truttura ipertatica, uando il metodo di integrazione della linea elatica... Eempio: Trave incatro - appoggio Fig.. Le condizioni al bordo per la trave in Fig.. ono:

5 v(0) incatro ϕ (0) v( l) ( l) ( l) appoggio M ( l) EJ Sotituendo nella equazione () la condizione al bordo v ( 0) i ottiene: v( ) C 0 Sotituendo nella equazione () la condizione al bordo ϕ ( 0) i ottiene: ϕ( ) C 0 Applicando la condizione al bordo v ( l), l equazione () diventa: q l l l v ( l) + C + C EJ 6 (6) Applicando la condizione al bordo M ( l), l equazione () diventa: q M ( l) l + Cl + C EJ (7) Riolvendo il itema delle due equazioni algebriche (6) e (7) nelle due incognite C e C q l l l + C + C EJ 6 q l + C + l C EJ Si ottiene C EJ C EJ Adeo i otituendo nell epreione dello potamento i valori delle cotanti trovati i ricava la funzione potamento: v q EJ EJ 6 EJ () + Si può verificare che l equazione dello potamento trovata oddifa le condizioni al bordo

6 v(0) v( l) Per diegnare la deformata, determiniamo i valori di maimo e di minimo in corripondenza dei quali i annulla la derivata della funzione potamento. Deriviamo quindi la funzione potamento, ottenendo la funzione rotazione, ϕ ( ) q EJ EJ EJ e poniamola uguale a zero: q ϕ ( ) + 0 EJ 6 6 EJ EJ che i può crivere come q l + l EJ Queta equazione ha una oluzione per 0 ed un altra come oluzione dell equazione di econdo grado l.9l oluzione non accettabile > l + l le cui radici ono.7l I punti di maimo della funzione potamento i trovano uno in zero e l altro a 0.7l ed avrà valore: v v( 0. 7l) max Fig.. Adeo a partire dalla deformata, i ricavano le altre funzioni ed il valore delle reazioni vincolari nell ordine: φ M T R.V. ϕ ( ) q EJ EJ EJ ϕ(0) condizione al bordo verificata q l l ϕ ( l) + EJ 6 6 EJ EJ EJ 6

7 Adeo calcoliamo M M () EJ () q EJ EJ + EJ q EJ + Per diegnare l andamento della funzione momento M() neceario calcolare:. il valore del momento agli etremi della trave M ( ) q M ( l) l + condizione al bordo verificata. il punto in cui i annulla la derivata del momento M (). M '() q l. il valore del momento nel punto trovato 9 M l i punti in cui il momento è nullo l q M () + l dm Adeo calcoliamo T () M '() M ' T T () T () q ( ) ( l) Fig.. 7

8 Fig.. Per trovare le reazione vincolari bata guardare i valori delle funzioni taglio e momento flettente al bordo. Fig.. Tali valori corripondono proprio a quelli delle reazioni vincolari (o di eventuali forze applicate, qualora foimo in un etremo libero. Ma non è queto il cao).