Politecnico di Torino - DIGEP A.A Esercitazione 1

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1 Esercitazione 1 1. Studio delle tensioni secondo il criterio di Von Mises Da una prova di trazione si ottengono come dati di rottura = 125 % e = 2063 MPa. Si trovino in tali condizioni (usando il criterio di Von Mises): a) la tensione equivalente eq. b) le tensioni 1, 2, 3 ; c) le deformazioni 1, 2, 3 ; a) Calcolo della tensione equivalente eq : In condizioni di rottura, Y = rott, da cui b) Calcolo delle tensioni 1, 2, 3 : Essendo la curva riferita a una prova di trazione, la forza applicata si traduce solo in uno sforzo assiale c) Calcolo delle deformazioni 1, 2, 3 : Considerando per la prova di trazione l asse del provino come primo asse principale si ha: = 1 = 125 %. Per la legge di conservazione del volume, il prodotto dei tre rapporti è unitario: Che passando ai relativi logaritmi diventa Essendo la prova di trazione assial-simmetrica 2 = 3 (cioè le deformazioni sono simmetriche), da cui si ricava: 1

2 2. Studio delle tensioni Un corpo cubico di lato 10 mm è sollecitato da tre forze di cui una applicata perpendicolarmente alla faccia x che vale 100N, una applicata alla faccia y vale -100N. Sapendo che la tensione di plasticizzazione Y vale 2,5 MPa, a) calcolare la forza F 3. Considerando la formula di Von Mises: Sostituendo con i valori dell esercizio abbiamo: A questo punto è possibile calcolare la forza F 3 : La forza F 3 (come la tensione 3 ) è composta da due forze con verso opposto per garantire l equilibrio sul corpo cubico. 2

3 3. Studio delle tensioni Si applichi il criterio di Tresca e di Von Mises alla trazione, alla compressione, alla tensione piana e alla deformazione piana. a) Trazione Lo stato di tensione è uniassiale, positivo perché in trazione - Tresca - Von Mises Tresca e Von Mises danno risultati uguali a meno del segno (indeterminato per Von Mises). b) Compressione Lo stato di tensione è sempre uniassiale ma negativo - Tresca - Von Mises Anche per quanto riguarda la compressione, Tresca e Von Mises danno lo stesso risultato. c) Tensione piana Esistono solo due tensioni principali, mentre la terza è nulla. Si possono individuare 2 casi se si considera alternativamente nulla 1 e 3. Caso 1 2 > 0, 3 = 0 - Tresca - Von Mises 3

4 Caso 2 2 = 0, 3 < 0 - Tresca - Von Mises d) Deformazione piana Si suppone che il corpo si deformi solo in due direzioni, mentre lungo la terza sia vincolato a non potersi deformare, 2 = 0. La tensione dovuta alla reazione vincolare è pari alla media aritmetica delle altre due tensioni, quindi - Tresca - Von Mises 4

5 4. Compressione in condizioni di deformazione piana Si vuole comprimere un corpo di forma cubica, di lato l=100mm, dentro lo stampo indicato in figura, in modo da portarne l altezza a 50mm. Il corpo è stimato rigido plastico con tensione di snervamento Y=200MPa e viene deformato in condizioni di attrito nullo. Calcolare la forza di compressione. La forma dello stampo è tale da costringere il corpo a deformarsi solo nelle due direzioni x e z. Si può quindi studiare il fenomeno di deformazione piana nel piano xz. In questo esercizio d ora in poi il piano x viene rinominato 1, y 2 e z 3. I passi da seguire per risolvere l esercizio sono i seguenti: Ottenere tutte le dimensioni del pezzo Calcolare la tensione in direzione 3 Moltiplicare tensione per superficie in modo da calcolare la forza di stampaggio. Calcolo delle dimensioni del pezzo Chiamo li 1, li 2, li 3 le dimensioni iniziali del pezzo, tutte pari a 100mm Chiamo lf 1, lf 2, lf 3 le dimensioni finali del pezzo. So che lf3 è 50mm e che lf2 rimane invariato rispetto alla dimensione iniziale perché la deformazione in direzione 2 è nulla. Applico la conservazione del volume Nota Bene: le due dimensioni iniziale e finale in direzione 2 si semplificano nella formula. Per ridurre al massimo gli errori numerici è consigliabile fare sempre tutte le semplificazioni possibili delle espressioni in forma algebrica ed eseguire numericamente solo i calcoli indispensabili. 5

6 Calcolo della tensione in direzione 3 Applico il criterio di Von Mises. Conoscendo dall esercizio 3 che la relazione tra tensione di snervamento e tensioni applicate al corpo, nel caso di deformazione piana, si semplifica in: Siccome sappiamo che la tensione in direzione 1 deve essere zero perché non ci sono né forze applicate né contatti con pareti dello stampo, possiamo ricavare la tensione in direzione 3: Calcolo della forza di compressione Moltiplico la tensione in direzione verticale per la superficie in pianta del pezzo. Siccome la superficie aumenta durante la compressione, considero nei calcoli la superficie finale, ossia mi metto nelle condizioni in cui la forza è massima. 6

7 5. Stato di tensione multiassiale Un metallo snerva plasticamente sotto lo stato di tensione mostrato nella figura seguente: 20 MPa 40 MPa 50 MPa a) Si indichino gli assi delle tensioni principali in accordo con la convenzione (1,2,3). b) Qual è la tensione di snervamento in accordo con il criterio di Tresca? c) Quale se si usa il criterio di Von Mises? d) Lo stato di tensione determina deformazioni misurate pari a 1 =0,4 ed 2 =0,2 con 3 che non viene misurato. Qual è il valore di 3? a) Ciò che si ottiene è: 1 =50 MPa, 2 =20 MPa e 3 =-40 MPa. b) Applicando il criterio di Tresca si ottiene che la tensione di snervamento è: c) Applicando il criterio di Von Mises si ha che la tensione di snervamento è: d) Applicando la legge di conservazione dei volumi, si ottiene che 7

8 6. Tensioni e deformazioni Sono noti i seguenti dati per una prova di trazione su di un provino (costituito per l 80% da Rame e il 20% da Nichel) avente una sezione iniziale di 6,35 mm x 6,38 mm e una lunghezza iniziale di 25 mm. l (mm) L (mm) A (mm 2 ) F (N) , , ROTTURA 9,98 - Tracciare i diagrammi tensioni-deformazioni nominali, reali e su scala doppiologaritmica. Calcolare inoltre il valore di K w0 ed n (costanti della legge di Hollomon). Il provino è realizzato in Cu-Ni P [N] l [mm] [MPa] ,6 0,08 242,6 0, ,5 0,16 320,7 0, ,24 385,7 0, ,2 0,32 439,9 0, ,6 0,40 483,8 0, ,5 350,5 0,50 525,8 0,41 8

9 Rottura A R = 9,98 mm 2 Calcolo dei coefficienti della legge di Hollomon: x y 9

10 P l s e log log ,6 0,08 242,59 0,08 2,3849-1, ,5 0,16 320,69 0,15 2,5061-0, ,24 385,65 0,22 2,5862-0, ,2 0,32 439,86 0,28 2,6433-0, ,6 0,40 483,80 0,34 2,6847-0, ,5 350,5 0,50 525,76 0,41 2,7208-0,

11 7. Tensioni e deformazioni Un componente di un velivolo è costituito da una barra di diametro D = 20 mm e lunghezza l 0 = 400 mm sottoposta a trazione pura. Per la sua produzione si propone di utilizzare una lega Al 7075-T6 oppure la lega di titanio Ti-6Al-4V oppure acciaio AISI 4340 (temprato e raffreddato a 425 C). Calcolare: a) l allungamento sotto il carico a trazione di 80 kn; b) il carico di snervamento; c) il carico prima della frattura. Per i materiali indicati, si assumano i seguenti dati: Ti-6Al-4V AISI 4340 Al7075-T6 E [MPa] s [MPa] UTS [MPa] Analizziamo il componente in Al 7075-T6 (E=70 GPa, s =496 MPa, UTS=558 MPa) Barra ha D=20 mm e lunghezza l o =400 mm. Verificare che n < Y < s regime elastico, quindi n = E*e 11

12 Ti-6Al-4V (E=119500MPa, s =825 MPa, UTS=898 MPa) AISI 4340 (E=210000MPa, s =1365 MPa, UTS=1470 MPa) Dalla tabella, confrontare le caratteristiche dei materiali. 12

13 8. Tensioni e deformazioni Un componente è costituito da una barra di 400 mm di lunghezza. Esso deve sopportare senza snervamento un carico di 80 kn di trazione con un fattore di sicurezza SF = 2 (ossia la tensione non deve mai superare il 50% della tensione di snervamento). La barra è realizzata nella lega di Al 7075-T6 o in uno dei materiali dell esercizio precedente. Considerate le seguenti densità Ti-6Al-4V AISI 4340 Al7075-T6 Densità [Kg/dm 3 ] quale dei materiali darà luogo al componente più leggero? Barra lunghezza l 0 =400mm. Carico max a trazione 80kN (SF=2) Valutiamo quale materiale permetterà l ottenimento del componente più leggero. (Nell esercitazione svolgere i calcoli solamente per un materiale..) Ti-6Al-4V 13

14 AISI 4340 Al7075-T6 Da tutto ciò si evince che il componente più leggero sarà in Ti-6Al. 14

15 9. Determinazione della curva caratteristica - Data la curva: l [mm] F [N] , , , , Noti: - Il carico di rottura Fm = 3300 N, - La lunghezza iniziale del provino l 0 = 20 mm, - L area della sezione iniziale S 0 = 5,6 mm 2, - L area della sezione di rottura S str = 1,6 mm 2 Calcolare le curve ( n, e ) e, ) Dalle seguenti relazioni: - Lunghezza del provino: - Area della sezione del provino: - La tensione nominale: - La deformazione nominale: 15

16 - La tensione reale: - La deformazione naturale: - La deformazione a rottura: Si completa la tabella che permette di ricavare la caratteristica - A questo punto è possibile ricavare la caratteristica in un grafico tensione deformazione: 16

17 10. Determinazione della tensione di rottura Data la curva trovare il carico di rottura. Con la condizione di instabilità si ottiene derivando la curva rispetto ad In questo modo si ottiene: 17

18 11. Determinazione della curva caratteristica - Di una prova di trazione si conosce R e = 150 MPa, R m = 300 MPa e A = 20% (allungamento a rottura). Si vogliono conoscere i corrispondenti valori espressi in grandezze reali. Per la risoluzione dell esercizio bisogna richiamare alcuni passaggi che mettono in relazione grandezze reali con grandezze nominali. - La deformazione nominale: - La tensione reale: - La deformazione naturale Inoltre bisogna fare delle assunzioni sugli allungamenti poiché non sono noti: per l allungamento a snervamento, si supponga che l allungamento sia nullo, quindi: Per quanto riguarda il carico di rottura si suppone che l allungamento sia l allungamento a rottura, per cui: 18

19 12. Determinazione della curva caratteristica - Una barretta cilindrica ha diametro di d = 3 mm ed è sollecitata da una forza F = 100 N. Calcolare: a) la perpendicolare alla sezione trasversale b) la perpendicolare a un piano inclinato di = 45 rispetto all asse. a) Calcolo della perpendicolare alla sezione trasversale b) Calcolo della perpendicolare a un piano inclinato di = 45 rispetto all asse L area della superficie S 45 si ricava proiettandola sulla superficie S; la proiezione si esegue attraverso il prodotto scalare dei versori normali alle due superfici. Tale prodotto vale cos45. 19

20 13. Determinazione della curva caratteristica - Data la seguente curva: Consideriamo una legge lineare di approssimazione della curva caratteristica in campo elastico. Il modulo di Young equivale a E = MPa, A = 1294MPa, B = 650 MPa. a) Trovare il carico di snervamento secondo le norme UNI ( res = 0,2%) b) Ricavare la caratteristica del materiale in campo elasto-plastico a) Trovare il carico di snervamento secondo le norme UNI ( res = 0,2%) Mettendo a sistema le curve in campo elastico e plastico, il carico di snervamento risulta pari a = 1299 MPa. Si può visualizzare questa situazione nel grafico tensioni-deformazioni: 20

21 b) Ricavare la caratteristica del materiale in campo elasto-plastico 21

22 14. Determinazione della curva caratteristica - Si calcoli il valore del carico limite di snervamento di un materiale nota la legge costitutiva esponenziale: di cui C = 1294MPa, n = 0,2 e Inoltre il comportamento elastico è lineare con modulo di Young E = 210 GPa ed il carico residuo è calcolato secondo le norme UNI ( res = 0,2%). Svolgendo con i dati noti l equazione costitutiva del materiale si ottiene: L equazione risultante è risolubile al computer con un metodo iterativo. Dai dati si ottiene un valore = 797 MPa che corrisponde al limite di snervamento del materiale. Come nell esercizio 13 per il calcolo del limite di snervamento la legge costitutiva valida solo in campo plastico si estende al tratto elastico. 22

23 A questo punto è possibile ricavare il grafico della caratteristica del materiale con relazione in campo elastico (lineare) e plastico (esponenziale): 23