Statica e Teoria delle Strutture

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1 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci Esercizio La struttura riprodotta in figura rappresenta una classica tipologia di trave da ponte (trave Gerber). La struttura è soggetta a un carico uniformemente ripartito avente lo stesso valore sulle due travi e. 6 /m 6 m 1 m 3 m ESEIZI OLIGTOI PE TUTTI 1. eterminare le reazioni vincolari esterne (cerniera e carrelli e ) ed interne (cerniera ). isegnare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione. ONE PE HI ISOLVE GLI ESEIZI 1 E 3. ome si può dimostrare che la struttura è isostatica (staticamente determinata) con un metodo alternativo a quello consistente nel confrontare i gradi di libertà (gl) delle due travi ( corpi x 3 gl = 6 gl) con i gradi di vincolo (gv) offerti dai vincoli esterni ed interni ( cerniere x gv + carrelli x 1 gv = 6 gv)? 4. Se le due travi non si potessero modellare come corpi rigidi, e occorresse mettere in conto esplicitamente la loro deformabilità, le reazioni vincolari sarebbero le stesse? 5. Perché il diagramma dello sforzo normale e del taglio non presentano discontinuità in, dove intervengono le due componenti della reazione vincolare interna? 6. osa si può dire della pendenza del diagramma del momento in? 7. osa si può dire della pendenza del diagramma del momento in? 1

2 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci 1. etodo delle equazioni ausiliarie eazioni vincolari esterne (il verso assunto per le reazioni vincolari incognite è positivo verso destra e verso l alto) (6 10 ) 10 (6 10 ) 5 3 (6 3 ) 1.5 = 16 = 35 eazioni vincolari interne (il verso assunto per le reazioni vincolari incognite è positivo verso destra e verso l alto) = 9 + (6 3 ) = 9 6 /m

3 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci. N T m m m 5.33 m 1 m 6.75 m Equazioni delle caratteristiche della sollecitazione Origine degli assi in, asse x diretto da verso 0 < x < 6 N( x ) T( x ) = 16 6 x T(0) = 16 T(6) = = -0 T(x) 16-6 x x = 16/6 =.66 x ( x ) = 16 x 6 x = 16 x 3 x (0) m (.66) = = 1.33 m (6) = = -1 m m 3

4 3. Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci 6 < x < 10 N( x ) T( x ) = 16 6 x + 35 = 51 6 x T(6) = = 15 T(7) = = 9 T(10) = = -9 T(x) 51-6 x x = 51/6 = 8.5 m x ( x ) = 16 x 6 x + 35 ( x 6 ) = x 3 x (6) = = -1 m (7) = m (8.5) = = 6.75 m (10) = m Si può ragionare in due diversi modi. Si può ad esempio osservare che la trave Gerber è una struttura composta, ovvero costituita dall assemblaggio di una parte portante e una parte portata. È portante la trave, portata la trave : la prima, presa separatamente, è isostatica perché vincolata con una cerniera e un carrello, la seconda si appoggia sulla prima in corrispondenza della cerniera interna ed è vincolata esternamente con un altro carrello. Si può anche interpretare l intera trave come un unico corpo rigido vincolato esternamente con una cerniera e due carrelli (ovvero con un vincolo sovrabbondante) all interno del quale è presente però, in, una sconnessione semplice (in luogo di un incastro, vincolo triplo, abbiamo una cerniera, vincolo doppio). La sconnessione riduce di uno i gradi di vincolo rendendo isostatica la trave. 4. Sì, perché essendo la struttura isostatica, le reazioni vincolari si determinano con le sole equazioni di equilibrio senza necessità di mettere in conto la deformabilità del sistema. 5. Perché le reazioni vincolari interne che le due travi e si scambiano in sono sempre uguali e contrarie e quindi la loro somma è nulla. onseguentemente in non vi è discontinuità di carico La pendenza è uguale immediatamente a destra e a sinistra di perché il taglio è continuo. In è presente una cuspide, ovvero una discontinuità nella derivata prima del momento, poiché il taglio è discontinuo. In particolare la derivata (pendenza) del momento, immediatamente a sinistra e a destra di, cambia segno perché il taglio cambia segno. 4

5 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci Esercizio La struttura riprodotta in figura rappresenta una classica tipologia di trave da ponte (trave Gerber). La struttura è soggetta a un carico uniformemente ripartito avente lo stesso valore sulle due travi e. 4 /m 8 m m 4 m ESEIZI OLIGTOI PE TUTTI 8. eterminare le reazioni vincolari esterne (cerniera e carrelli e ) ed interne (cerniera ) 9. isegnare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione. ONE PE HI ISOLVE GLI ESEIZI 1 E 10. ome si può dimostrare che la struttura è isostatica (staticamente determinata) con un metodo alternativo a quello consistente nel confrontare i gradi di libertà (gl) delle due travi ( corpi x 3 gl = 6 gl) con i gradi di vincolo (gv) offerti dai vincoli esterni ed interni ( cerniere x gv + carrelli x 1 gv = 6 gv)? 11. Se le due travi non si potessero modellare come corpi rigidi, e occorresse mettere in conto esplicitamente la loro deformabilità, le reazioni vincolari sarebbero le stesse? 1. Perché il diagramma dello sforzo normale e del taglio non presentano discontinuità in, dove intervengono le due componenti della reazione vincolare interna? 13. osa si può dire della pendenza del diagramma del momento in? 14. osa si può dire della pendenza del diagramma del momento in? 5

6 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci 1. etodo delle equazioni ausiliarie eazioni vincolari esterne (il verso assunto per le reazioni vincolari incognite è positivo verso destra e verso l alto) ( 4 14 ) 14 ( 4 14 ) 7 4 ( 4 4 ) = 13 = 35 eazioni vincolari interne (il verso assunto per le reazioni vincolari incognite è positivo verso destra e verso l alto) = 8 + ( 4 4 ) = 8 4 /m

7 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci. N T m m m 1.1 m 4 m 8 m Equazioni delle caratteristiche della sollecitazione Origine degli assi in, asse x diretto da verso 0 < x < 8 N( x ) T( x ) = 13 4 x T(0) = 13 T(8) = = -19 T(x) 13-4 x x = 13/4 = 3.5 x ( x ) = 13 x 4 x = 13 x x (0) m (3.5) = = 1.1 m (8) = = -4 m m 8 < x < 14 7

8 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci N( x ) T( x ) = 13 4 x + 35 = 48 4 x T(8) = = 16 T(10) = = 8 T(14) = = -8 T(x) 48-4 x x = 48/4 = 1.0 m x ( x ) = 13 x 4 x + 35 ( x 8 ) = x x (8) = = -4 m (10) = m (1) = = 8 m (14) = m Vedi Esercizio. 8

9 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci Esercizio La struttura riprodotta in figura rappresenta una classica tipologia di trave da ponte (trave Gerber). La struttura è soggetta a un carico uniformemente ripartito avente lo stesso valore sulle due travi e. 3 /m 6 m m 4 m ESEIZI OLIGTOI PE TUTTI 15. eterminare le reazioni vincolari esterne (cerniera e carrelli e ) ed interne (cerniera ) 16. isegnare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione. ONE PE HI ISOLVE GLI ESEIZI 1 E 17. ome si può dimostrare che la struttura è isostatica (staticamente determinata) con un metodo alternativo a quello consistente nel confrontare i gradi di libertà (gl) delle due travi ( corpi x 3 gl = 6 gl) con i gradi di vincolo (gv) offerti dai vincoli esterni ed interni ( cerniere x gv + carrelli x 1 gv = 6 gv)? 18. Se le due travi non si potessero modellare come corpi rigidi, e occorresse mettere in conto esplicitamente la loro deformabilità, le reazioni vincolari sarebbero le stesse? 19. Perché il diagramma dello sforzo normale e del taglio non presentano discontinuità in, dove intervengono le due componenti della reazione vincolare interna? 0. osa si può dire della pendenza del diagramma del momento in? 1. osa si può dire della pendenza del diagramma del momento in? 9

10 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci 1. etodo delle equazioni ausiliarie eazioni vincolari esterne (il verso assunto per le reazioni vincolari incognite è positivo verso destra e verso l alto) ( 3 1 ) 1 ( 3 1 ) 6 4 ( 3 4 ) = 6 = 4 eazioni vincolari interne (il verso assunto per le reazioni vincolari incognite è positivo verso destra e verso l alto) = 6 + ( 3 4 ) = 6 3 /m

11 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci. N T 6.00 m m m 6 m 18 m 6 m Equazioni delle caratteristiche della sollecitazione Origine degli assi in, asse x diretto da verso 0 < x < 6 N( x ) T( x ) = 6 3 x T(0) = 6 T(6) = = -1 T(x) 6-3 x x ( x ) = 6 x 3 x = 6 x 1.5 x (0) m () = = 6 m (6) = = -18 m x = 6/3 =.00 m 11

12 Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroni" - orso di Laurea Specialistica Quinquennale in rchitettura U.E. orso di Statica e Teoria delle Strutture esare Tocci 6 < x < N( x ) T( x ) = 6 3 x + 4 = 30 3 x T(6) = = 1 T(8) = = 6 T(1) = = -6 T(x) 30-3 x x = 30/3 = 10.0 m x ( x ) = 6 x 3 x + 4 ( x 6 ) = x 1.5 x (6) = = -18 m (8) = m (10) = = 6 m (1) = m Vedi Esercizio. 1