Stati di tensione triassiali e criteri di snervamento. Bibliografia per la lezione. Esercizio 1

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1 Sistemi di Produzione Stati di tensione triassiali e criteri di snervamento Bibliografia per la lezione Sistemi di Produzione D. Antonelli, G. Murari C.L.U.T. Editrice, 2008 capitolo 3 Tecnologia meccanica S. Kalpakjian, S. R. Schmid Pearson Prentice Hall, 2008 capitolo 2 Esercizio 1 Da una prova di trazione si ottengono come dati di rottura ε=125% e σ=2063 MPa. Si trovino in tali condizioni (usando il criterio di Von Mises): a) la tensione equivalente σ eq ; b) le tensioni σ 1, σ 2, σ 3 ; c) le deformazioni ε 1, ε 2, ε

2 Esercizio 1 - Soluzione a) Calcolo della tensione equivalente σ eq : In condizioni di rottura Y= σ rott da cui la tensione equivalente è pari a σ eq = 1 2 MPa (σ 1 σ 2 ) 2 +(σ 2 σ 3 ) 2 +(σ 3 σ 1 ) 2 = Y=2063 b) Calcolo delle tensioni σ 1, σ 2, σ 3 : Essendo una prova di trazione σ 2 = σ 3 = 0, per cui la forza applicata si traduce solo in uno sforzo assiale per cui σ 1 = Y = 2063 MPa σ 2 = σ 3 = 0 Esercizio 1 - Soluzione c) Calcolo delle deformazioni ε 1, ε 2, ε 3 : Considerando per la prova di trazione l asse del provino come asse principale si ha ε 1 = ε = 125% Dalla legge di conservazione dei volumi: l w b = l 0 w 0 b 0 l l 0 w w 0 b b 0 = 1 Applicando il logaritmo ad entrambi i membri: ε 1 + ε 2 + ε 3 = 0 Essendo la prova assialsimmetrica: ε 2 = ε 3 = 1 2 ε 1 ε 2 = ε 3 = 62,5% 5 Esercizio 2 Un corpo cubico di lato 10 mm è sollecitato da tre forze di cui una applicata perpendicolarmente alla faccia x che vale 100 N, una applicata alla faccia y vale -100 N. Sapendo che la tensione di plasticizzazione vale 2.5 Mpa, calcolare la forza F

3 Esercizio 2 - Soluzione La superficie della faccia del cubo è pari a S = l 2 = 100mm 2 Applicando la formula: σ 1 = F x S = 100 N 100 mm 2 = 1 MPa σ 2 = F y S 100 N = 100 mm2 = 1 MPa 7 Esercizio 2 - Soluzione Considerando il criterio di Von Mises 2Y 2 = (σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 Sostituendo i valori dell esercizio abbiamo: 2Y 2 = σ (σ 3 1) 2 2Y 2 = 4 + (σ 3 + 1) 2 +(σ 3 1) 2 2Y 2 = 6 + 2σ 2 3 σ 3 1/2 = Y2 3 σ 31 2 = ± Y 2 3 σ 3 1/2 = ± = ±1.80 MPa 8 Esercizio 2 - Soluzione Calcoliamo la forza F 3 : F 3 = σ 3 S = ±1,8 MPa 100 mm 2 = ±180 N 9 3

4 Esercizio 3 Si applichino il criterio di Tresca e di Von Mises alla trazione, alla compressione, alla tensione piana e alla deformazione piana. Trazione 10 Esercizio 3 Compressione Tensione piana 11 Esercizio 3 Deformazione piana 12 4

5 Trazione Lo stato di tensione è uniassiale, positivo perché in trazione, quindi: σ 2 = σ 3 = 0, σ 1 > 0 La σ max coincide con la tensione uniassiale per cui, secondo il criterio di Tresca si ha: σ 1 = Y Applicando il criterio di Von Mises si ottiene: 2Y 2 = 2σ 1 2 σ 1 = ±Y I criteri di Tresca a Von Mises danno risultati uguali a meno del segno che è indeterminato per Von Mises. 13 Compressione Lo stato di tensione è sempre uniassiale, negativo perché in compressione, quindi: σ 1 = σ 2 = 0, σ 3 < 0 La σ min coincide con la tensione uniassiale per cui, secondo il criterio di Tresca si ha: σ 3 = Y Applicando il criterio di Von Mises si ottiene: 2Y 2 = 2σ 3 2 σ 3 = ±Y Anche per quanto riguarda la compressione, Tresca e Von Mises danno lo stesso risultato. 14 Tensione piana Esistono solo due tensioni principali, mentre la terza è nulla: σ 1 0, σ 3 0, σ 2 =

6 I quadrante σ 1 > 0, σ 3 > 0, σ 2 = 0 Quindi la tensione maggiore sarà data dalla tensione più grande tra σ 1 e σ 3 che per convenzione è pari a σ 1, quindi: σ max = σ 1, σ min = σ 2 Da cui si ottiene il Criterio di Tresca Y = σ 1 Il criterio di von Mises per lo stato di tensione piana si riduce a: Y 2 = σ σ 3 2 σ 1 σ 3 16 II quadrante σ 1 < 0, σ 3 > 0, σ 2 = 0 La tensione maggiore è data dalla tensione positiva mentre quella minore da quella negativa. σ max = σ 3, σ min = σ 1 Il criterio di Tresca diventa: Y = σ 3 σ 1 Il criterio di von Mises per lo stato di tensione piana si riduce a: Y 2 = σ σ 3 2 σ 1 σ 3 17 III quadrante σ 1 < 0, σ 3 < 0, σ 2 = 0 La tensione maggiore è pari alla tensione nulla, la tensione minore, convenzionalmente è pari alla σ 3, quindi: σ max = σ 2, σ min = σ 3 Il criterio di Tresca diventa: Y = σ 3 Il criterio di von Mises per lo stato di tensione piana si riduce a: Y 2 = σ σ 3 2 σ 1 σ

7 IV quadrante σ 1 > 0, σ 3 < 0, σ 2 = 0 La tensione maggiore è pari alla tensione positiva mentre la tensione minore è pari alla tensione negativa, quindi: σ max = σ 1, σ min = σ 3 Il criterio di Tresca diventa: Y = σ 1 σ 3 Il criterio di von Mises per lo stato di tensione piana si riduce a: Y 2 = σ σ 3 2 σ 1 σ 3 19 Deformazione Piana Per lo stato di deformazione piana si suppone che il corpo si deformi solo lungo due direzioni mentre è vincolato lungo la terza: ε 2 = 0 La tensione dovuta alla reazione vincolare è pari a: σ 2 = 1 2 (σ 1 + σ 3 ) 20 Essendo σ 2 una tensione intermedia, il criterio di Tresca è: Y = σ 1 σ 3 sostituendo l espressione di σ 2 nel criterio di Von Mises: 2Y 2 = σ 1 σ σ 2 σ σ 3 σ 2 1 = = σ (σ 1 + σ 3 ) (σ 1 + σ 3 ) σ σ 3 σ 2 1 = = 1 2 σ σ 3) σ σ σ 3 σ 2 1 = = 3 2 σ 3 σ 1 2 Y 2 = 3 4 (σ 1 σ 3 ) 2 Y = 3 2 (σ 1 σ 3 ) 21 7

8 Esercizio 4 Si vuole comprimere un corpo di forma cubica, di lato l=100 mm, dentro lo stampo indicato in figura, in modo da portarne l'altezza a 50 mm. Il corpo è stimato rigido plastico con tensione di snervamento Y=200 MPa e viene deformato in condizioni di attrito nullo. Calcolare la forza di compressione. 22 Esercizio 4 - Soluzione La forma dello stampo è tale da costringere il corpo a deformarsi solo nelle due direzioni x e z, o 1 e 3. Calcoliamo la dimensione finale del pezzo l f2. Dalla conservazione del volume abbiamo: l i 1 l i2 l i3 = l f l 1 f2 l f3 l i 1 l i l 2 i3 l f1 = = 200 mm l f2 l f3 23 Esercizio 4 - Soluzione Per calcolare la tensione in direzione 3 applico il criterio di Von Mises per lo stato di deformazione piana ricavato nell esercizio precedente, per cui: 3 Y = (σ 2 1 σ 3 ) Criterio di Von Mises Sapendo che la tensione in direzione 1 deve essere nulla perché non ci sono né forze applicate né contatti con pareti dello stampo, possiamo ricavare la tensione in direzione 3: σ 1 = 0 σ 3 = 2 Y = 231 MPa

9 Esercizio 4 - Soluzione La forza di compressione sarà data da: F 3 = σ 3 S = σ 3 l f1 l f2 = = N 25 Esercizio 5 Un metallo snerva plasticamente sotto lo stato di tensione mostrato nella figura seguente: 26 Esercizio 5 a) Si indichino gli assi delle tensioni principali in accordo con la convenzione (1, 2, 3) b) Qual è la tensione di snervamento in accordo con il criterio di Tresca? c) Quale se si usa il criterio di Von Mises? d) Lo stato di tensione determina deformazioni misurate pari a ε 1 = 0,4 e ε 2 =0,2 con ε 3 che non viene misurato. Qual è il valore di ε 3? 27 9

10 Esercizio 5 - Soluzione a) Per convenzione, si indica con pedice 1 la tensione massima e con pedice 3 la tensione minima: σ 1 σ 2 σ 3 [MPa] [MPa] [MPa] b)la tensione di snervamento secondo il criterio di Tresca è pari a: Y = σ max σ min = 90 MPa 28 Esercizio 5 - Soluzione c) La tensione di snervamento secondo il criterio di Von Mises è pari a: 2Y 2 = (σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 2Y 2 = (50 20) 2 + ( ) 2 + ( 40 50) 2 = = Y = = 79 MPa 2 29 Esercizio 5 - Soluzione d) La deformazione ε 3 si ottiene applicando la legge di conservazione dei volumi: ε 1 + ε 2 + ε 3 = 0 Sostituendo: ε 3 = 0 ε 3 =