Lezione 36 - Le travi a piu' campate. Parte II

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1 Lezione 36 - Le travi a piu' campate. Parte II ü [A.a : ultima revisione 0 marzo 01] Nella lezione precedente si sono introdotti i vincoli intermedi, suddividendoli in vincoli esterni, che non interrompono la continuita' fisica della trave, ma provocano discontinuita' nelle caratteristiche della sollecitazione interna, e vincoli interni, che interrompono la continuita' fisica della trave, generando quindi discontinuita' nelle rotazioni o negli spostamenti. In questa Lezione si studieranno invece schemi strutturali caratterizzati dalla presenza di forze e/o coppie concentrate, che causano discontinuita' nei diagrammi del taglio e/o del momento flettente, oppure dalla presenza di distorsioni concentrate, che causano discontinuita' nei diagrammi di rotazioni e/o spostamenti e possono riguardarsi come cedimenti anelastici intermedi. Le forze concentrate intermedie La presenza di una forza o di una coppia concentrate agenti in una ascissa intermedia a distanza L 1 dalla sezione di sinistra induce - come detto - una discontinuita' nei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione interna, e quindi risulta opportuno anche in questo caso suddividere l'esame della linea elastica nei due tratti [0 L 1 ] 1, LD. In corrispondenza della sezione retta su cui agisce la forza e/o la coppia, bisognera' scrivere due condizioni di congruenza, esprimenti il fatto che la continuita' fisica della trave non e' interrotta, e due condizioni di equilibrio, che dovranno garantire l'equilibrio alla traslazione verticale ed alla rotazione tra le forze esterne e le caratteristiche della sollecitazione interna. A C B L 1 L M 1 HL 1 L M 1 H0L T HL 1 L T H0L igura 1 - La trave in presenza di forza concentrata in una sezione intermedia

2 360 Lezione 36 - Le travi a piu' campate - Part II.nb Le due condizioni di congruenza si scriveranno quindi: HL 1 L = H0L (1) ' HL 1 L = ' H 0L mentre le due condizioni di equilibrio possono dedursi dal diagramma di igura 1. Nel caso della forza occorrera' imporre che i momenti non subiscano variazioni, mentre il taglio di sinistra dovra' equilibrare la somma della forza e del taglio di destra: () M 1 HL 1 L = M 1 H0L (3) T HL 1 L T H0L = 0 Se invece agisce una coppia, il taglio non dovra' subire variazioni, mentre il momento flettente a sinistra dovra' essere pari alla somma della coppia applicata e del momento flettente a destra: (4) M 1 HL 1 L M 1 H0L M = 0 T HL 1 L = T H0L (5) (6) A C M B L 1 L M M 1 HL 1 L M 1 H0L T HL 1 L T H0L igura - La trave in presenza di coppia concentrata in una sezione intermedia Alcuni esempi Si consideri una trave doppiamente incastrata di luce L, soggetta ad una forza verticale agente nella sezione posta a distanza al dalla sezione di sinistra, con a œ ]0,1[. Come usuale, si definiscono due sistemi di riferimento locali, ciascuno con origine nel suo estremo di sinistra, cosi' come illustrato in igura 3. Il primo sistema, IO 1, X, M, ha origine in A ed e' definito ald, il secondo sistema IO, X, M ha origine in C ed e' definito H1-aL LD.

3 Lezione 36 - Le travi a piu' campate - Part II.nb 361 A C B αl H1 αll igura 3 - Trave doppiamente incastrata con forza concentrata ad una ascissa generica Se il prodotto EI 11 e' costante lungo tutta la trave, si possono scrivere le due equazioni della linea elastica: EI 11 u '''' Ix 3 M = 0 valida in@0, ald, e : EI 11 u '''' Ix 3 M = 0 valida in@0, H1-aL LD. (7) () con soluzioni: Ix 3 M = C 1 + C x 3 + C 3 x 3 + C 4 x 3 3 Ix 3 M = C 5 + C 6 x 3 + C 7 x 3 + C x 3 3 Le otto costanti di integrazione si calcolano imponendo le seguenti condizioni ai limiti: (9) (10) nell'incastro di sinistra: 1. H0L = 0. ' H0L = 0 in corrispondenza della forza: 3. HαLL = H0L 4. ' HαLL = ' H 0L 5. M 1 HαLL = M 1 H0L '' HαLL = '' H 0L 6. T HαLL T H0L = 0 ''' HαLL+ ''' H 0L EI 11 = 0 nell'incastro di destra: (11) (1) (13) (14) 7. u HH1 αl LL = 0 (15). u ' HH1 αl LL = 0 Derivando le (9) e (10), e valutando nei punti opportuni si giunge cosi' alle otto equazioni algebriche non

4 36 Lezione 36 - Le travi a piu' campate - Part II.nb omogeneee nelle otto incognite: C 1 = 0 C = 0 (16) C 1 + L α C + L α C 3 + L 3 α 3 C 4 = C 5 con soluzione: C + L α C L α C 4 = C 6 C L α C 4 = C 7 C 4 C = 6 EI 11 C 5 + L H1 αl C 6 + L H1 αl C 7 + L 3 H1 αl 3 C = 0 C 6 + L H1 αl C L H1 αl C = 0 C 1 = 0; C = 0; C 3 = L H 1+αL α ; C 4 = H 1+αL H1+ αl EI 11 6 EI 11 C 5 = L3 H 1+αL 3 α 3 ; C 6 = L H 1+αL α H 1+ αl ; 3 EI 11 EI 11 C 7 = L H 1+αL α H3 αl α ; C = 6 EI EI 11 Gli spostamenti sono allora forniti dalle espressioni: (17) (1) (19) u Ix 3 M = x 3 H 1+αL Ix 3 3 L α+ x 3 αm 6 EI 11 (0) Ix 3 M = Ix 3 + L H 1+αLM α I L H 1+αL α+x 3 H 3+ αlm 6 EI 11 con le successive derivate a fornire rotazioni, momenti e tagli: φ Ix 3 M = x 3 H 1+αL Ix 3 L α+ x 3 αm EI 11 (1) () φ Ix 3 M = α J4 L x 3 H 1+αL + x 3 H 3+ αl+l H 1+αL H 1+ αln (3) EI 11 M 1 Ix 3 M = H 1+αL Ix 3 L α+ x 3 αm M 1 Ix 3 M = α I L H 1+αL + x 3 H 3+ αlm T Ix 3 M = H 1+αL H1+ αl T Ix 3 M = α H 3+ αl (4) (5) (6) (7) Un caso particolarmente interessante si ottiene per a = 1, ossia quando la forza agisce in mezzeria. In questo

5 Lezione 36 - Le travi a piu' campate - Part II.nb 363 caso l'abbassamento massimo si raggiunge al di sotto della forza, e vale: max = L 3 19 EI 11 mentre i momenti massimi e minimi si raggiungono in corrispondenza degli incastri e della mezzeria: M 1 min = M 1 H0L = M 1 HLL = L M 1 max = M 1 L = L () (9) I diagrammi si presentano come in igura 4. Si noti che le rotazioni massime e minime vengono attinte ad un quarto ed a tre quarti della luce, laddove i momenti flettenti si annullano. La trave e' doppiamente iperstatica, e le reazioni possono facilmente calcolarsi a partire dai valori delle caratteristiche della sollecitazione interna agli estremi. Ulteriori esempi verranno forniti nella sezione dedicata alle Esercitazioni Spostamenti 1 L 3 34 EI L 64 EI L 64 EI φ Rotazioni 1 L Momenti 1 L M

6 364 Lezione 36 - Le travi a piu' campate - Part II.nb T Tagli igura 4 - La trave doppiamente incastrata in presenza di una forza concentrata in mezzeria: spostamenti, rotazioni, momenti e tagli igure