Università degli studi di Cagliari. Corso di aggiornamento. Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ

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1 Università degli studi di Cagliari Dipartimento di Ingegneria Strutturale Corso di aggiornamento Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ RELATORE: Ing. Igino MURA imura@unica.it Giugno Instabilità: Introduzione

2 INSTABILITA NELLE ASTE IN C.A. 1. Cos è l instabilità? Consideriamo un pilastro soggetto a compressione con carico crescente: se il carico agente supera un certo valore avviene il collasso per schiacciamento del materiale. Consideriamo ora un pilastro di sezione più sottile, soggetto ugualmente a carico crescente. Quando il carico raggiunge un certo valore la colonna inizia a inflettersi lateralmente lungo la direzione di minore rigidezza flessionale: si dice che il pilastro si instabilizza. L effetto dell inflessione laterale è quella di incrementare il momento flettente, in ciascuna sezione, di un momento addizionale pari al valore del carico moltiplicato lo spostamento trasversale del baricentro della sezione medesima (effetto del secondo ordine). In molti casi questo momento addizionale può essere trascurato. Quando questo non è possibile si dice che il pilastro è snello.

3 2. Pilastro ideale e reale. Tuttavia se il carico è applicato esattamente nel baricentro della sezione, se è esattamente diretto secondo l asse del pilastro, se questo è perfettamente rettilineo e il materiale è perfettamente elastico, in altre parole se il pilastro è ideale, l instabilità può non verificarsi. Occorre che intervenga una causa, non importa quanto piccola, che provochi una inflessione, ovvero uno spostamento dallo stato di equilibrio. I pilastri ideali non esistono. I pilastri non sono mai perfettamente verticali, i loro assi non sono mai perfettamente rettilinei, i carichi presentano sempre per cause accidentali una piccola eccentricità ed infine il calcestruzzo non è perfettamente elastico. Eulero ( ) è il grande matematico che per primo ha investigato il fenomeno dell instabilità. Ha scoperto che per un pilastro ideale si può definire un carico critico N cr (chiamato carico critico o euleriano) che definisce una condizione di equilibrio indifferente. Se il carico agente è inferiore a questo valore il pilastro è in condizione di equilibrio stabile, se è maggiore di equilibrio instabile. Quando si considera un pilastro incernierato alle estremità e la curvatura assume un unico segno il valore del carico euleriano è dato da: Deriva dalla precedente relazione che il pilastro è maggiormente esposto all instabilità ( N cr si riduce ) quando la sua lunghezza aumenta ovvero si riduce la sua rigidezza flessionale ( EI ). La quantità π 2 deriva dalla circostanza che la curva di inflessione è sinusoidale.

4 2 bis Equilibrio stabile, instabile e indifferente. Quando viene applicata una piccola perturbazione laterale al pilastro, esso si inflette. Se si rimuove la perturbazione laterale e il pilastro persiste nella posizione inflessa si dice che, la condizione è di equilibrio indifferente. Se invece, rimossa la perturbazione, il pilastro ritorna alla sua posizione originaria si dice che la posizione è di equilibrio stabile. Infine, se rimossa la perturbazione, il pilastro si allontana ulteriormente dalla sua posizione originaria la posizione è di equilibrio instabile. Equilibrio: indifferente stabile instabile N. B. - L equazione completa per il carico critico ( N cr = n 2 π 2.) genera un numero infinito di deformate di collasso, dove n è il numero di onde. Il caso della singola curvatura è quello fondamentale con n = 1. Le successive altre configurazioni possono verificarsi esclusivamente se esistono vincoli che contrastano l inflessione nei punti di inversione della curvatura. inversione curvatura

5 3. Effetto della snellezza nelle strutture. La snellezza può produrre effetti significativi nelle seguenti strutture: Pilastri, su una o ambedue le direzioni di inflessione; Pareti, nella direzione di minore rigidezza; Travi (talvolta) che possono risultare sottili in confronto alla luce o allo spessore. I metodi per mettere in conto l influenza della snellezza sul comportamento delle strutture comprendono tre fasi: 1. determinare come la struttura si infletterà; L Eurocodice tratta questo argomento stabilendo una classificazione per le strutture. 2. stabilire se gli effetti della snellezza sono significativi; L Eurocodice definisce significativo se un incremento del momento flettente è di almeno il 10% ma, per evitare di dover effettuare una analisi globale per determinare la misura della significatività, fornisce regole semplificate basate sulla lunghezza effettiva e sul rapporto di snellezza. 3. porre in conto nella progettazione gli effetti significativi. Questo, in sostanza, significa mettere in conto nel progetto dei momenti addizionali.

6 CLASSIFICAZIONE DELLE STRUTTURE La sensibilità di una struttura all inflessione dipende in larga misura dal suo disegno e dai suoi dettagli, valutati con riferimento alla globalità della struttura. Non è possibile definire tutti i casi che possono verificarsi. L Eurocodice classifica le strutture suddividendole in: a nodi fissi e a nodi spostabili controventate e non controventate La classificazione della struttura fra quelle a nodi fissi e a nodi spostabili risulta di primaria importanza per il progetto dei pilastri in quanto da essa deriva il modo di inflessione del pilastro. Qualora la struttura sia a nodi fissi è significativa esclusivamente l inflessione del pilastro singolo: La circostanza che la struttura sia controventata o non controventata determina se se essa sia a nodi fissi o spostabili. La struttura controventata deve essere assunta normalmente come a nodi fissi, a meno che gli irrigidimenti non risultino particolarmente flessibili. In tal caso si deve analizzare l effetto degli elementi di controvento sullo spostamento dei nodi. Il singolo elemento di controvento (puntone) deve essere però analizzato come pilastro singolo. Se la struttura è non controventata deve essere calcolata come a nodi spostabili.

7 STRUTTURE A NODI FISSI E A NODI SPOSTABILI Premessa la precedente classificazione, che la struttura è a nodi fissi quando gli spostamenti dei nodi sono trascurabili ed è invece a nodi spostabili quando ((sway = oscillante) lo spostamento dei nodi è rilevante, l Eurocodice definisce la significatività del fenomeno in questo modo: lo spostamento laterale della estremità dei pilastri incrementa i momenti critici di inflessione di oltre il 10% in aggiunta a quelli che si calcolano ignorando gli spostamenti I due tipi di strutture forniscono nei pilastri diagrammi dei momenti flettenti molto diversi: nodi spostabili momento flettente nodi fissi momento flettente In una struttura a nodi spostabili tutti i pilastri di interpiano sono assoggettati al medesimo spostamento laterale.

8 STRUTTURE CONTROVENTATE Una struttura controventata è quella che contiene elementi di controvento. Questi sono elementi verticali, normalmente pareti, talmente rigide rispetto agli altri elementi da poter ammettere che essi assorbono equilibrandole tutte le forze orizzontali. L Eurocodice definisce in questo modo la struttura controventata: quella dove gli elementi di controvento equilibrano e trasmettono alla fondazione almeno il 90% di tutte le forze orizzontali applicate alla struttura Normalmente, una struttura con elementi di controvento (come ad es. pareti di taglio) risulta a nodi fissi. Quando però la classificazione risulta non scontata, una struttura intelaiata, con elementi di controvento, può essere classificata come a nodi fissi se la rigidezza laterale soddisfa il seguente criterio: h tot (F v /E cm I c ) 0.5 minore del più piccolo fra ( n) e 0.6 n numero di piani; h tot altezza della struttura in metri; F v somma di tutti i carichi di servizio verticali gravanti sulla strutture di controvento; E cm I c somma delle rigidezze flessionali nominali di tutti gli elementi verticali di controvento attivi nella direzione considerata.

9 STRUTTURE NON CONTROVENTATE Una struttura non controventata affida alla rigidezza del telaio la trasmissione delle forze orizzontali alle fondazioni. Una struttura non controventata, intelaiata può essere classificata come a nodi fissi se ciascun elemento verticale del telaio, che sopporta più del 70% dell azione assiale media N Sd,m di tutti gli elementi, ha un rapporto di snellezza λ ( definito poi ) non eccedente il più grande fra i seguenti valori: 25 oppure 15/ν m 0.5. N Sd,m = F v,ult /n F v,ult n carico ultimo totale verticale; numero di elementi verticali per piano; ν u = N Sd / (A c f cd )

10 LUNGHEZZA DI INFLESSIONE La lunghezza di inflessione l 0 di un pilastro può essere espresso come la lunghezza di un asta incernierata alle estremità che ha medesima sezione e carico di instabilità. Questo concetto è espresso dalla relazione: l 0 = β l pil a nodi fissi a nodi spostabili β = β = La lunghezza di inflessione dipende dalla forma della deformata e dai vincoli di estremità, e definisce la distanza tra due punti di inversione della curvatura. Per strutture a nodi fissi la deformata di inflessione individua due punti di inversione della curvatura. Se ambedue le estremità sono incastrate risulta β = 0.5 mentre se sono ambedue incernierate risulta β = 1.0. Per strutture a nodi spostabili la deformata di inflessione individua solo un punto di inversione della curvatura. Se ambedue le estremità sono incastrate risulta β = 1.0 mentre se solo uno è incastrato e l altro è libero ( schema a mensola ) risulta β = 2.0.

11 CALCOLO DELLE LUNGHEZZE DI INFLESSIONE Esistono diversi modi per calcolare la lunghezza libera di inflessione: 1. Metodo indicato dall Eurocodice (poco adatto per il calcolo automatico) perché fa riferimento a Nomogrammi; 2. Metodi semplificati; 3. Uso di equazioni. Metodo dell Eurocodice. La lunghezza di inflessione l 0 di un pilastro può essere espresso come la lunghezza di un asta incernierata alle estremità che ha medesima sezione e carico di instabilità. Pertanto, dati due nodi successivi di un pilastro a e b, si calcolano: k a, k b rapporto fra la somma delle rigidezze dei pilastri che concorrono nel nodo ( I col / l col ) e la somma delle rigidezze delle travi che concorrono nel nodo ( α I b / l eff ). dove: l eff lunghezza della campata della generica trave; α fattore che pone in conto l effetto del vincolo nella trave all estremità opposta rispetto al nodo ( incastro α = 1; cerniera α = 0.5; estremità libera α = 0 ). nodi fissi nodi spostabili estremità incernierate estremità incastrate N.B. - valori di k inferiori a 0,4 non sono consigliati.

12 CALCOLO DELLE LUNGHEZZE DI INFLESSIONE ESEMPIO : Metodo dell Eurocodice. Determinare la lunghezza libera di inflessione per il pilastro evidenziato nel telaio ( continuo a nodi fissi ) sottostante considerando che: dimensioni del pilastro: 350 x 350 mm dimensioni delle travi: 350 x 500 mm