ESERCIZIO 1.2 (punti 15) - Siano note le misurazioni estensimetriche seguenti come in figura: ALLIEVO

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1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI: GES L - Z APPELLO 23/07/2007 TEMA A ALLIEVO PROVA 1: + = PROVA 2: + + = APPELLO: ESERCIZIO 1.1 (punti 18) - Data la struttura di figura, si chiede di: 1.1a - effettuare l analisi cinematica (2); 1.1b - determinare le reazioni vincolari (5); 1.1c - tracciare i diagrammi delle azioni interne (3+3+5). ESERCIZIO 1.2 (punti 15) - Siano note le misurazioni estensimetriche seguenti come in figura: ε a = ε = , ε = ε = , ε = b 22 c Si chiede: 1.2a - determinare le componenti ε ij del tensore piano di deformazione [2]; 1.2b - determinare deformazioni e direzioni principali, indicando queste ultime nel piano x 1, x 2 [4]; 1.2c - si tracci il cerchio di Mohr individuando su questo le direzioni principali, la deformazione tangenziale massima ε nt e la deformazione normale ε n corrispondente [5]; 1.2d - assumendo E = N/mm 2 e ν = 0.20 si calcolino le componenti del tensore di tensione σ, σ, σ, σ [N.B. ε 33 = 0] [4]; ESERCIZIO 2.1 (punti 15) - La struttura una volta iperstatica di figura ha il tratto AB della trave AC infinitamente rigido, mentre la biella CD ha la deformabilità assiale concentrata nella molla assiale di costante k 2. Si assuma come reazione iperstatica X il momento flettente della molla in A. Si chiede: 2.1a - calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne N 0, V 0, M 0 della struttura isostatica principale caricata dai soli carichi esterni [4]; 2.1b - calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne N 1, V 1, M 1 della struttura isostatica principale caricata da X = 1 [3]; 2.1c - scrivere l equazione dei L.V. e determinare X tenendo in conto il lavoro flessionale della molla A e del 3 tratto BC ed il lavoro assiale della molla su CD. EI = costante, k = 4 EI L, k = 45 EI L [8]

2 ESERCIZIO 2.2 (punti 14) - La sezione a profilo chiuso in parete sottile riferita alla linea media di figura è soggetta alla forza assiale di trazione F = newton applicata nel punto I, estremo inferiore del nócciolo centrale d'inerzia ed al momento torcente T incognito. Si chiede: 2.2a - determinare la distanza GA del baricentro G dal lato inferiore; calcolare i momenti d inerzia I xx, I yy, i semiassi ρ x, ρ y dell' ellisse centrale d'inerzia e gli estremi I, S, L ed R del nócciolo sugli assi [5]. 2.2b - Calcolare la tensione normale σ z sui lati A AA e B BB tracciandone il grafico sull'asse x [3]. 2.2c - Calcolare τ in funzione di T sui lati orizzontali e verticali [2]. zs 2.2d - Usando il criterio di Tresca, determinare il momento torcente massimo T applicabile alla sezione, eseguendo la verifica nella corda con σ z maggiore in modulo, cioè o quella passante per B o quella passante per A, entrambe assunte appartenenti ai lati verticali [4]. DATI: b = 800 mm, a = 400 mm, σ = ± 25 N / mm, t 1 = 24 mm, t 2 = 48 mm. 2 ESERCIZIO 2.3 (punti 4) - Scrivere l'equazione della linea elastica per travi piane rettilinee ed illustrarla con un esempio. 2

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7 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI: GES L - Z APPELLO 23/07/2007 TEMA B ALLIEVO PROVA 1: + = PROVA 2: + + = APPELLO: ESERCIZIO 1.1 (punti 18) - Data la struttura di figura, si chiede di: 1.1a - effettuare l analisi cinematica (2); 1.1b - determinare le reazioni vincolari (4); 1.1c - tracciare i diagrammi delle azioni interne (3+3+6). ESERCIZIO 1.2 (punti 15) - ESERCIZIO 3 (punti 5) Sia dato lo stato di sforzo seguente: 2 σ 11 = 100, σ22 = 5, σ21 = 2 ( N mm ). Si chiede: 1.2a - si riferiscano le tensioni al quadrato nel piano x 1, x 2 e si scriva la matrice [σ] ; [2] 1.2b - si determinino le tensioni e le direzioni principali, indicando queste ultime [4]; 1.2c - si tracci il cerchio di Mohr individuando su questo le direzioni principali, la tensione tangenziale massima τ nt e la tensione normale σ n corrispondente [5]; 1.2c - calcolare le deformazioni ε11, ε22, ε33, ε 12 con E = N/mm 2, ν = 0.25 [4]. ESERCIZIO 2.1 (punti 14) - La struttura una volta iperstatica di figura è soggetta a variazione termica assiale +ΔT nella trave DC. Questa trave ha EI = e coefficiente di dilatazione termica α, mentre le travi CB e AB hanno EI costante ed EA =. Si assuma come reazione iperstatica X il momento flettente in C, introducendo ivi una cerniera. Si chiedono: 2.1a - Le reazioni vincolari ed i diagrammi delle azioni interne N 0, V 0, M 0 della struttura isostatica principale caricata dal carico p; [4] 2.1b - Le reazioni vincolari ed i diagrammi delle azioni interne N 1, V 1, M 1 della struttura isostatica principale caricata da X = 1; [3] 2.1c - Scrivere l equazione dei L.V. e determinare l incognita iperstatica X tenendo in conto il lavoro flessionale di AB e BC ed il lavoro termico su DC [si trascuri quindi N 1 [(N 0 +N 1 X)/EA dx sulla trave in questione]. Si ha α ΔT = pl 3 EI. [7] 7

8 ESERCIZIO 2.2 (punti 14) - La sezione a profilo chiuso in parete sottile riferita alla linea media di figura è soggetta alla forza assiale di trazione F = newton applicata nel punto S, estremo superiore del nócciolo centrale d'inerzia ed al momento torcente T incognito. Si chiede: 2.2a - determinare la distanza GA del baricentro G dal lato inferiore; calcolare i momenti d inerzia I xx, I yy, i semiassi ρ x, ρ y dell' ellisse centrale d'inerzia e gli estremi I, S, L ed R del nócciolo sugli assi [5]. 2.2b - Calcolare la tensione normale σ z sui lati A AA e B BB tracciandone il grafico sull'asse x [3]. 2.2c - Calcolare τ in funzione di T sui lati orizzontali e verticali [2]. zs 2.2d - Usando il criterio di Von Mises, determinare il momento torcente massimo T applicabile alla sezione, eseguendo la verifica nella corda con σ z maggiore in modulo, cioè o quella passante per B o quella passante per A, entrambe assunte appartenenti ai lati verticali [4]. 2 DATI: b = 800 mm, a = 400 mm, σ = ± 25 N / mm, t 1 = 36 mm, t 2 = 24 mm. ESERCIZIO 2.3 (punti 5) - Con uno dei metodi studiati (linea elastica o th. dei L.V.) calcolare la rotazione indicata; EI = costante, q = 2W L. Solo lavoro flessionale. 2 8

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14 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI: GES L - Z APPELLO 23/07/2007 TEMA C ALLIEVO PROVA 1: + = PROVA 2: + + = APPELLO: ESERCIZIO 1.1 (punti 18) - Data la struttura di figura, si chiede di: 1.1a - effettuare l analisi cinematica (2); 1.1b - determinare le reazioni vincolari (4); 1.1c - tracciare i diagrammi delle azioni interne (3+3+6). ESERCIZIO 1.2 (punti 15) - Siano note le misurazioni estensimetriche seguenti come in figura: ε a = ε = , ε = ε b 22 = , ε = 11 c Si chiede: 1.2a - determinare le componenti ε ij del tensore piano di deformazione [2]; 1.2b - determinare deformazioni e direzioni principali, indicando queste ultime nel piano x 1, x 2 [4]; 1.2c - si tracci il cerchio di Mohr individuando su questo le direzioni principali, la deformazione tangenziale massima ε nt e la deformazione normale ε n corrispondente [5]; 1.2d - assumendo E = N/mm 2 ε ν = 0.20 si calcolino le componenti del tensore di tensione σ, σ, σ, σ [N.B. ε 33 = 0] [4]; ESERCIZIO 2.1 (punti 12) - Data la struttura una volta iperstatica di figura, avente EI = costante ed EA =, si assuma come reazione iperstatica X il momento dell'incastro A, introducendo ivi una cerniera. Si chiedono: 2.1a - Le reazioni vincolari ed i diagrammi delle azioni interne N 0, V 0, M 0 della struttura isostatica principale caricata dal carico p; [3] 2.1b - Le reazioni vincolari ed i diagrammi delle azioni interne N 1, V 1, M 1 della struttura isostatica principale caricata da X = 1; [2] 2.1c - Scrivere l equazione dei L.V. e determinare l incognita iperstatica X tenendo in conto il lavoro flessionale. [7] 14

15 ESERCIZIO 2.2 (punti 14) - La sezione rettangolare piena di figura è soggetta momenti flettenti M y = newton mm e M x = newton mm ed al momento torcente T = newton mm. Si chiede: 2.2a - calcolare scrivendo gli integrali relativi i momenti d inerzia I xx, I yy, e determinare i semiassi ρ x, ρ y dell' ellisse centrale d'inerzia e gli estremi I, S, L ed R del nócciolo sugli assi [5]. 2.2b - Calcolare la tensione normale σ z nei punti A e B e C; tracciare il grafico dell'asse neutro [4]. 2.2c - Calcolare τ zy dovuta a T nel punto C {il coefficiente α per il calcolo della tensione τ zy vale 4.804} [2]. 2.2d - Si confrontino le tensioni σ z nei punti A e B con la tensione ideale del criterio di Von Mises in C: facendo la maggiore uguale alla tensione ammissibile, si dica quanto deve valere la tensione di snervamento perché il coefficiente di sicurezza γ sia uguale a 2 [3]. DATI: b = a = 400 mm. ESERCIZIO 2.3 (quesito teorico: punti 7) - Dimostrare le 2 formule di Bredt per la torsione dei prismi con sezione in profilo sottile chiuso. 15

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