sin =0 (1.1) Risolvendo l equazione (1.1) rispetto alla forza adimesionalizzata =, si ottiene: =

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1 Capitolo 1 INTRODUZIONE ALLA STABILITA DELL EQUILIBRIO 1.1 Sistemi articolati rigidi Si consideri una mensola rigida vincolata tramite un supporto elastico di rigidezza, soggetta a carico assiale, come illustrato in figura 1.1. L equazione di equilibrio può essere scritta nella configurazione indeformata ovvero in quella deformata caratterizzata da una rotazione della trave. Nel secondo caso il vincolo elastico reagisce con un momento proporzionale tramite alla rotazione ; in tal caso l equazione di equilibrio si scrive come: sin =0 (1.1) Risolvendo l equazione (1.1) rispetto alla forza adimesionalizzata =, si ottiene: = = (1.) sin In figura1.èriportatoilpercorsodiequilibrioperlamensola. Sievidenziacheper 1la mensola è in equilibrio per la sola configurazione definita da =0,ovvero per la configuazione indeformata. Per 1, nell intervallo per latravesonopossibili3configurazioni di equilibrio: 0 0 =0. Per =1si ha un punto di biforcazione dell equilibrio; il valore della forza per la quale si ha biforcazione dell equilibrio è generalmente definito carico critico. L equazione di equilibrio (1.1) si può anche ottenere come condizione di stazionarietà dell energia potenziale totale, che nel caso in esame vale: Π () = 1 (1 cos ) (1.3) 1

2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA STABILITA DELL EQUILIBRIO k L M L (1-cos) L sin igura 1.1: Mensola soggetta a carico assiale. igura 1.: Percorso di equilibrio della mensola caricata assialmente.

3 1.1. SISTEMI ARTICOLATI RIGIDI 3 dove il primo termine rappresenta l energia elastica del vincolo ed il secondo il potenziale dei carichi. Imponendo la condizione di stazionarietà si ottiene: 0= Π = sin (1.4) Indagando inoltre sulla derivata seconda dell energia è possibile stabilire la qualità dell equilibrio: Π 0 equilibrio stabile Π 0 equilibrio instabile (1.5) Π =0 equilibrio indifferente L equilibrio è stabile quando a partire da una configurazione iniziale di equilibrio, perturbando tale configurazione di equilibrio la struttura tende a ritornare nella sua posizione iniziale di equilibrio. L equilibrio è instabile quando perturbando la configurazione iniziale di equilibrio la struttura tende ad allontanarsi dalla posizione iniziale di equilibrio. L equilibrio è indifferente quando a partire da una configurazione iniziale di equilibrio, perturbando tale configurazione di equilibrio la struttura tende a restare nella sua configurazione perturbata. Nel caso in esame si ha: Possono accadere i seguenti possibili casi: = 1 per cui =0; in tal caso si ha: Π = cos (1.6) l equilibrio è stabile. Π = 0 (1.7) = 1 con =0; in tal caso si ha: l equilibrio è instabile. Π = 0 (1.8) = 1 con sin = ; in tal caso si ha

4 4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA STABILITA DELL EQUILIBRIO igura 1.3: Grafico della derivata seconda dell energia potenziale totale nel caso = 1 con sin =. Π = cos = µ sin cos = 1 0 (1.9) tan l equilibrio è stabile. L andamento della derivata seconda dell energia potenziale totale è illustrato in figura 1.3. In figura 1.4 è riportato l andamento dell energia potenziale totale per =05, =15 e =10. In realtà nella maggior parte delle applicazioni tecniche è di fondamentale importanza determinare esclusivamente il valore del carico critico ovvero del carico di biforcazione dell equilibrio, mentre risulta spesso poco interessante, e particolarmente complesso, definire tutti i percorsi di equilibrio post-critici. Allo scopo di determinare il carico critico si può svolgere un analisi considerando configurazioni molto vicine a quella indeformata. A tale fine, si sviluppano in serie di Taylor le funzioni trigonometriche fino al secondo ordine: sin cos = =1 Sostituendo le espressioni (1.10) nell energia potenziale totale (1.3), si ottiene: (1.10) Π () = 1 (1.11)

5 1.1. SISTEMI ARTICOLATI RIGIDI 5 igura 1.4: Energia potenzia per 3 differenti valori di. Imponendo la stazionarietà dell energia potenziale nella sua forma approssimata (1.11) si perviene all equazione: 0= Π = (1.1) che risolta assumendo 6= 0fornisce il valore del carico critico: = (1.13) Si consideri ora la trave continua rappresentata in figura 1.5, costituita da tratti rigidi connessi tra loro tramite elementi elastici concentrati. L energia potenziale totale approssimata al secondo ordine vale: Π = (1.14) dove 1, e 3 si calcolano in funzione di 1 e. In particolare, si ha: 3 = = 1 (1.15) = + 3 = 1 + L energia (14) diventa allora: Π ( 1 )= 1 ( 1 ) + 1 ( 1 + ) 1 ( 1 + ) (1.16)

6 6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA STABILITA DELL EQUILIBRIO igura 1.5: Trave semplicemente appoggiata con elementi elastici, caricata di punta. La condizione di stazionarietà dell energia potenziale totale (1.16) conduce alle equazioni: 0 = Π = ( 1 )+( 1 + ) 1 ( 1 + ) 1 0 =( ) 1 +( ) = Π = ( 1 )+( 1 + ) ( 1 + ) (1.17) =( ) 1 +(5 ) ovvero, in forma matriciale ( ) 5 ½ 1 ¾ ½ ¾ 0 = 0 (1.18) Il sistema di equazioni (1.18) risulta omogeneo; per avere una soluzione diversa dalla banale, corrispondente a quella di trave indeformata, si deve imporre che il determinante sia uguale a zero: ( ) det = =0 (1.19) che risolta rispetto a fornisce i seguenti due valori: 1 = =3 (1.0) Sostituendo il valore = 1 nella seconda delle equazioni (1.17), si ottiene: 0= ³ 1 + ³5 =3 = 1 6=0 =0 (1.1) Analogamente, sostituendo il valore = sempre nella seconda delle equazioni (1.17),siottiene: 0= ³ ³5 3 =3 = 1 = (1.)

7 1.. TRAVI CON ELASTICITÀ DIUSA 7 1 igura 1.6: Deformate corrispondenti ai due valori del carico critico. Le forme delle deformate corrispondenti ai due valori del carico critico determinati sono riportati schematicamente in figura 1.6. Se ne deduce allora che in corrispondenza del valore del carico critico 1 la configurazione di equilibrio non banale è una qualsiasi, proporzionale alla prima di quelle riportate in figura 1.6. Inoltre, in corrispondenza del valore del carico critico 1,laconfigurazione di equilibrio non banale è una qualsiasi, proporzionale alla seconda di quelle riportate in figura Travi con elasticità diffusa Si consideri una trave soggetta a carico assiale in equilibrio in una configurazione deformata. Le equazioni di equilibrio del tratto di trave di lunghezza nella configurazione deformata, schematicamente illustrato in figura 1.7, forniscono: 0 =0 0 0 (1.3) =0 essendo =. Nell ipotesi che le curvature siano comunque non troppo grandi e che possa ancora valere la classica relazione tra momento flettente e curvatura, si ottiene la seguente equazione differenziale: + =0 (1.4)

8 8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA STABILITA DELL EQUILIBRIO M N v T v+dv M+dM N T+dT igura 1.7: Trave con elasticità diffusa soggetta a carico assiale. ovvero + =0 con = L equazione (1.5) ammette soluzione del tipo: per cui si ha: = sin ()+ cos ()+ + = 0 = cos ()+ sin () = 0 = sin ()+ cos () = 0 0 = 3 cos () sin ()+ ( cos ()+ sin () ) (1.5) (1.6) Inoltre è necessario scrivere le opportune condizioni al contorno. Nel caso particolare di trave appoggiata-appoggiata, si ha: (0) = 0 + =0 (0) = 0 =0 () =0 sin ()+cos ()+ + =0 () =0 sin ()+ cos () =0 che, in definitiva forniscono: = = =0 sin () =0 (1.7) Qualora anche fosse nulla, la soluzione sarebbe banale, ovvero l equilibrio si avrebbe nella configurazione indeformata; al contrario, poichè si intende determinare la condizione di equilibrio nella configurazione deformata, si deve porre: sin () =0 = (1.8)

9 1.. TRAVI CON ELASTICITÀ DIUSA 9 z 1 z z A B C D N igura 1.8: Mensola a sezione variabile soggetta a carico di punta. Quindi si perviene alla condizione: ³ = = da cui si ricava il valore del carico critico minore : ³ = (1.9) (1.30) avendo assunto = Esempio Determinare il carico critico della trave a sezione variabile in figura 1.8. L equazione differenziale che governa il problema è la seguente: 4 + =0 (1.31) 4 dove è l inflessione della trave e è l asse della trave. Ponendo: = (1.3) l equazione (1.31) diventa: =0 (1.33) La soluzione dell equazione differenziale (1.33) è del tipo: = sin ()+ cos ()+ + (1.34)

10 10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA STABILITA DELL EQUILIBRIO dove,, e sono costanti di integrazione da determinare imponendo opportune condizioni al contorno. Dalla soluzione (1.34) è possibile determinare la rotazione, il momento flettente ed il taglio nella trave: = 0 = cos ()+ sin () = 0 = sin ()+ cos () = 0 0 = 3 cos () sin ()+ ( cos ()+ sin () ) (1.35) L equazione differenziale (1.33) deve essere scritta 3 volte, una per ogni tratto della trave in figura: =0 =0 =0 (1.36) le cui soluzioni sono: 1 = 1 sin ( 1 )+ 1 cos ( 1 ) = sin ( )+ cos ( )+ + (1.37) 3 = 3 sin ( 3 )+ 3 cos ( 3 ) Si pone: 1 = 1 = 3 = 3 1 = = 3 = 1 = = 3 = (1.38) con: q q = 1 = 1 3 = 1 = 1 (1.39) 3 = 1 3 = 1 Le condizioni al contorno da imporre per determinare le costanti di integrazione sono le seguenti: in A: in B: 1 (0) = 0 1 (0) = 0 1 ( 1 )= (0) 1 ( 1 )= (0) 1 ( 1 )= (0) 1 ( 1 )= (0)

11 1.. TRAVI CON ELASTICITÀ DIUSA 11 in C: in D: ( )= 3 (0) ( )= 3 (0) ( )= 3 (0) ( )= 3 (0) 3 ( 3 )=0 3 ( 3 )= Esplicitando si ha: 0= = = 1 sin ( 1 )+ 1 cos ( 1 ) [ + ] 0= 1 cos ( 1 )+ 1 sin ( 1 )+ 1 [( ) + ] 0= 1 sin ( 1 )+ 1 cos ( 1 ) ( ) 0= 3 1 cos ( 1 )+ 3 1 sin ( 1 ) ( ) 3 0= sin (( ) )+ cos (( ) )+ + [ ] 0=() cos (( ) )+() sin (( ) )+ [( ) ] 0=() sin (( ) )+() cos (( ) ) ( ) 3 0=() 3 cos (( ) )+() 3 sin (( ) ) ( ) 3 3 0= 3 () 3 sin (( ) 3 )+() 3 cos (( ) 3 ) 0= 3 () 3 3 cos (( ) 3 )+() 3 3 sin (( ) 3 ) [( ) 3 cos (( ) 3 )+() 3 sin (( ) 3 )+ 3 ] (1.40) Ponendo: 1 =sin( 1 ) 1 =sin( 1 ) =sin( ) =sin( ) (1.41) 3 =sin( 3 ) 3 =sin( 3 ) si ottiene il seguente sistema di equazioni omogeneo: MX= 0 (1.4) Per ottenere una soluzione del sistema di equazioni (1.4) diversa dalla banale, si impone il determinate della matrice dei coefficienti uguale a zero: det (M) = 0 (1.43) Risolvendo l equazione (1.43) rispetto a, e scegliendo il valore minimo di che soddisfa la (1.43), si determina il carico critico.