Lezione PONTI E GRANDI STRUTTURE. Ing. Eugenio Ferrara Università degli Studi di Catania

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1 Lezione PONTI E GRANDI STRUTTURE Ing. Eugenio Ferrara Università degli Studi di Catania

2 Metodo di ripartizione dei carichi di Guyon Massonnet Bareš 2

3 Dati geometrici dell impalcato Lunghezza impalcato m Larghezza impalcato m Larghezza marciapiede 1.75 m Larghezza carreggiata 8.00 m Luce tra le travi 1.00 m Lunghezza traverso m 3

4 Dati della sezione trasversale RETTANGOLO Base cm Altezza cm baricentro y Gi cm Area A i =bh cm 2 Momento statico S i =Ay Gi cm 3 Momento d'inerzia I l =bh 3 / cm 4 Momento trasporto A(y G y Gi ) cm

5 Dati della sezione trasversale SEZIONE 100 baricentro dell'intera sezione cm area totale 4828 cm momento statico totale cm 3 momento d'inerzia totale cm momento di trasporto totale cm 4 14 momento d'inerzia della sezione cm

6 Dati sezione trasversale I rettangoli 1 e 2 vengono uniti così da ricondursi ad una sezione a I. Unione del rettangolo 1 e 2: Larghezza:100 cm Altezza: (A 1 +A 2 )/b=( )/100=23.78 cm

7 Dati sezione trasversale RETTANGOLO lato maggiore (l) cm lato minore (δ) cm rapporto l/δ β=ψ/ momento inerzia torsionale cm INTERA SEZIONE momento inerzia torsionale cm 4 7

8 Larghezza collaborante della soletta dei traversi I traversi presenti sono tre, di cui due posti alle estremità ed uno in mezzeria. Per essi si considera una larghezza collaborante di soletta secondo quanto stabilito nell Eurocodice 2. Per sezioni in cls, la larghezza efficace dell ala è basata sulla distanza l 0 tra i punti di momento nullo, come mostrato in figura : tratto da: Eurocodice 2 Parte

9 Larghezza collaborante della soletta dei traversi La larghezza efficace dell ala b eff per una trave a T o a L può essere definita come: dove: b b b eff eff,i w b eff,i =0.2b i +0.1l 0 0.2l 0 b eff,i b i tratto da: Eurocodice 2 Parte

10 Larghezza collaborante della soletta dei traversi Nell esempio in esame, la lunghezza l 0 vale : l0 0.15l cm La larghezza efficace dell ala b eff,1 = b eff,2 è il minimo valore tra: b eff, cm b eff, cm b eff,i =0.2b i +0.1l 0 0.2l 0 b eff,i b i ( ) La larghezza efficace b eff è pertanto : b eff cm tratto da: Eurocodice 2 Parte

11 Dati traversi RETTANGOLO 1 2 base cm altezza cm baricentro cm area cm y 1 momento statico cm 3 momento d'inerzia cm 4 momento di trasporto cm 4 30 INTERA SEZIONE baricentro intera sezione cm area totale 6576 cm 2 momento statico totale cm 3 momento d'inerzia totale cm 4 momento di trasporto totale cm 4 momento inerzia sezione cm 4 11

12 Dati traversi RETTANGOLO 1 2 lato maggiore (l) cm lato minore (δ) cm rapporto (l/δ) β=ψ/ momento inerzia torsionale cm INTERA SEZIONE momento inerzia torsionale cm

13 Dati traversi La precedente relazione per la determinazione della larghezza della soletta collaborante risulta essere molto conservativa. In passato si utilizzava una relazione che teneva in considerazione l altezza della soletta. bcoll bw 2 5sr cm 13

14 Parametri di Guyon e di Massonnet Si suppone che gli elementi siano realizzati con calcestruzzo C28/35 avente le seguenti caratteristiche : Modulo elastico E=32308 N/mm 2 Modulo di taglio G= N/mm 2 (ν=0.2) I coefficienti di rigidità flessionale e torsionale della trave e del traverso valgono: (trave) (traverso) D z D x EIl EI t t knm knm D D zx xz GJ GJ l t t knm knm 14

15 Parametri di Guyon e di Massonnet Il parametro di rigidezza trasversale (parametro di Guyon) vale : dove : B 2l 4 D D z x B l larghezza dell impalcato lunghezza dell impalcato mentre il parametro di rigidezza torsionale (parametro di Massonnet) è : D 2 zx D DD z xz x

16 Sviluppo in serie del carico c k c k d k l k Carico p carico per unità di superficie tra x k = d k c k e tra x k = d k + c k p k,m 4p mc k m d sin k sin m lk lk con m=1,2,

17 Sviluppo in serie del carico Carico p carico per unità di superficie tra x k = 0 e tra x k = l k p k,m 4p m con m=1,3,5... Carico p carico per unità di lunghezza tra x k = 0 e tra x k = l k p k,m 4p bm con m=1,3,5... Carico concentrato P in x k = d k p k,m 2P md k sin blk lk con m=1,2,3... per d k l k/2 m=1,3,5... per d k l k/2 17

18 Sviluppo in serie del carico 2 3 F F 1 q d 2 d3 d 1 Carico sinusoidale medio p p1 p2 p3 18

19 Sviluppo in serie del carico Ad esempio : p 2 2P d k 2300 (kn) (m) sin sin kn/m blk lk 1 (m) (m) (m) 2 CARICO AGENTE Ampiezza del carico Distanza dall appoggio Intensità del carico Carico p m m kn/m kn/m kn kn Carico sinusoidale medio p kn/m Stesso discorso si applica per i carichi da considerare nella seconda corsia. 2 19

20 Sviluppo in serie del carico Carichi da applicare alla sezione trasversale p1 100% p kn/m 2 Ampiezza dei carichi 3 m p kn/m p 3 2 q l kn/m 1e marciapiede 2 3 m 1.75 m p 3 R p 1 p2 p

21 Sviluppo in serie del carico Il momento in mezzeria dato dallo sviluppo sinusoidale dei carichi vale : 2 2 l 22.3 M1l/2 p knm l 22.3 M2l/2 p knm l 22.3 M3l/2 p knm m 21

22 Carichi descritti da norma NTC08 La reazione agli appoggi vale: R kn R kn Dall equilibrio alla rotazione si ricava il momento massimo in mezzeria: M max l/ knm F 2 3 F q R m R 22

23 Carichi descritti da norma NTC08 I momenti in mezzeria, per ogni condizione di carico di normativa, valgono: M l/2 M l/ knm 1 max M l/2 M l/ knm 2 max corsia l 22.3 M3l/2q1e b knm F 2 3 F q R m R 23

24 Carichi descritti da norma NTC08 I momenti calcolati utilizzando i carichi da norma sono leggermente maggiori (ad eccezione del carico del marciapiede) dei momenti dati da carichi con andamento sinusoidale (solo primo termine della serie). Nel seguito verranno considerati i carichi massimi : M knm M knm M knm 24

25 Calcolo del coefficiente K α Il coefficiente K 0 (cosi come il coefficiente K 1 ) è calcolato per interpolazione a partire dai valori ricavati dalle tabelle fornite da Guyon Massonnet Bareš. K 0 (θ 0 =0.45) e/b y/b K 0 (θ 1 =0.5) e/b y/b Formula di interpolazione x x x x Ad esempio, per e/b=1 ed y/b=1 (=0.486) K

26 Calcolo del coefficiente K α Il coefficiente K α è calcolato per interpolazione a partire dai valori ricavati dalle tabelle fornite da Guyon Massonnet Bareš. Si considera ad esempio il caso di y/b=1 K 0 (θ=0.486) y/b e/b K 1 (θ=0.486) y/b e/b

27 Calcolo del coefficiente K α Il coefficiente K α viene calcolato in funzione di K 0 e K 1 al variare del valore dell eccentricità del carico. S 2 K=K+K K α α y/b y/b= y/b e/b

28 Calcolo del coefficiente K α (y/b=0.75) (y/b=0.25) (y/b=0.50) (y/b=0)

29 Calcolo momenti sull impalcato Calcolo di K α y=b y=0.75b y=0.5b y=0.25b y=0 marciapiede dx corsia corsia marciapiede sn p p 1 p2 p S (y/b=1)

30 Calcolo del momento sulla nervatura Individuata la condizione di carico più gravosa per il momento flettente M x si ha : M M x medio M medio n i1 n i=1 M numero travi i p K ye, i α,i i n i=1 p i y/b=1 M i P i K αi P i K α,i (knm) (kn/m) marciapiede dx corsia corsia M medio (knm) M x (knm) totale

31 Calcolo del momento sulla nervatura Per y/b=0.25 dall andamento della linea di influenza si avranno tutti momenti positivi. Tuttavia, ciò non determina la condizione più sfavorevole. p 1 R p 2 p3 p4 y/b=0.25 M i P i K αi P i K α,i (knm) (kn/m) marciapiede dx corsia corsia marciapiede sn M medio (knm) M x (knm) totale

32 Calcolo M x sull impalcato Si procede allo stesso modo per il calcolo del momento minimo M. p 1 p 2 Per y=0 ed y=0.25b la linea di influenza non consente il posizionamento di alcun carico al fine di determinare il momento minimo y/b=1 M i P i K αi P i K α,i (knm) (kn/m) marciapiede dx corsia M medio (knm) M x (knm) totale

33 Definizione coefficiente μ α Per il calcolo del momento flettente nel traverso si utilizza il coefficiente μ α definito nelle tabelle di Guyon Massonnet Bareš. Si riportano i risultati per y/b=0 μ 0 (θ=0.486) y/b e/b μ 1 (θ=0.486) y/b e/b

34 Definizione coefficiente μ α La funzione che si determina (μ α ) viene utilizzata come linea di influenza y= y/b e/b

35 Definizione coefficiente μ α y/b= y/b= y/b= y/b=

36 Calcolo del momento M y sul traverso Per massimizzare l effetto dei carichi, si posiziona il blocco di carico più gravoso a cavallo della cuspide della linea di influenza. p 2 p 1 R n M b p y, e b y i α i i1 dove : =5.75 m (semilarghezza dell impalcato) y/b=0.25 P i α,i P i α,i (kn/m) corsia corsia M y (knm) totale

37 Calcolo del momento M y sul traverso Per massimizzare l effetto dei carichi, si posiziona il blocco di carico più gravoso a cavallo della cuspide della linea di influenza. R p 1 R n M b p y, e y i α i i1 dove : b =5.75 m (semilarghezza dell impalcato) y/b=0 P i α,i P i α,i (kn/m) M y (knm) corsia

38 Calcolo del momento M y sul traverso Lo stesso procedimento si effettua per il calcolo del momento minimo M y. R R y/b=0.25 P i α,i P i α,i (kn/m) marciapiede dx marciapiede sn M y (knm) totale

39 Calcolo del momento torcente nella trave La condizione di carico che massimizza il momento torcente prescritta da normativa è quella indicata in figura. 1 2 F F q 3 R A d 2 d 3 39

40 Calcolo del momento torcente nella trave CARICO AGENTE Ampiezza del carico (m) Distanza dall appoggio (m) Intensità del carico kn kn kn/m Data la presenza della forza concentrata all appoggio non è possibile procedere allo sviluppo in serie del carico in quanto questa forza non verrebbe considerata. 40

41 Calcolo del momento torcente nella trave Si opererà calcolando l intensità massima delle condizioni di carico sinusoidale ' R A kn ' RA R A1 ' RA R A2 ' RA p1 p kn/m R A R kn/m ' A2 p2 p2 R A2 p3 p kn/m 41

42 Definizione del coefficiente τ α Per il calcolo del momento torcente nella trave si utilizza τ α. Esso è funzione di τ 1 definito nelle tabelle di Guyon Massonnet Bareš. Si riportano i risultati per e/y=0 τ 1 (θ=0.486) y/b e/b y/b e/b

43 Definizione del coefficiente τ α y/b= y/b= y/b= y/b=

44 Calcolo del momento torcente sulla trave Data la simmetria della linea di influenza, il momento torcente massimo coincide in valore assoluto con il valore minimo R p 2 p 1 D T 2 b p ( y, e) n zx zx i i Dzx Dxz i1 dove : λ = 1 (interasse travi) y/b=0 P i α,i P i α,i (kn/m) marciapiede dx corsia T zx (knm) 26.4 totale

45 Calcolo del momento torcente sul traverso Stessa soluzione vale per il momento torcente nel traverso, considerando l inversione dei coefficienti di rigidità torsionale R p 2 p 1 D T 2 b p ( y, e) n zx zx i i Dzx Dxz i1 dove : λ = (interasse traversi) y/b=0 P i α,i P i α,i (kn/m) marciapiede dx corsia T zx (knm) 5.53 totale

46 Calcolo Taglio n p k ( y, e) D x V V b cos p ( y, e) x i α i n i1 xz x,med n iα Dx l l i1 p i i i1 Il taglio nella trave è somma del contributo del momento flettente nella trave (coefficiente K α ) e del contributo del momento torcente nei traversi (μ α ). Il secondo termine risulta trascurabile rispetto al primo. D V p k y e b p y e n n zx x i α(, i) 2 iα, i i1 Dxz Dzx l i1 Il taglio nel traverso è somma del contributo del momento flettente nella traverso (coefficiente K α ) e del contributo del momento torcente nella trave (μ α ). 46

47 FINE 47