Scienza dei Materiali 1 Esercitazioni

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1 Scienza dei Materiali 1 Esercitazioni 8. Deformazione plastica, hardening & strenghtening ver. 1.3

2 Legge di Schmidt La legge di Schmidt ci permette di valutare l entità dello sforzo di taglio agente sul piano di slittamento (Resolved Shear Stress). Ricordare che lo sforzo di taglio fa muovere le dislocazioni! σ = F/A Normale al piano di slittamento φ λ Direzione di slip Α τ r = F r / A Resolved Shear Stress A o

3 Legge di Schmidt σ = F/A φ λ A F r = F cos(λ) A = A 0 /cos(φ) Forza risolta Area risolta A o τ= = F r /A = σ cos(φ) cos(λ) ) resolved shear stress nella direzione di slip σ = F/A 0 = sforzo unidirezionale applicato al cilindro

4 Ricristallizzazione Recovery Gli sforzi residui vengono scaricati. Si formano nuovi bordi di grano (poligonizzazione) nelle regioni più deformate. Non vi è eccessiva variazione di proprietà meccaniche Ricristallizzazione Tra 0.3 T m e 0.5 T m si formano nuovi grani. Più alto è il cold work, più bassa la temperatura richiesta a causa dell elevata energia meccanica immagazzinata, Crescita del grano I grani formati tendono a crescere riducendo la resistenza del materiale a scapito della sua duttilità (dislocazioni sbloccate)

5 ESERCIZI

6 Ex 8.1. Resolved shear stress Calcolare lo sforzo di taglio risolto per il sistema di slittamento (111)[1 0 1] se un carico di 10 MPa è applicato in direzione [0 0 1] per una cella fcc. Svolgimento Dati: piano (1 1 1) direzione [1 0 1] σ = 10 MPa lungo [0 0 1] Schematizziamo la geometria del problema:

7 Ex 8.1. Resolved shear stress Per risolvere il problema dobbiamo individuare gli angoli tra la direzione dello sforzo e la direzione di slittamento (λ) e l angolo tra la direzione di applicazione dello sforzo e la normale al piano di slittamento (φ). La direzione [1 0 1] corrisponde ad una diagonale della faccia del cubo e quindi λ = 45 : σ [0 0 1] [1 0 1] λ [1 0 0]

8 Ex 8.1. Resolved shear stress Il piano (1 1 1) in un reticolo cubico ha come normale la direzione [1 1 1]. L angolo φ tra la normale al piano di slittamento e la direzione di applicazione del carico è quindi: φ = arctan( 2) = arccos( 1 3) φ = [0 0 1] σ a 0 φ [1 1 1] a 0 2 [1 1 0]

9 Ex 8.1. Resolved shear stress Applichiamo la formula per lo sforzo di taglio risolto ed otteniamo: ( ) cos( ) τ = σ cos φ λ Il tutto può essere calcolato molto facilmente in questo caso osservando che, per ambedue gli angoli, può essere trovata un espressione in termini di arccos: λ 1 1 = arccos φ = arccos 2 3 ( ) cos( ) τ = σ cos φ λ = σ 6 Risultato: τ = 4.08 MPa

10 Ex 8.2. CRSS Calcolare lo sforzo di taglio critico risolto (Critical Resolved Shear Stress o CRSS) nel caso in cui λ=70 e φ=30 considerando che lo slittamento inizi ad uno sforzo di 50 MPa. Calcoliamo lo sforzo di taglio risolto Svolgimento Dati: λ = 70 φ = 30 σ = 50 MPa ( ) cos( ) τ = σ cos φ λ Visto che il carico dato è quello che provoca l inizio dello slittamento, il valore trovato corrisponde a quello dello sforzo di taglio critico risolto. Risultato: τ = MPa

11 Ex 8.3. Strain hardening Una barra sottoposta ad una prova meccanica di trazione mostra: diametro 1.25 cm e lunghezza 10.2 cm se caricata con 50 MPa diametro 1.24 cm e lunghezza 10.7 cm se caricata con 150 MPa Calcolare il fattore di strain hardening n sapendo che la lunghezza iniziale è di 10.0 cm Svolgimento Dati: d 1 = 1.25 cm l 1 = 10.2 cm σ 1 = 50 MPa d 2 = 1.24 cm l 2 = 10.7 cm σ 2 = 150 MPa l 0 = 10.0 cm Per valutare il fattore di strain hardening dobbiamo dapprima trovare lo sforzo vero e la deformazione vera agente sulla barra. L area della sezione della barra è: A = π d 4 2

12 Ex 8.3. Strain hardening Ricordiamo la definizione di sforzo vero (area corrente e non area iniziale): σ = F A E quello di deformazione vera (non quella ingegneristica): ε ln l = l0 La relazione tra sforzo e deformazione veri, nel tratto di deformazione plastica uniforme, può essere descritta come: σ F K n Kln l = ε = A l0 dove n è chiamato fattore di strain hardening. La relazione può essere opportunamente linearizzata sfruttando le proprietà dei logaritmi: lnσ = lnk + nlnε

13 Ex 8.3. Strain hardening Noti due punti su questa retta (ricavabili dai dati del problema), possiamo ricavare intercetta e coefficienti angolare ovvero i fattori nella relazione dello strain hardening. Questo è analogo a risolvere un sistema lineare in due equazioni e due incognite. Definendo infatti: lnσ = A lnk = x ln ε = B possiamo scrivere il nostro problema come: A = x+ nb n = B1 B2 A = x+ nb 2 2 x = A nb 1 1 A A ovvero: lnσ1 ln σ ln ( σ1/ σ 2 2) l1 l 0 n = = = ln ( σ / σ 1 2) ln lnε lnε ln 1 2 ( ε / ε 1 2) l l 2 0 σ 1 K = n ε 1 1 Risultato: n = K = 1.54 GPa

14 Ex 8.4. Legge di Hall-Petch Lo sforzo di snervamento per un campione di alluminio puro avente una dimensione di grano media di 0.05 mm è di 36 MPa mentre per un cristallo singolo è di 25 MPa. Qual è lo sforzo di snervamento per due campioni aventi dimensione di grano media di 0.01 mm e di 0.1 mm? Svolgimento Dati: d 1 = 0.05 mm σ y1 = 46 MPa cristallo singolo σ y2 = 25 MPa Conosciamo lo sforzo di snervamento per due dimensioni di grano e quindi possiamo pensare di utilizzare la legge di Hall-Petch (ho due parametri e due equazioni). La legge di Hall-Petch lega lo sforzo di snervamento alla dimensione media di grano: σ y = σ + 0 K d σ 0 = 25 MPa Per un cristallo singolo, la dimensione di grano può essere considerata pressoché infinita. In tal caso lo sforzo di snervamento è pari a σ 0

15 Ex 8.4. Legge di Hall-Petch Noto il valore di σ 0, quello di K può essere facilmente ottenuto: K ( σ y σ0 ) = d K = 2.46 MPavmm Le costanti della relazione di Hall-Petch appena calcolate ci permettono di valutare lo sforzo di snervamento nei due casi richiesti σ = σ K 0.01mm σ = σ K 0.1mm Risultato: σ 0.01 = 49.6 MPa σ 0.1 = 32.8 MPa

16 Ex 8.5. Cold work Calcolare la percentuale di riduzione a freddo nella laminazione a freddo di una lamiera in lega di alluminio da uno spessore di 2 mm a 1 mm Svolgimento Dati: h iniziale = 2 mm h finale = 1 mm Il lavoro a freddo può essere valutato come variazione di spessore rispetto allo spessore iniziale (formula analoga a quella della deformazione con la differenza che in questo caso la variazione di spessore è calcolata come spessore iniziale meno spessore finale!): % CW = 100 h h iniziale finale h iniziale Questa lavorazione a freddo aumenterà le caratteristiche di resistenza del materiale. Risultato: %CW =50 %

17 Ex 8.6. Cold work Un pezzo in ottone subisce una riduzione del 20% tramite lavorazione a freddo fino ad uno spessore di 3 mm e viene poi ulteriormente ridotta con una seconda laminazione fino a 1 mm. Qual è la percentuale totale di riduzione introdotta dalla lavorazione a freddo? Svolgimento Dati: %CW step1 = 20% h step1 = 3 mm h step2 = 1 mm Anche in questo caso sfruttiamo la definizione della percentuale di cold work: hiniziale hfinale % CW = 100 h iniziale Nel primo step conosciamo %CW e h finale. Ricaviamo quindi lo spessore iniziale della lamiera: h iniziale hfinale = % CW h iniziale = 3.75 mm

18 Ex 8.6. Cold work Conosciamo ora lo spessore iniziale della lamiera e quello finale dopo l ultima laminazione. La lavorazione a freddo totale sarà: 3.75mm h step % CW = mm 2 Risultato: %CW = 73.3%

19 Ex 8.7. Riduzione sezione Un provino cilindrico del diametro di 10 mm è portato a rottura in una macchina per trazione. Se il diametro del provino nella zona di strizionata è di 7 mm, qual è la strizione percentuale nel provino? Svolgimento Dati: d iniziale = 10 mm d finale = 7 mm Il calcolo della strizione percentuale è analogo a quello della riduzione di spessore. Come nei problemi precedenti e nel caso in cui si abbia lavorazione a freddo, viene sostanzialmente comparata la variazione di una grandezza rispetto a quella iniziale (in modulo) % CW = 100 h h iniziale finale h iniziale % A = 100 A iniziale finale A A iniziale Calcoliamo quindi l area della sezione dei due provini (la sezione è circolare):

20 Ex 8.7. Riduzione sezione A iniziale A finale π = 4 π = 4 d d 2 iniziale 2 finale e la variazione percentuale in area sarà: A A d d d % A = 100 = 100 = iniziale finale iniziale finale finale 2 2 Ainiziale diniziale diniziale Risultato: %A = 51%

21 Ex 8.8. Ricristallizzazione Per ricristallizzare un pezzo di rame occorrono 2000 min a 100 C e 100 min a 150 C. Qual è l energia di attivazione del processo? Ricordare che R = cal/mol K Svolgimento Dati: t 1 = 2000 min T 1 = 100 C t 2 = 100 min T 2 = 150 C R= cal/mol K Il tempo di ricristallizzazione segue una legge tipo Arrhenius: Q ( ) ln ( ) RT t = Ae ln t = A + Q RT Il problema potrebbe essere risolto graficamente utilizzando la forma linearizzata dell equazione (conosciamo due punti). Operando analiticamente, impostiamo il sistema per i due tempi e le due temperature:

22 Ex 8.8. Ricristallizzazione Q ln( t1) = ln ( A) + RT1 Q ln( t2 ) ln ( A) = + RT Al solito, sottraendo un equazione dell altra e sfruttando le proprietà dei logaritmi otteniamo: t 1 Q 1 1 t ln = Q= Rln t R T T t T T Risultato: Q = 18.8 kcal/mol

23 Ex 8.9. Age hardening In una serie di esperimenti di age hardening, i primi segni di precipitazione da una soluzione sovrassatura di rame in alluminio sono stati osservati dopo 3 minuti a 102 C e dopo 3 ore a 200 C. Se si desidera che non vi sia precipitazione per 3 giorni, a che temperatura deve essere raffreddato il pezzo? Svolgimento Dati: t 1 = 3 min T 1 = 102 C = K t 2 = 3 h = 180 min T 2 = 22 C = K Siamo di fronte ad un processo di precipitazione in cui il rate di precipitazione segue una legge di tipo Arrhenius: Q rate Ae RT = Il tempo dopo il quale si ha precipitazione è dato dall inverso del rate e quindi, come per la ricristallizzazione: Q t = Ae RT

24 Ex 8.9. Age hardening Indicando con B il rapporto Q/R e linearizzando l espressione, otteniamo: B B t = AeT lnt = ln A+ T I due dati forniti dal problema ci permettono di ottenere le due costanti A e B dell espressione tipo Arrhenius: B lnt1 = ln A+ T 1 t ln = B B t2 T1 T2 lnt2 = ln A+ T 2 B = 5667 K B T 1 2 A= te = te B T 1 2 Note le due constanti, il processo è completamente noto. Possiamo quindi valutare la temperatura per la quale il tempo di precipitazione è di 3 giorni: B B B t = AeT lnt = ln A+ T = T lnt ln A A = 8.25x10-7 min Risultato: T = 253 K cioè circa -20 C

25 FINE