Lezione 33- Le travi ad una campata II

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1 ezione 33- e travi ad una campata II ü [.a : ultima revisione 14 giugno 2012] In questa lezione si studiano le travi ad una sola campata con i piu' comuni tipi di vincolo e soggetti ai piu' comuni tipi di carico concentrato. Introduzione Si consideri una trave soggetta al carico distribuito p 0 (z), alla forza s ed alla coppia s agenti ambedue all'estremo di sinistra, ed alla forza d ed alla coppia d agenti ambedue all'estremo di destra, come illustrato in igura 1. 'energia potenziale totale di questa trave e' pari alla somma dell'energia elastica, che per le travi di Eulero-ernoulli si riduce alla sola aliquota flessionale: f = EI 11 u 2 '' 2 Hx 3 dx 3 (1) e dell'energia potenziale dei carichi applicati, uguale e contraria al lavoro da essi svolto: P = p 0 Hx 3 u 2 Hx 3 dx 3 s u 2 H0 d u 2 H s φ H0 d φ H 0 (2) p 0 s d d s X 2 igura 1 -a trave ad una campata soggetta a carichi concentrati agli estremi Per il principio di stazionarieta', dovra' essere: δ 1 E t = EI 11 u '' 2 δu '' 2 dx 3 p 0 δu 2 dx s δu 2 H0 d δu 2 H+ s δu 2 ' H0 + d δu 2 ' H = 0 (3)

2 314 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb Integrando due volte per parti il primo integrale, si ha l'usuale equazione differenziale della linea elastica, con le relative condizioni ai limiti: I EI 11 u 2 '' H0+ s δu 2 ' H0 = 0 H 1 H0+ s δu 2 ' H0 = 0 IEI 11 u 2 '' H+ d δu 2 ' H = 0 H 1 H+ d δu 2 ' H = 0 IEI 11 u 2 ''' H0 s δu 2 H0 = 0 HT 2 H0+ s δu 2 H0 = 0 (4) (5) (6) I EI 11 u 2 ''' H d δu 2 H = 0 HT 2 H d δu 2 H = 0 In un estremo incastrato, le due condizioni di congruenza, che annullano spostamenti e rotazioni, restano inalterate, e d'altro canto l'eventuale presenza di forze o coppie concentrate verrebbe bilanciata dalle reazioni vincolari. In un estremo appoggiato, invece, la condizione di congruenza che vieta l'abbassamento resta inalterata, mentre la condizione di equilibrio non esprimera' piu' l'annullarsi del momento flettente, bensi', dalle (4-5): appoggio a sinistra ö 1 (0) = - s appoggio a destra ö 1 () = d nalogamente, in un bipendolo andra' modificata la condizione di equilibrio, che non vedra' piu' l'annullarsi del taglio. Dalle (6-7) si trae: bipendolo a sinistra ö T 2 (0) = - s bipendolo a destra ö T 2 () = d In corrispondenza di un appoggio, una eventuale forza verticale verrebbe assorbita dalla reazione dell'appoggio, mentre una coppia agente in un bipendolo viene assorbita dalla coppia reattiva. Infine, in un estremo libero ambedue le condizioni di equilibrio vanno modificate in base alle (4-7): estremo libero a sinistra ö 1 (0) = - s ; T 2 (0) = - s estremo libero a destra ö 1 () = d ; T 2 () = d In definitiva, gli unici casi significativi di forze concentrate in corrispondenza dei vincoli sono: 1.trave a mensola soggetta a forza nell'estremo libero 2.trave a mensola soggetta a coppia nell'estremo libero 3.trave con incastro-appoggio soggetta a coppia sull'appoggio 4.trave con incastro-bipendolo soggetta a forza sul bipendolo 5.trave appoggiata con coppia sull'appoggio 6.trave con appoggio-bipendolo e coppia sull'appoggio 7.trave con appoggio-bipendolo con forza sul bipendolo (7) a trave a mensola Si abbia una trave a mensola, ossia incastrata a sinistra e libera a destra, soggetta ad una forza nell'estremo libero (cfr. igura 2). In assenza di carico distribuito, l'equazione differenziale sara' omogenea: con soluzione: EI 11 u 2 '''' = 0 u 2 Hx 3 = C 1 + C 2 x 3 + C 3 x C 4 x 3 3 (8) (9)

3 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb 315 Ne segue immediatamente che in questo caso, ed in tutti i casi in cui sono assenti carichi distribuiti, lo spostamento varia secondo un polinomio cubico, e conseguentemente la rotazione variera' con legge quadratica, il momento sara' una funzione lineare, ed il taglio sara' costante. X 2 igura 2 - a trave a mensola soggetta a forza nell'estremo libero e condizioni ai limiti possono trarsi dalle (4-7). lternativamente, possono fissarsi a priori le condizioni di congruenza, ossia l'annullarsi dello spostamento e della rotazione nell'incastro, e dedurre a posteriori le altre due condizioni nell'estremo libero, equilibrando il concio elementare all'ascissa x 3 =. Si ha, come puo' dedursi dalla igura 3: r R 1 H0 T 2 H0 1 H T 2 H r R igura 3 - o schema per la scrittura geometrica delle condizioni ai limiti ossia: u 2 H0 = 0 φ H0 = 0 u 2 ' H0 = 0 1 H = 0 EI 11 u 2 '' H = 0 T 2 H+ = 0 EI 11 u 2 ''' H+ = 0 (10)

4 316 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb da cui: C 1 = 0 C 2 = 0 2 C l C 4 = 0 6 C 4 + = 0 EI 11 (11) C 3 = ; C 4 2 EI 11 6 EI 11 a linea elastica sara' quindi fornita da: (12) u 2 Hx 3 = x 3 2 e, conseguentemente: EI 11 2 x 3 6 (13) φ Hx 3 = x 3 EI 11 K x 3 2 O 1 Hx 3 = Hx 3 T 2 Hx 3 = Di interesse sono i valori degli spostamenti all'estremo libero, e delle caratteristiche all'incastro: (14) (15) (16) u 2 max = u 2 H = 3 3 EI 11 φ min = φ H = 2 2 EI 11 (17) (18) 1 min = 1 H0 = (19) Il tracciamento dei diagrammi puo' convenientemente partire dal taglio, che e' banale, e dal momento flettente, che e' lineare, si annulla in corrispondenza dell'estremo nullo, ed ha pendenza pari a. e rotazioni, che variano con legge quadratica, si annullano nell'incastro, e nell'estremo libero il relativo diagramma deve avere pendenza nulla, in quanto il momento si annulla in quella sezione. Infine, gli abbassamenti si annullano nell'incastro e la pendenza deve essere nulla nello stesso incastro. Spostamenti 3 3 EI u 2

5 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb 317 φ Rotazioni 2 2 EI omenti 1 T 2 Tagli igura 4 - Il caso della mensola soggetta a forza concentrata nell'estremo libero Si abbia ora la stessa trave a mensola, soggetta ad una coppia nell'estremo libero (cfr. igura 5). e condizioni ai limiti, analogamente a quanto detto per la mensola soggetta a forza concentrata, sono: ossia: u 2 H0 = 0 φ H0 = 0 u 2 ' H0 = 0 1 H+ = 0 EI 11 u 2 '' H+ = 0 T 2 H = 0 u 2 ''' H = 0 (20) C 1 = 0 C 2 = 0 2 C l C 4 + EI 11 = 0 6 C 4 = 0 (21)

6 318 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb X 2 igura 5 - a trave a mensola soggetta a coppia nell'estremo libero da cui: C 3 = 2 EI 11 a linea elastica sara' quindi fornita da: u 2 Hx 3 = 2 EI 11 x 3 2 e, conseguentemente: (22) (23) φ Hx 3 = EI 11 x 3 (24) 1 Hx 3 = T 2 Hx 3 = 0 Di interesse sono i valori degli spostamenti all'estremo libero: (25) (26) u 2 min = u 2 H = l2 2 EI φ max = φ H = l EI Il tracciamento dei diagrammi non presenta difficolta'. (27) (28) u EI Spostamenti

7 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb 319 φ Rotazioni EI omenti 1 igura 6 - Il caso della mensola soggetta a coppia concentrata nell'estremo libero a trave appoggiata Si abbia ora una trave appoggiata ad ambedue gli estremi, soggetta ad una coppia agente all'estremo di destra (cfr. igura 7). In assenza di carico distribuito, l'equazione differenziale sara' omogenea: X 2 igura 7 - a trave appoggiata soggetta a coppia nell'estremo di destra con soluzione: EI 11 u 2 '''' = 0 (29) u 2 Hx 3 = C 1 + C 2 x 3 + C 3 x C 4 x 3 3 (30) e condizioni ai limiti di congruenza impongono l'annullarsi dell'abbassamento in ambedue gli estremi, mentre equilibrando i conci elementari in x 3 = 0 ed in x 3 = si hanno le altre due condizioni: ossia: u 2 H0 = 0 H0 = 0 u 2 '' H0 = 0 u 2 H = 0 H+ = 0 EI 11 u 2 '' H+ = 0 (31)

8 320 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb da cui: C 1 = 0 C 3 = 0 C 1 + C 2 +C C 4 3 = 0 EI 11 H2 C C 4 + = 0 (32) C 2 = ; C 4 = 6 EI 11 6 EI 11 a linea elastica sara' quindi fornita da: u 2 Hx 3 = x 3 H x 3 H+x 3 6 EI 11 e, conseguentemente: φ Hx 3 = 3 x 3 6 EI 11 1 Hx 3 = x 3 T 2 Hx 3 = 2 (33) (34) (35) (36) (37) e reazioni degli appoggi hanno valore assoluto pari a, la reazione di sinistra e' negativa, quindi diretta versa l'alto, mentre la reazione di destra e' positiva, e quindi diretta verso il basso. In tal modo esse formano una coppia di braccio, che equilibra la coppia esterna. I diagrammi del taglio, del momento, delle rotazioni e degli spostamenti sono riportati in igura 3. Si noti che il diagramma delle rotazioni porta a sinistra con tangente orizzontale, e si annulla all'ascissa x 3 = a: 3. In tale ascissa si verifica l'abbassamento massimo, pari 1 u 2 max = EI 11 Di notevole interesse sono poi le rotazioni negli appoggi: (38) φ min = φ H0 = 6 EI 11 ; φ max = φ H = 3 EI 11 (39) Spostamenti EI u 2 3

9 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb EI 6 EI φ Rotazioni 3 omenti 1 T 2 Tagli igura 8 - Spostamenti, rotazioni, momenti e tagli per trave appoggiata soggetta ad una coppia su un appoggio a trave incastrata ed appoggiata Un ulteriore esempio di trave ad una sola campata soggetta a carichi concentrati e' la trave incastrata ad un estremo, appoggiata all'altro estremo, e soggetta ad una coppia sull'appoggio (igura 9). erma restando la distribuzione cubica degli spostamenti, e quindi quella quadratica delle rotazioni, lineare dei momenti e costante dei tagli, le condizioni ai limiti di congruenza saranno ora tre, esprimenti l'annullarsi dello spostamento in ambedue gli estremi, e della rotazione nell'incastro. a restante condizione deriva dall'equilibrio alla rotazione del concio elementare sull'appoggio:

10 322 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb X 2 igura 9 - a trave incastrata-appoggiata soggetta a coppia nell'estremo di destra ossia: da cui: u 2 H0 = 0 φ H0 = 0 u 2 ' H0 = 0 u 2 H = 0 H+ = 0 EI 11 u 2 '' H+ = 0 C 1 = 0 C 2 = 0 C 1 + C 2 +C C 4 3 = 0 EI 11 H2 C C 4 + = 0 (40) (41) C 3 = ; C 4 = 4 EI 11 4 EI 11 a linea elastica sara' quindi fornita da: u 2 Hx 3 = x 3 2 H x 3 4 EI 11 e, conseguentemente, per derivazioni successive: φ Hx 3 = x 3 H3 x EI 11 1 Hx 3 = 3 x 3 2 (42) (43) (44) (45) T 2 Hx 3 = 3 (46) 2 I diagrammi delle caratteristiche sono facilmente tracciabili: il taglio e' costante, il momento si annulla ad un terzo della luce, assume il valore nell'appoggio (come da condizione ai limiti) ed il valore /2 nell'incastro. e rotazioni, nulle nell'incastro, si annullano a 2/3 della luce, ed il relativo diagramma ha tangente orizzontale ad un terzo della luce, dove il momento e' nullo. Infine, gli spostamenti sono nulli ad ambedue gli estremi, ed il diagramma avra' tangente orizzontale in corrispondenza dell'incastro, ed ai 2/3 della luce, dove le rotazioni sono nulle. Si ha quindi la situazione di igura 10, dove sono anche riportati alcuni valori significativi. e reazioni non sono calcolabili con sole considerazioni di equilibrio, in quanto la trave e' una volta iperstat-

11 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb 323 ica, ma possono essere dedotte dalla conoscenza delle caratteristiche della sollecitazione interna: R = T 2 H0 = 3 (47) 2 ; R = T 2 H = 3 2 ; r = 1 H0 = 2 Verificare che questi valori soddisfano le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale ed alla rotazione EI u Spostamenti 4 EI 12 EI φ 3 Rotazioni 2 omenti 1 T 2 Tagli 3 2 igura 10 - Spostamenti, rotazioni, momenti e tagli per trave incastrata ed appoggiata, soggetta ad una coppia su un appoggio

12 324 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb a trave con incastro e bipendolo 'unico carico concentrato agli estremi che sia ipotizzabile su una trave incastrata e con bipendolo e' una forza agente in corrispondenza del bipendolo (igura 11). Tre condizioni ai limiti sono di congruenza, e devono esprimere l'annullarsi dell'abbassamento nell'incastro, e della rotazione sia nell'incastro che nel bipendolo, mentre l'ultima condizione dovra' garantire l'equilibrio del bipendolo alla traslazione verticale: u 2 H0 = 0 φ H0 = 0 u 2 ' H0 = 0 φ H = 0 u 2 ' H = 0 T 2 H+ = 0 EI 11 u 2 ''' H+ = 0 (48) X 2 igura 11 - a trave con incastro a sinistra e bipendolo a destra, soggetta a forza sul bipendolo ssunta l'usuale soluzione cubica dell'equazione della linea elastica, le (48) si tramutano nelle quattro condizioni: da cui: C 1 = 0 C 2 = 0 C C 3 +3 C 4 2 = 0 6 C 4 EI 11 + = 0 (49) C 3 = ; C 4 = 4 EI 11 6 EI 11 a linea elastica sara' quindi fornita da: u 2 Hx 3 = x 3 2 H3 2 x 3 12 EI 11 e, conseguentemente, per derivazioni successive: φ Hx 3 = x 3 Hx 3 2 EI 11 (50) (51) (52)

13 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb Hx 3 = x 3 2 (53) T 2 Hx 3 = (54) Spostamenti 3 12 EI u 2 2 φ Rotazioni 2 8 EI 2 omenti 2 1 T 2 Tagli igura 12 - Spostamenti, rotazioni, momenti e tagli per trave con incastro e bipendolo, soggetta ad una forza sul bipendolo 'andamento dei diagrammi, riportati in igura 12, e' banale, ed il suo studio e' lasciato come esercizio, cosi' come la deduzione delle reazioni vincolari.

14 326 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb a trave con appoggio e bipendolo 'ultimo schema strutturale da studiare e' la trave con appoggio e bipendolo, soggetta ad una forza sul bipendolo, oppure ad una coppia sull'appoggio (igura 13). Nel primo caso occorre fissare le due condizioni ai limiti di congruenza, esprimenti l'annullarsi dell'abbassamento nell'appoggio, e della rotazione nel bipendolo, mentre le altre due condizioni dovranno esprimere l'equilibrio dell'appoggio alla rotazione e del bipendolo alla traslazione verticale: u 2 H0 = 0 1 H0 = 0 u 2 '' H0 = 0 φ H = 0 u 2 ' H = 0 T 2 H+ = 0 EI 11 u 2 ''' H+ = 0 (55) ssunta l'usuale soluzione cubica dell'equazione della linea elastica, le (55) si tramutano nelle quattro condizioni: X 2 igura 13 - a trave con appoggio a sinistra e bipendolo a destra, soggetta a forza sul bipendolo da cui: C 1 = 0 C 3 = 0 C C 3 +3 C 4 2 = 0 6 C 4 EI 11 + = 0 (56) C 2 = 2 2 EI 11 ; C 4 = 6 EI 11 a linea elastica sara' quindi fornita da: u 2 Hx 3 = x 3 I3 2 x EI 11 e, conseguentemente, per derivazioni successive: φ Hx 3 = Ix EI 11 1 Hx 3 = x 3 (57) (58) (59) (60)

15 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb 327 T 2 Hx 3 = (61) Spostamenti 3 3 EI u 2 φ Rotazioni 2 2 EI omenti 1 T 2 Tagli igura 14 - Spostamenti, rotazioni, momenti e tagli per trave con appoggio e bipendolo, soggetta ad una forza sul bipendolo 'andamento dei diagrammi, riportati in igura 14, e' banale, ed il suo studio e' lasciato come esercizio. a struttura e' isostatica, e le reazioni possono calcolarsi direttamente dalle equazioni di equilibrio della statica: R + = 0 R + r = 0 (62) Infine, se la stessa trave con appoggio e bipendolo e' sollecitata da una coppia sull'appoggio (igura 15), si hanno le condizioni ai limiti:

16 328 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb u 2 H0 = 0 1 H0+ = 0 EI 11 u 2 '' H0+ = 0 φ H = 0 u 2 ' H = 0 T 2 H = 0 u 2 ''' H = 0 (63) X 2 igura 15 - a trave con appoggio a sinistra e bipendolo a destra, soggetta a coppia sull'appoggio ssunta l'usuale soluzione cubica dell'equazione della linea elastica, le (55) si tramutano nelle quattro condizioni: C 1 = 0 2 EI 11 C 3 + = 0 C C 3 +3 C 4 2 = 0 6 C 4 = 0 (64) da cui: C 3 = ; C 2 = 2 EI 11 EI 11 a linea elastica sara' quindi fornita da: u 2 Hx 3 = x 3 Hx EI 11 e, conseguentemente, per derivazioni successive: (65) (66) φ Hx 3 = H x 3 EI 11 1 Hx 3 = T 2 Hx 3 = 0 (67) (68) (69) In questo ultimo caso, quindi, il taglio e' identicamente nullo, il momento e' costante, le rotazioni variano con legge lineare annullandosi nel bipendolo, e gli spostamenti sono descritti da una parabola quadratica, come illustrato in igura u 2 Spostamenti 2 EI

17 ezione 33 - e travi ad una campata - Parte II.nb 329 φ Rotazioni EI omenti 1 igura 16 - Spostamenti, rotazioni e momenti per trave con appoggio e bipendolo, soggetta ad una coppia sull'appoggio igure